基于多項式平方和規(guī)劃的渦扇發(fā)動機切換控制

孫昊博，潘慕絢，黃金泉

（南京航空航天大學江蘇省航空動力系統(tǒng)重點實驗室，南京210016）

0 引言

航空發(fā)動機是高度復雜的非線性系統(tǒng)，動態(tài)特性隨工作狀態(tài)和飛行條件的變化而不斷改變[1]。為了使航空發(fā)動機控制系統(tǒng)在整個飛行包線內滿足控制要求，目前多是在線性控制理論的框架內采用傳統(tǒng)變增益方法設計控制器。然而傳統(tǒng)的變增益控制要求系統(tǒng)的參數(shù)變化必須是緩慢的，無法滿足航空發(fā)動機快速變化的動態(tài)特征的要求[2]。針對這一問題，目前工程上廣泛應用線性變參數(shù)（Linear Parameter Varying,LPV）增益調度方法進行控制器綜合[3]。LPV變增益控制的控制器增益隨調度參數(shù)的變化而變化。與傳統(tǒng)變增益相比，LPV變增益控制不要求系統(tǒng)參數(shù)變化是緩慢的。在LPV控制器的求解上，通常將控制器的求解問題轉換成線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality,LMI）約束下的優(yōu)化問題，然后應用工具箱進行求解[4]。然而對于多項式形式的LPV模型，LMI方法會帶來較大保守性。多項式平方和規(guī)劃（Sum of Squares Programming,SOS規(guī)劃）作為1種處理多項式形式非線性問題的新方法受到廣泛關注。該方法由Jean首次提出并應用于單個多項式的平方和分解問題[5]。SOS規(guī)劃是對LMI方法的補充，可應用于可行性問題和優(yōu)化問題的求解中[6]。由于SOS規(guī)劃在處理多項式形式非線性問題上的獨特性，越來越多的LPV控制器設計問題轉化為SOS規(guī)劃問題，相應的SOSTOOLS也被開發(fā)出來，極大地推動了SOS規(guī)劃在控制領域中的應用[7]。

將LPV控制應用于航空發(fā)動機全包線控制中，由于在包線內不同點發(fā)動機參數(shù)差別很大，單一的LPV控制器很難保證全包線內的控制效果[8]。因此，本文將飛行包線進行分區(qū)，分別對每個區(qū)域設計LPV控制器，然后結合切換系統(tǒng)相關理論保證切換時的穩(wěn)定性。目前，眾多學者展開了平滑過渡切換方法的研究。Song等[9]設計了1種基于平滑過渡切換的LPV魯棒控制器，并將其應用于F-18戰(zhàn)機中。江未來等[10]針對機翼后掠角可變飛行器控制問題，通過平滑過渡的方法進行切換LPV控制。

本文將平滑過渡切換應用于航空發(fā)動機全包線控制中，并通過SOS規(guī)劃方法求解控制器。首先將飛行包線劃分為奇數(shù)個子區(qū)域，分別建立每個子區(qū)域的LPV模型；然后給出閉環(huán)切換LPV系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的條件并將其轉化為便于求解的SOS規(guī)劃問題；最終在某型渦扇發(fā)動機上進行仿真驗證。

1 航空發(fā)動機LPV模型

航空發(fā)動機非線性模型可以表示為

式中：x為發(fā)動機的狀態(tài)變量；u為發(fā)動機的控制變量；y為發(fā)動機的輸出變量。

選取高壓轉子轉速為調度參數(shù)，根據(jù)非線性模型式（1）建立的發(fā)動機LPV模型

式中：x=[駐nL駐nH]T，駐nL、駐nH分別為風扇轉速增量和高壓轉子轉速增量；u=駐Wf，為發(fā)動機燃油流量增量；y=駐nH，為發(fā)動機高壓轉子轉速增量。

式中：Nd為多項式階次；[（nH）min（nH）max]為高壓轉子轉速取值范圍的最小值和最大值；θ為調度參數(shù)，變化范圍為[0 1]。

最終，航空發(fā)動機狀態(tài)變量LPV模型可寫作

由式（2）～（5）可知，LPV模型的建立主要依據(jù)高壓轉子轉速范圍內不同穩(wěn)態(tài)點系統(tǒng)矩陣的求解，而建立的LPV模型精度主要受多項式階次Nd影響，Nd越大，LPV模型精度越高，但同時模型更加復雜，計算難度更大。

本文在保證模型精度滿足要求的同時，為了不使計算過于復雜，選取Nd=3，以地面工作點（H=0 km，Ma=0）為例建立LPV模型，在高壓轉子轉速變化范圍（nH）min=0.86到（nH）min=1之間，每隔 nH=0.01選取 1個穩(wěn)態(tài)工作點，穩(wěn)態(tài)點對應的轉速及其系統(tǒng)矩陣參數(shù)變化如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)矩陣擬合

