基于卡爾曼濾波的抗電離層閃爍跟蹤算法研究

夏 俊，周必磊，宋 濤，劉 陽(yáng)，岳富占

(1. 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109； 2. 北京衛(wèi)星信息工程研究所，北京 100086)

0 引言

星載GPS接收機(jī)作為低軌衛(wèi)星、載人飛船及空間站等低軌航天器的重要測(cè)控手段，主要為航天器提供實(shí)時(shí)定位、授時(shí)、定軌服務(wù)，其性能對(duì)實(shí)現(xiàn)航天器任務(wù)的高分辨率、高精度、高穩(wěn)定性和高可靠性等指標(biāo)要求具有至關(guān)重要的影響。低軌航天器多工作在高度低于1 000 km的軌道[1]，電離層閃爍現(xiàn)象較為嚴(yán)重，且電離層閃爍與工作頻率有關(guān)，在3 GHz頻率以下，電離層閃爍最為嚴(yán)重。GPS系統(tǒng)恰好工作在L頻段，故電離層閃爍嚴(yán)重影響星載GPS接收機(jī)的性能，不僅會(huì)降低接收機(jī)的環(huán)路跟蹤性能，當(dāng)閃爍特別嚴(yán)重時(shí)，還會(huì)造成接收機(jī)的環(huán)路失鎖，以致無(wú)法定位[2]。故電離層閃爍現(xiàn)象已成為星載GPS接收機(jī)亟待解決的難點(diǎn)問(wèn)題。

文獻(xiàn)[3-4]中提出了閃爍下環(huán)路參數(shù)的合理設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[5]中提出了一種采用電文剝離技術(shù)提高環(huán)路抗電離層閃爍性能的方法；文獻(xiàn)[6]中利用由MITRE建立的電離層閃爍仿真模型，分析對(duì)比了采用不同鑒別器的環(huán)路抗閃爍性能；文獻(xiàn)[7-9]中分析了鎖頻環(huán)(FLL)輔助鎖相環(huán)(PLL)跟蹤環(huán)路的抗閃爍跟蹤性能。

以上研究結(jié)果表明:僅通過(guò)環(huán)路參數(shù)、鑒相器的選擇，傳統(tǒng)PLL環(huán)路當(dāng)電離層閃爍時(shí)并不能很好地適應(yīng)，且以上跟蹤環(huán)路具有環(huán)路帶寬固定的問(wèn)題，環(huán)路帶寬的選取始終需要在跟蹤魯棒性與跟蹤精度之間做平衡。理論上，采用自適應(yīng)帶寬環(huán)路是抗電離層閃爍的一種有效途徑。本文提出一種基于卡爾曼濾波的抗電離層閃爍跟蹤算法，介紹電離層閃爍理論模型及閃爍數(shù)據(jù)的生成過(guò)程，給出卡爾曼濾波跟蹤環(huán)路結(jié)構(gòu)，建立卡爾曼濾波跟蹤模型并加以仿真。

1 電離層閃爍理論模型

1.1 理論模型

AJ-Stanford模型是一種常用的電離層閃爍信號(hào)統(tǒng)計(jì)模型，它是基于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性而被提出，用于模擬產(chǎn)生電離層閃爍時(shí)信號(hào)幅度和相位變化量的時(shí)間序列。

AJ-Stanford模型將電離層閃爍信號(hào)表示為

E=Aexp(jφ)=A0δAexp[j(φ0+δφ)]

(1)

式中：A0為信號(hào)的正常幅度；δA為電離層閃爍影響下的信號(hào)幅度變化；φ0為正常信號(hào)的載波相位；δφ為閃爍影響時(shí)的相位變化。當(dāng)無(wú)電離層閃爍時(shí)，δA為1，δφ為0；當(dāng)電離層閃爍時(shí)，δφ與δA會(huì)發(fā)生隨機(jī)起伏變化。電離層閃爍時(shí)信號(hào)功率(I=A2=I0δI)的變化量δI服從Nakagami-m分布，概率密度函數(shù)[10]可表示為

