導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的一些簡單應(yīng)用

摘 要：導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中一個非常重要的概念，它反映的是函數(shù)相對于自變量的變化快慢的程度。本文先簡單介紹導(dǎo)數(shù)的定義，然后通過一些例子說明導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的一些簡單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；目標(biāo)函數(shù)；最大利潤

導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中一個非常重要的數(shù)學(xué)概念，它反映的是函數(shù)相對于自變量來說的變化快慢程度。導(dǎo)數(shù)的思想最初的時候是由法國數(shù)學(xué)家費馬為研究極值問題而引入的，費馬在他的著作《求最大值和最小值的方法》中談到了切線法，這種方法本質(zhì)上就是我們后來所說的導(dǎo)數(shù)的思想。與導(dǎo)數(shù)的概念直接相聯(lián)系的是以下兩個實際問題：已知物體的運動規(guī)律求其速度和已知曲線求它的切線。這是由英國數(shù)學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)的過程中建立起來的?？梢哉f牛頓和萊布尼茲這兩位偉大的數(shù)學(xué)家建立了微積分學(xué)，使得微積分不再是古希臘幾何學(xué)的附庸和延展，而是一門獨立的科學(xué)。

下面我們先給出導(dǎo)數(shù)的定義。設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某鄰域有定義，如果極限（1）存在，則稱函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作 f′（x0）。如果極限（1）不存在，則稱函數(shù)f（x）在點x0處不可導(dǎo)。

導(dǎo)數(shù)的概念實際上就是函數(shù)相對于自變量來說的變化快慢程度，它是函數(shù)變化率這個概念的精確描述。它拋去了自變量和函數(shù)所代表的實際意義，不管它們所代表的物理或者幾何等方面的特殊意義，純粹從數(shù)量關(guān)系這個方面來刻畫函數(shù)變化率的本質(zhì)。導(dǎo)數(shù)f′（x0）反映了函數(shù)f（x）隨自變量x的變化而變化的快慢程度。因此，路程關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是物體運動的瞬時速度，曲線y=f（x）的導(dǎo)數(shù)是曲線的切線的斜率。

在實際生活中，經(jīng)常會碰到這樣的問題，在一定條件下，怎么樣才能使成本最低、利潤最高、用料最省等等這類問題。這類經(jīng)濟(jì)問題在數(shù)學(xué)上可以歸結(jié)為求目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值問題。這類經(jīng)濟(jì)問題可以利用導(dǎo)數(shù)來解決。假設(shè)目標(biāo)函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)除去有限個不可導(dǎo)點外其他的點都可導(dǎo)，并且至多只有有限個導(dǎo)數(shù)為零的點。在這樣的假設(shè)條件下，我們來討論目標(biāo)函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的求法。

連續(xù)函數(shù)y=f（x）在一個開區(qū)間內(nèi)的最大值或者最小值一定是它的一個極大值或者極小值。因此，在函數(shù)f（x）在開區(qū)間內(nèi)除去有限個點外可導(dǎo)且至多只有有限個導(dǎo)數(shù)為零的點這個前提條件下，若函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間內(nèi)一點x0處取得最大值或者最小值時，一定有f′（x0）=0或者 f（x）在點x0處不可導(dǎo)。另外，連續(xù)函數(shù)f（x）的最大值和最小值也有可能在區(qū)間的端點處取得。因此，我們首先求出函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)f′（x），找出導(dǎo)數(shù)為零的點和導(dǎo)數(shù)不存在的點，計算這些導(dǎo)數(shù)為零和導(dǎo)數(shù)不存在的點處的函數(shù)值，然后再與端點處的函數(shù)值f（a）和f（b）做比較，這些函數(shù)值中的最大值便是目標(biāo)函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值，這些函數(shù)值中的最小值便是目標(biāo)函數(shù)f（x）在[a，b]上的最小值。

下面我們通過幾個實例來說明導(dǎo)數(shù)在這類經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用。

【例1】 假設(shè)一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x千件的成本是 C（x）=x3-6x2+15x，賣出該產(chǎn)品x千件的收入是R（x）=9x。問該工廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時能取得最大的利潤。

解：由題目條件可知，賣出該產(chǎn)品x千件所獲得的利潤是L（x）=R（x）-C（x）=-x3+6x2-6x，x≥0。

上述利潤函數(shù)是可導(dǎo)的，導(dǎo)數(shù)為L′（x）=R′（x）。

令L′（x）=0，即R′（x）=C′（x）時，得x=2±2。

當(dāng)x<2-2時，L′（x）<0，L（x）在（-∞，2-2）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（2-2，2+2）時，L′（x）>0，L（x）在（2-2，2+2）單調(diào)遞增；

當(dāng)x>2+2時，L′（x）<0，L（x）在（2+2，∞）單調(diào)遞減；

因此，L（x）在2-2處取得最小值，在2+2取得最大值。即該工廠生產(chǎn)2+2千件產(chǎn)品時將獲得最大利潤，而生產(chǎn)2-2千件產(chǎn)品時將會發(fā)生局部最大虧損。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，稱C′（x）為邊際成本，R′（x）為邊際收入，L′（x）為邊際利潤。這個例題說明，當(dāng)邊際成本等于邊際收入時，即C′（x）=R′（x）時，廠家將會獲得最大利潤。這也說明并不是產(chǎn)量越多利潤越大，產(chǎn)量越小利潤越少。

【例2】 一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租。當(dāng)房租定為每月4000元時，公寓會全部租出去。當(dāng)每月房租每增加200元時，就會多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花費400元的維修費。問房租定為多少時該公司能獲得最大的利潤。

解：設(shè)每套公寓房租為x元（x≥4000），則公寓租不出去的公寓套數(shù)為x-4000200=x200-20，租出去的套數(shù)為50-x200-20=70-x200，租出去的每套公寓除去維修費將獲利x-400元，因此總利潤為L（x）=70-x200（x-400）=-x2200+72x-28000，上述利潤函數(shù)是可導(dǎo)的，導(dǎo)數(shù)為L′（x）=-1100x+72。

令L′（x）=0，得x=7200。當(dāng)x<7200時L（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x>7200時L（x）單調(diào)遞減，因此，L（x）在x=7200時取得最大值。即當(dāng)每套公寓的房租為7200元/月時，該地產(chǎn)公司能獲得最大利潤。此時，每個月能租出去34套公寓，得到房租244800元，除去這些公寓的維修費用13600元，該公司能獲得最大利潤231200元。雖然該公司還有16套公寓沒有租出去，但是它能獲得最大的利潤。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2014.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，2001.

作者簡介：

彭峰集，湖北省武漢市，湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院。