從圖中可見，矩陣元素 a11、a12、a21在轉速 nH=0.86、0.90、0.95時發(fā)生突變，這是由于發(fā)動機非線性部件級模型是依據(jù)轉速特性圖插值獲得的，而nH=0.86、0.90、0.95均為插值端點，因此矩陣元素存在突變。擬合后得到LPV模型系統(tǒng)矩陣

為了檢驗所建立的LPV模型精度，分別在（H=0 km，Ma=0）、（H=10 km，Ma=1）2 個工作點任意選取 2個不同的高壓轉子轉速，將LPV模型轉化為線性模型，然后將線性模型與同一轉速下的非線性模型分別作單位階躍響應，其對比如圖2、3所示。

圖2 H=0 km、Ma=0處LPV模型與非線性模型階躍響應對比

從圖中可見，在不同高度、馬赫數(shù)下LPV模型的階躍響應與非線性模型的階躍響應的擬合情況良好，穩(wěn)態(tài)誤差小于0.01%，說明設計的LPV模型在調度參數(shù)變化范圍內能夠精確地反映非線性模型動態(tài)響應的變化規(guī)律，因此該LPV模型能夠滿足建模精度要求。

針對上文所建立的LPV模型，設計狀態(tài)反饋控制器，使轉速閉環(huán)控制系統(tǒng)的高壓轉子轉速可以較快地跟蹤指令信號，同時H∞性能指標小于γ∞?？紤]航空發(fā)動機存在外部擾動，則LPV系統(tǒng)為

式中：xp、up、yp含義同式（2）中 x、u、y；ωp為外部擾動輸入。

設控制指令為r，則輸出偏差可表示為e=r-yp，偏差的積分xe=乙e d t，將偏差的積分增廣為狀態(tài)量以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。得到廣義被控對象的狀態(tài)方程

針對系統(tǒng)（7），設計狀態(tài)反饋控制律 u=K（θ）x，可得閉環(huán)狀態(tài)空間方程

式中：Acl（θ）=A1（θ）+B2（θ）K（θ）；Bcl（θ）=B1（θ）；Ccl（θ）=C1（θ）；Dcl（θ）=D11（θ）。

2 切換LPV控制器設計

針對閉環(huán)LPV系統(tǒng)（8），采用Lyapunov函數(shù)保證各子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時根據(jù)LMI魯棒穩(wěn)定性條件及弱對偶定理將LPV控制器求解轉換為SOS規(guī)劃問題。

2.1 基于SOS規(guī)劃的控制器設計

弱對偶定理[11]：考慮如下優(yōu)化問題

式中：X為Rn的1個子集；f（x）、gi（x）為給定的關于x的函數(shù)，則f*≥q*，f*與q*的差值稱為對偶間隙。

由弱對偶定理可知，如果存在s≥0使得L（x,s）≥0，則f*≥q*≥0。通過此定理可以將帶約束的矩陣不等式條件轉換為SOS規(guī)劃問題，即將LMI的矩陣非負定條件轉換為SOS的條件。

定理1[12]：對于系統(tǒng)（8），存在1個狀態(tài)反饋H∞控制器，給定H∞性能指標γ∞＞0當且僅當存在1個實數(shù)對稱矩陣X和實數(shù)矩陣W，使得下列不等式

成立，則 K（θ）=WX-1是系統(tǒng)（8）1個狀態(tài)反饋控制器。N（θ）=A（θ）X+B2（θ）W+（A（θ）X+B2（θ）W）T。

定理1中Lyapunov矩陣不隨調度參數(shù)變化而變化，雖然計算簡單，易于處理，但保守性較大，很難求解出合適的控制器。

定理2：對于閉環(huán)系統(tǒng)（8），存在1個狀態(tài)反饋H∞控制器，給定H∞性能指標γ∞＞0，如果存在SOS多項式矩陣 X（θ）、W（θ）、M（θ），使得下列多項式矩陣為SOS

則K（θ）=W（θ）X-1（θ）是1個能保證系統(tǒng)（7）穩(wěn)定，且H∞性能指標為γ∞的狀態(tài)反饋控制器。式中N（θ）=A（θ）X（θ）+B2（θ）W（θ）+（A（θ）X（θ）+B2（θ）W（θ））T。

2.2 包線區(qū)域劃分

航空發(fā)動機的動態(tài)特性及狀態(tài)空間模型均與進口條件有關[13]，對飛行包線進行劃分時，首先應考慮劃分后同一區(qū)域內發(fā)動機狀態(tài)空間模型盡可能相似，使該區(qū)域內不同工作點均有良好的控制效果，可根據(jù)下式來量化包線內不同高度、馬赫數(shù)下發(fā)動機性能差異