(2)

式中：δI為信號(hào)功率變化量；Ω=E(δI)為信號(hào)強(qiáng)度均值;1/m為Nakagami-m分布的方差;Γ(m)為Gamma函數(shù)。

由電離層閃爍造成的信號(hào)幅度衰落強(qiáng)度用S4因子表示(即幅度閃爍因子)，其定義為信號(hào)功率變化量的歸一化標(biāo)準(zhǔn)差，即

(3)

m=1/(S4)2

(4)

對(duì)于閃爍信號(hào)的強(qiáng)度譜具有冪律特征，可以利用冪指數(shù)即對(duì)數(shù)域的斜率來(lái)反映閃爍特征。

閃爍信號(hào)相位起伏通常服從零均值高斯分布，即

(5)

式中：σ為相位變化的標(biāo)準(zhǔn)差(即相位閃爍因子)。

相位變化在短時(shí)間間隔內(nèi)是強(qiáng)相關(guān)的。同時(shí)，閃爍信號(hào)相位譜也具有冪律特征，觀測(cè)到的功率譜密度近似遵循Tf-p的形式，其中譜斜率p的范圍為2.0～3.0，其中T為強(qiáng)度因子(單位為rad2/Hz)。

1.2 閃爍數(shù)據(jù)生成

總體來(lái)說(shuō)，幅度與相位的變化具有負(fù)相關(guān)性，即較大的幅度變化對(duì)應(yīng)于較小的相位變化，反之亦然。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明:該相關(guān)系數(shù)約為-0.6。此相關(guān)性可通過(guò)一個(gè)雙變量變化來(lái)表示，即

(6)

式中：δI和η分別為兩個(gè)獨(dú)立的高斯序列，其中δI的方差為σI、均值為Ω，η是均值為0、方差為1的高斯隨機(jī)數(shù)；ρφI為信號(hào)功率變化量與相位變化量的相關(guān)系數(shù)；相位的變化量δφ可由δI、η、ρφI聯(lián)合求解得到。為不將偏差引入δφ，將δI減去均值Ω,等頻譜成型后再將此均值加回即可。

為使產(chǎn)生的數(shù)據(jù)具有期望時(shí)間相關(guān)性，即接近于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的譜形狀，模型使用成型濾波器對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行濾波。成型濾波器中使用一組級(jí)聯(lián)的Butterworth濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，即

(7)

式中：H(jf)為傳遞函數(shù);f為頻率;mk與ml為濾波器階數(shù);an、bn、c與d為濾波器系數(shù)。從式(7)可以看出，此濾波器由一系列帶通濾波器以及一個(gè)低通濾波器和一個(gè)高通濾波器級(jí)聯(lián)而成，共同形成了閃爍強(qiáng)度譜和相位譜的形狀。k是一個(gè)尺度因子，保證S4和σ在通過(guò)此濾波器后，大小不被改變。即k必須滿(mǎn)足

(8)

對(duì)于幅度閃爍，整形濾波器的參數(shù)可表示為

(9)

AJ-Stanford模型閃爍信號(hào)生成過(guò)程如圖1所示。

圖1 基于AJ-Stanford模型的電離層閃爍數(shù)據(jù)生成流程Fig.1 Process of ionospheric scintillation data generation based on AJ-Stanford model

首先由兩個(gè)高斯序列發(fā)生器基于S4和σ驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)高斯序列，然后這兩個(gè)高斯序列再通過(guò)矩陣變換根據(jù)設(shè)定的相關(guān)系數(shù)ρφI作相關(guān)運(yùn)算，相關(guān)后的結(jié)果經(jīng)過(guò)整形濾波，使譜形狀滿(mǎn)足冪律特征。其中的信號(hào)幅度經(jīng)整形濾波后通過(guò)一個(gè)Gamma分布適配器，再經(jīng)平方根操作將高斯分布的信號(hào)幅度序列轉(zhuǎn)化為Nakagami-m分布。幅度變化序列δA乘以正常信號(hào)幅度值A(chǔ)0產(chǎn)生最終的信號(hào)幅度。同時(shí)，將相位起伏序列δφ加在正常的相位上以形成最終的信號(hào)相位，最終形成所需要的電離層閃爍信號(hào)。

