彈簧類問題的一種特殊解法

摘 要：彈簧類問題是普通高中典型的問題之一，也是高中物理的難點。在一次理綜題（2014年新課標(biāo)理綜Ⅰ卷第17題）的練習(xí)中，作者發(fā)現(xiàn)有難度，引起了她的進(jìn)一步的思考。為了能更好地解決這一類問題，根據(jù)老師的講解，作者進(jìn)行了總結(jié)、歸納，建立了模型。

關(guān)鍵詞：思考巧解；模型的建立；模型的應(yīng)用

一、 源于一道高考題的思考

【2014年新課標(biāo)理綜Ⅰ卷第17題】如圖，用橡皮筋將一小球懸掛在小車的架子上，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)使小車從靜止開始向左加速，加速度從零開始逐漸增大到某一值，然后保持此值，小球穩(wěn)定地偏離豎直方向某一角度（橡皮筋在彈性限度內(nèi)），與穩(wěn)定在豎直位置時相比，小球的高度（ ）

A. 一定升高

B. 一定降低

C. 保持不變

D. 升高或降低由橡皮筋的勁度系數(shù)決定

對于這道題，我們常見的解答是這樣的：小車靜止時，橡皮筋彈力等于小球重力F1=mg，小球在懸點下豎直距離：L1=L0+mg/k；小車以一定的加速度運動時，小球穩(wěn)定地偏離豎直方向某一角度θ，這時橡皮筋的彈力為F2，由于小球在豎直的方向有：F2cosθ=mg，則小球在懸點下豎直距離：L2=（L0+mg/kcosθ）cosθ=L0cosθ+mg/k，故L1>L2，即小球一定升高。A正確。

本題是四選一的單選題，猜對率為0.25。聽物理老師說，本題實測難度為0.22，因此，基本上沒有人做對。

二、 模型的建立

大家知道，彈簧的彈力F與彈簧的形變量x成正比，因此，在彈簧這一類的問題中，我們可以通過彈簧形變量的變化規(guī)律，代表彈簧的彈力的變化規(guī)律，這種方法在解決彈簧這一類動力學(xué)的問題中有著很好的直觀性的優(yōu)勢。

【新探索】設(shè)OA長度為橡皮筋的原長，小車在靜止時，橡皮筋處于豎直狀態(tài)為OB，伸長量為x1，小車向左加速運動時，橡皮筋向右傾斜為OC，伸長量為x2，由平衡條件得知，兩種情況下，橡皮筋拉力的豎直分量相等（等于小球的重力），也就是伸長量的豎直分量相等。但是，彈簧原長OA的豎直分量在其加速運動時卻在減小，故答案選A。

三、 模型的應(yīng)用

例1 如圖所示，A、B兩物塊始終靜止在水平地面上，有一輕質(zhì)彈簧一端連接在豎直墻上P點，另一端與A相連接，下列說法正確的是（ ）

A. 如果B對A無摩擦力，則地面對B也無摩擦力

B. 如果B對A有向左的摩擦力，則地面對B也有向左的摩擦力

C. P緩慢下移過程中，B對A的支持力一定減小

D. P點緩慢下移過程中，地面對B的摩擦力一定增大

【解析】對于A、B選項比較簡單，大多數(shù)同學(xué)都能做對。但是，如果想把問題研究徹底的話，研究另外兩個答案是必需。下面就利用前面的結(jié)論來對這個問題的C、D兩個選項進(jìn)行進(jìn)一步的分析。

彈簧初態(tài)是拉伸、原長還是壓縮？不知道，因此，我們從彈簧處于拉伸狀態(tài)分析起。如甲圖所示，Ac設(shè)為彈簧的原長，彈簧的Aa、Ab狀態(tài)為進(jìn)行拉伸的狀態(tài)，Ad、Ae、Af為進(jìn)行壓縮的狀態(tài)。

彈簧端點從a點向下移動到b點，然后再移動到c點的過程中，彈簧對A的拉力的豎直分量越來越小，水平分量也越來越小。故A與B之間的摩擦力減小，B與地面之間的摩擦力也減小，而A對B的壓力增大，B對A的支持力、地面對B的支持力也增大。

彈簧端點從c點向下移動到d點、e點，再移到f點的過程中，彈簧對A的壓力的豎直分量先變大后變小，而水平分量越來越大。故A和B之間的摩擦力、B和地面之間的摩擦力一直增大，但A對B的壓力是先增大后減小，B對A的支持力、地面對B的支持力也是先增大后減小。

從上面的分析來看，由于沒有指明初始狀態(tài)的P點位于什么位置，彈簧處于一種什么狀態(tài)，C、D兩個答案就很片面了。

例2 如圖所示，輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與一質(zhì)量為m、套在粗糙豎直固定桿A處的圓環(huán)相連，彈簧水平且處于原長。圓環(huán)從A處由靜止開始下滑，經(jīng)過B處的速度最大，到達(dá)C處的速度為零，AC=h。圓環(huán)在C處獲得一豎直向上的速度v，恰好能回到A。彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g。則圓環(huán)（ ）

A. 下滑過程中，加速度一直減小

B. 下滑過程中，克服摩擦力做的功為14mv2

C. 在C處，彈簧的彈性勢能為14mv2-mgh

D. 上滑經(jīng)過B的速度大于下滑經(jīng)過B的速度

【解析】如圖所示，圓環(huán)的下滑彈簧彈力的水平、豎直分量都是從零逐漸增大，那么桿對圓環(huán)向右的支持力也增大，即向上的摩擦力從零逐漸增大，因此，圓環(huán)在下滑過程中的加速度先是向下的，并且一直減小，當(dāng)彈簧彈力的豎直分量、摩擦力的和等于重力的時候（B位置），加速度減為零，圓環(huán)速度也達(dá)到最大；此后彈簧彈力的豎直分量與摩擦力的和超過重力，合力向上，加速度向上逐漸增大，速度開始減小，在C點速度減為零時，向上的加速度達(dá)到最大值。

圓環(huán)上滑的過程中，經(jīng)過同一位置時，彈簧的彈力相同，也就是水平、豎直分量相同，故摩擦力大小也相同。因此上升的全過程，摩擦力做功與下滑過程同樣多。

A到C：mgh-W彈-Wf總=0-0

C到A：-mgh+W彈-Wf總=0-12mv2

聯(lián)立得：Wf總=14mv2，W彈=mgh-Wf總=mgh-14mv2故B正確，C錯誤。

A到B：mghAB-W彈1-Wf1=12mv21-0

B到A：-mghAB+W彈1-Wf1=0-12mv22

聯(lián)立易得：v2>v1，故D正確。

物理是高考考試內(nèi)容的重要組成部分，在高考中所占的比重較大，所以，我們要在物理學(xué)習(xí)過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗，根據(jù)高中物理的學(xué)習(xí)任務(wù)和規(guī)律，總結(jié)并掌握高中物理學(xué)習(xí)方法。

參考文獻(xiàn)：

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[2]楊勝光.高中物理輕彈簧問題歸類解析[J].課程教材教學(xué)研究，2011.

[3]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書物理課本[M].山東兒科學(xué)技術(shù)出版社，2017.

作者簡介：

楊文琦，山東省萊陽市，萊陽市第一中學(xué)2015級2班。