式中：T10、P10為標稱點總溫、總壓；T1、P1為計算點的總溫、總壓；著為距離閾值，反映了子區(qū)域間不同工作點發(fā)動機動態(tài)性能的差異。

以（H=0 km，Ma=0）點為標稱點，求取包線內所有工作點的 Γ 值，選取 著=0.25、0.50、0.75、1.00 將包線劃分為6個區(qū)域，如圖4所示，陰影區(qū)域為平滑過渡區(qū)。

2.3 平滑過渡切換LPV控制器

為緩解控制器間邦邦切換產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，提升切換時的控制效果，設計1種平滑切換LPV控制器。

考慮切換LPV系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)空間方程

式中：Acl,滓（θ）=A1,滓（θ）+B2,滓（θ）K滓（θ）；Bcl,滓（θ）=B1,滓（θ）；Ccl,滓（θ）=C1,滓（θ）；Dcl,滓（θ）=D11,滓（θ）；σ為系統(tǒng)的切換信號，其變化受高度和馬赫數(shù)影響，由于高度和馬赫數(shù)具有漸變特性，所以切換只發(fā)生在子區(qū)域邊界處。

圖4 包線區(qū)域劃分

設 NJ={1，3，5，…，J} 為控制器求解區(qū)域，NO={2，4，6，…，J-1}為平滑過渡區(qū)域，其中 J表示包線內劃分的子區(qū)域數(shù)目。當j∈NJ時，控制器為Kj（θ）；當j∈NO時，控制器為Kj-1,j+1（θ），由相鄰2區(qū)域控制器Kj-1（θ）、K,j+1（θ）、插值獲得。綜上所述，全包線內的平滑過渡切換LPV控制器可表示為

其中Kj（θ）=Wj（θ）Xj（θ）-1，

Kj-1,j+1（θ）=Wj-1,j+1（θ）Xj-1,j+1（θ）-1，

Wj-1,j+1（θ）=CWj-1（θ）+（1-C）Wj+1（θ），

Xj-1,j+1（θ）=CXj-1（θ）+（1-C）Xj+1（θ）。

C為平滑切換系數(shù)，在此取

式中：ts為系統(tǒng)進入平滑過渡區(qū)域的時間。

定理3：針對航空發(fā)動機切換系統(tǒng)（14），存在1個狀態(tài)反饋H肄控制器，給定H肄性能指標γ＞0，如果存在實數(shù)對稱矩陣X（θ），實數(shù)矩陣W（θ）和SOS多項式矩陣Mj（θ），使得下列多項式矩陣為SOS

對任意j∈NJ均成立，則航空發(fā)動機閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，且滿足H肄性能指標γ肄。式中N（θ）=Aj（θ）X（θ）+B2,j（θ）W（θ）+（Aj（θ）X（θ）+B2,j（θ）W（θ））T。

證明：為方便闡述，選取飛行包線內相鄰的3個區(qū)域 J1、J2、J3，其中 J2為平滑過渡區(qū)域，設

則根據(jù)定理3可得如下不等式

式中X1（θ）=X3（θ）=X（θ），采用式（15）中平滑切換系數(shù)，對式（18）中2不等式作線性疊加可得不等式

成立，則對于平滑過渡區(qū)域J2中任意一點，在相同的Lyapunov矩陣下,控制器K1（θ）、K3（θ）的任意線性疊加所獲得的新控制器均可保證在區(qū)域J2內的系統(tǒng)穩(wěn)定。

根據(jù)上述證明，能滿足閉環(huán)LPV系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的控制器為K1（θ）、K3（θ），而對于區(qū)域J2，能滿足閉環(huán)LPV系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的控制器為K1（θ）、K3（θ）及其任意的線性疊加，并且對于飛行包線內任意子系統(tǒng)有相同的Lyapunov矩陣使系統(tǒng)穩(wěn)定，由此可知平滑過渡區(qū)域No內系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

定理3中要求切換系統(tǒng)中所有的子區(qū)域都具有相同的多項式Lyapunov矩陣X（θ），顯然，這種方式保守性大，當子區(qū)域數(shù)量過多的時候，很難找到1個合適的Lyapunov矩陣使所有子區(qū)域均滿足控制要求。

對于切換LPV系統(tǒng)，假設存在1組正定矩陣{Xj（θ）}j沂NJ，每個矩陣可以保證在其對應的子區(qū)域J變化的連續(xù)性。則多參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)可寫為

通過切換信號σ確定當前所處的子區(qū)域J以及對應的Lyapunov矩陣Xj（θ）。

一般而言，如果有合適的切換邏輯保證Vσ在其當前對應的子區(qū)域J內單調遞減，則即使在整個參數(shù)軌跡上Vσ不是單調遞減的，也可以保證切換LPV系統(tǒng)的穩(wěn)定性[14]。