2 卡爾曼濾波跟蹤環(huán)路

運(yùn)用卡爾曼濾波技術(shù)跟蹤GPS衛(wèi)星信號(hào)的前提是假設(shè)GPS衛(wèi)星信號(hào)參數(shù)變化為由一個(gè)白噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)信號(hào)模型?？柭鼮V波方程分為系統(tǒng)狀態(tài)方程和系統(tǒng)觀測(cè)方程，系統(tǒng)狀態(tài)方程主要完成狀態(tài)參量和狀態(tài)估計(jì)誤差的傳遞，系統(tǒng)觀測(cè)方程主要負(fù)責(zé)從系統(tǒng)觀測(cè)量獲取用于修正狀態(tài)量的信息，實(shí)現(xiàn)信號(hào)參數(shù)跟蹤，其中狀態(tài)模型采用狀態(tài)空間法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)量建模，觀測(cè)模型主要提供系統(tǒng)修正所需的信息[11]。

圖2是基于卡爾曼濾波的載波跟蹤環(huán)路原理圖，與傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路不同的是，利用卡爾曼濾波器完成載波相位的跟蹤，本地復(fù)現(xiàn)載波NCO(數(shù)控振蕩器)頻率更新來(lái)自于卡爾曼濾波的處理結(jié)果。

圖2 基于卡爾曼濾波的載波跟蹤環(huán)路原理圖Fig.2 Diagram of carrier tracking loop based on Kalman filter

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程建立

離散卡爾曼濾波的狀態(tài)方程為

Xk=ΦXk-1+Wk-1

(10)

(11)

式中：Qk為系統(tǒng)噪聲Wk的2×2維對(duì)稱(chēng)非負(fù)定方差矩陣；δkj為Kronecker-δ函數(shù)。

2.2 系統(tǒng)觀測(cè)方程建立

離散卡爾曼濾波的觀測(cè)方程為

Zk=HXk+Vk

(12)

(13)

式中：Rk為觀測(cè)噪聲Vk的1×1維對(duì)稱(chēng)正定方差矩陣。

載波跟蹤環(huán)路鑒別器選取為二象限反正切鑒別器，則觀測(cè)量大小Zk可表示為

(14)

式中：Qp,k與Ip,k分別為k時(shí)刻Q支路與I支路累加值。

2.3 卡爾曼濾波過(guò)程

基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的狀態(tài)向量的一步預(yù)測(cè)方程為

(15)

基于一步預(yù)測(cè)方程與觀測(cè)方程的狀態(tài)濾波方程為

(16)

式中：Kk為濾波增益矩陣，即

Kk=Pk/(k-1)HT(HPk/(k-1)HT+Rk)-1

(17)

為計(jì)算濾波增益矩陣Kk，需要計(jì)算一步預(yù)測(cè)誤差的方差陣，表示為

Pk/(k-1)=ΦPk-1ΦT+Qk-1

(18)

相應(yīng)的估計(jì)誤差的方差陣為

Pk=(I-KkH)Pk/(k-1)

(19)

上述的式(15)～(19)即為隨機(jī)線(xiàn)性離散系統(tǒng)中卡爾曼濾波算法的5個(gè)基本公式。

3 仿真分析

基于Matlab語(yǔ)言數(shù)值仿真驗(yàn)證卡爾曼濾波跟蹤環(huán)路抗電離層閃爍的性能。圖3給出了幅度閃爍因子(S4=0.5或0.9,σ=0.1)時(shí)基于AJ-Stanford模型生成的閃爍信號(hào)。