定理4：對于系統(tǒng)（14），存在1個狀態(tài)反饋H∞控制器，給定H∞性能指標γ＞0，如果存在實數(shù)對稱矩陣Xj（θ），實數(shù)矩陣W（θ）和SOS多項式矩陣Mj（θ），使得下列多項式矩陣為SOS

對任意j沂NJ均成立，則航空發(fā)動機閉環(huán)系統(tǒng)在飛行包線內漸進穩(wěn)定，且滿足H∞性能指標γ∞，K（jθ）=W（θ）X（θ）是保證系統(tǒng)（14）穩(wěn)定，且 H∞性能指標為γ∞的狀態(tài)反饋控制器。式中N（θ）=A（jθ）X（jθ）+B2（,jθ）W（θ）+（A（jθ）X（jθ）+B2（,jθ）W（θ））T。

證明：由于式（20）為SOS多項式矩陣，所以

又知Mj（θ）為SOS矩陣，即Mj（θ）＞0，將弱對偶定理推廣到多項式矩陣（21）中，可得

式（23）說明在θ∈專的整個區(qū)間內定理4均成立，即閉環(huán)切換系統(tǒng)（14）穩(wěn)定且滿足H∞性能指標γ∞。

根據(jù)定理4可知，系統(tǒng)（14）的控制器求解可以轉化為SOS規(guī)劃問題，控制器求解的具體步驟如下。

（1）對于非平滑過渡區(qū)，給定H∞性能指標γ∞，利用MATLAB中的SOSTOOLS工具箱分別求取每個子區(qū)域對應的SOS多項式矩陣Xj（θ）、W（θ）和Mj（θ），然后通過定理4求解出各子區(qū)域內滿足要求的切換LPV控制器。

（2）對于平滑過渡區(qū)，采用式（15）中的平滑切換系數(shù)對相鄰2個非平滑過渡區(qū)域的控制器進行插值，定理3中相關證明可保證平滑過渡區(qū)控制器的穩(wěn)定性。

（3）將求得的切換LPV控制器在某型渦扇發(fā)動機上進行全包線仿真驗證，相應的控制系統(tǒng)控制結構如圖5所示。

3 仿真驗證與分析

針對某型渦扇發(fā)動機在全包線內高度、馬赫數(shù)和轉速大范圍漸進變化的情況，采用依據(jù)定理4設計的平滑切換LPV控制器進行閉環(huán)系統(tǒng)仿真驗證。

圖5 全包線LPV切換控制系統(tǒng)結構

3.1 仿真分析1

在全包線內發(fā)動機高度、馬赫數(shù)和轉數(shù)的變化曲線如圖6所示。從圖中可見，在整個運行軌跡中共有4 次切換，分別是 16.5～18.75 s、24～26 s、37～39.5 s、43～47.5 s控制器經(jīng)過平滑過渡切換區(qū)域。采用上述平滑過渡切換LPV控制器進行仿真驗證，仿真結果（圖6）切換區(qū)域局部放大如圖7所示。

圖6 飛行高度、馬赫數(shù)和轉速變化

圖7 切換區(qū)域局部放大

從圖6中可見，隨著高度、馬赫數(shù)的變化，高壓轉子轉速可以很好地跟蹤指令信號，響應時間約為3 s，且穩(wěn)態(tài)誤差小于0.5%，滿足控制要求。

從圖7可見，在上述4個切換區(qū)域中，控制器發(fā)生切換時，系統(tǒng)狀態(tài)變化平穩(wěn)，無跳變。

3.2 仿真分析2

對平滑過渡切換和邦邦切換方法作對比仿真驗證，如圖8所示。

從圖中可見，采用邦邦切換時存在約3%的跳變，而平滑過渡切換很好地解決了這一問題。

3.3 仿真驗證3

在全包線內選取11個多胞頂點，結合多胞理論設計全包線單一LPV控制器，與所設計的平滑過渡切換LPV控制器作對比。仿真結果如圖9所示。

圖8 切換方法對比

圖9 控制方法對比

從圖中可見，雖然單一LPV控制器不存在控制器間切換的跳變問題，但由于包線內不同工作點發(fā)動機性能參數(shù)存在較大差異，故相比于平滑切換LPV控制器跟蹤響應更慢，且存在約4%的超調。

4 結論

本文針對航空發(fā)動機在全包線內轉速大范圍變化下的控制器設計問題，提出了1種基于SOS規(guī)劃的平滑過渡切換LPV控制器。通過SOS規(guī)劃的方法降低了傳統(tǒng)LMI優(yōu)化方法的保守性，同時采用平滑過渡切換解決邦邦切換時控制器存在的跳變問題。通過該方法設計的控制器可以精確跟蹤指令信號，具有良好的魯棒性，同時切換時不存在跳變，穩(wěn)定性更強。