圖3 采用AJ-Stanford模型當(dāng)幅度閃爍不同 時(shí)生成的電離層閃爍數(shù)據(jù)Fig.3 Ionospheric scintillation data with different amplitude scintillations based on AJ-Stanford model

以中等幅度閃爍信號(hào)(S4=0.5,σ=0.1)為例，統(tǒng)計(jì)分析跟蹤結(jié)果?？柭鼮V波環(huán)路中，Q矩陣分別設(shè)置為[0.01 0; 0 0.1]、[0.01 0; 0 0.1]、[0.01 0; 0 0.01]，對(duì)應(yīng)的R分別設(shè)置為10、5與5。

針對(duì)中等幅度閃爍，分別統(tǒng)計(jì)以上3組不同參數(shù)卡爾曼環(huán)路鑒相值標(biāo)準(zhǔn)差最大值及載波相位誤差，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 S4=0.5,σ=0.1時(shí)不同參數(shù)卡爾曼環(huán)路跟蹤結(jié)果

由表1可知，當(dāng)中等幅度閃爍，R取5時(shí)的環(huán)路載波相位誤差大于R取10時(shí)的環(huán)路載波相位誤差；R取5時(shí)，Q22取0.1時(shí)的環(huán)路載波相位誤差比Q22取0.01時(shí)的載波相位誤差稍大。故當(dāng)發(fā)生電離層幅度閃爍時(shí)，為降低環(huán)路熱噪聲，提高載波相位跟蹤精度，需要減小Q值，增大R值。

圖4給出幅度閃爍不同時(shí)不同參數(shù)卡爾曼環(huán)路與PLL環(huán)路鑒相器輸出值的標(biāo)準(zhǔn)差，圖5給出了幅度閃爍不同時(shí)卡爾曼環(huán)路與PLL環(huán)路載波相位誤差。由圖4可知，幅度閃爍不同時(shí)，3組不同參數(shù)卡爾曼環(huán)路鑒相值標(biāo)準(zhǔn)差基本相當(dāng)，卡爾曼環(huán)路在幅度閃爍時(shí)的鑒相值標(biāo)準(zhǔn)差比PLL環(huán)路小，當(dāng)環(huán)路穩(wěn)定跟蹤時(shí)卡爾曼環(huán)路具有比PLL環(huán)路更小的等效帶寬，跟蹤魯棒性要優(yōu)于PLL環(huán)路。由圖5可知，卡爾曼環(huán)路在幅度閃爍時(shí)的載波相位誤差同樣比PLL環(huán)路小。故當(dāng)幅度閃爍時(shí)，卡爾曼環(huán)路的跟蹤精度要明顯優(yōu)于PLL環(huán)路。

圖4 幅度閃爍不同時(shí)卡爾曼環(huán)路與PLL環(huán)路鑒相值標(biāo)準(zhǔn)差Fig.4 Standard deviation of discriminator output of Kalman and PLL loops with different amplitude scintillations

圖5 幅度閃爍不同時(shí)卡爾曼環(huán)路與PLL環(huán)路載波相位誤差Fig.5 Carrier phase error of Kalman and PLL loops with different amplitude scintillations

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)電離層閃爍可引起星載GPS接收機(jī)傳統(tǒng)PLL跟蹤環(huán)路測(cè)量誤差增大從而降低接收機(jī)定位及測(cè)速精度的問(wèn)題，提出了一種卡爾曼濾波環(huán)路抗電離層閃爍算法。仿真結(jié)果表明：幅度閃爍時(shí)，為提高載波相位跟蹤精度，需要減小Q值，增大R值；且與傳統(tǒng)的PLL環(huán)路相比，卡爾曼濾波算法跟蹤魯棒性與跟蹤精度明顯優(yōu)于PLL環(huán)路。但由于卡爾曼濾波算法是一系列的矩陣運(yùn)算，計(jì)算量較大，針對(duì)未來(lái)的工程應(yīng)用，需要重點(diǎn)解決卡爾曼環(huán)路在星上資源受限時(shí)的算法優(yōu)化實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。

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