立足教材引導(dǎo)學(xué)生拓展探究進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以“球的體積和表面”的再探究教學(xué)為例

上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬浦東外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(201203)張能球

1 引言

教學(xué)離不開教材,因?yàn)榻滩牡木帉懟跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論,依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生,發(fā)展過程,遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律和特點(diǎn)[1],注重“從特殊到一般,再指導(dǎo)特殊”的認(rèn)識(shí)論規(guī)律,比如新編上海教材[2]必修三第11 章“簡(jiǎn)單幾何體”中,先是柱體和錐體,緊接著討論多面體和旋轉(zhuǎn)體,最后再“特殊化”到球的學(xué)習(xí),本章的教學(xué)重難點(diǎn)是發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、空間想象,及其相關(guān)的邏輯推理能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”)提出的“邏輯推理、直觀想象”等[3,4]六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),同時(shí)也是數(shù)學(xué)教師立足教材、深挖教材,把發(fā)展、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到每一節(jié)課堂的行動(dòng)指南.另一方面: 在“雙減”政策的驅(qū)動(dòng)下,真正落實(shí)“雙減”中“減”字背后的“增”,特別是教師教和學(xué)生學(xué)的效率的“增”,一線教師更需要立足教材、研讀教材、用好教材.本文在教材必修三[2]第11 章第四節(jié)“球的體積和表面”學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,特別拓展對(duì)教材中應(yīng)用數(shù)學(xué)的化曲為直的數(shù)學(xué)極限思想,即用ΔV的數(shù)學(xué)思想方法求球的表面積,作為拓展探究課以引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)對(duì)“球冠”的體積和表面積的進(jìn)行立足教材、研讀教材、推理論證、應(yīng)用賞析等教學(xué)片段,進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 立足教材、問題導(dǎo)入

先考慮一個(gè)半徑為R的半球,即由球的一個(gè)大圓把球切成兩部分中的一部分(圖(1)).作為對(duì)比的幾何,我們?nèi)〉酌姘霃綖镽、高為R的圓柱,并從中任意切去一個(gè)倒置的底面半徑為R、高為h(0 ≤h≤R)的圓錐(圖(2)).用平行于地面高度為h的平面截這兩個(gè)幾何體:

這兩個(gè)截面(圖(1)(2)陰影部分S1,S2)面積相等[2],通過祖暅原理推導(dǎo)出球的體積公式,給出球的面積公式并描述了一種證明思路(立足教材).

在現(xiàn)實(shí)生活中,有與球相關(guān)的的幾何體,比如:

定義1[5]球面被一個(gè)平面截得的一部分叫做球冠.

定義2[5]球面被兩個(gè)平行平面所截,夾在兩個(gè)平行平面之間的球面的一部分叫做球帶.

問[1]: 那么球冠、球帶等幾何體的體積或表面積又該怎么計(jì)算(問題導(dǎo)入)?

由定義,半球(圖(1))中含有高為(R-h)的球冠和高為h的球帶兩部分,所以如果知道了球冠的體積或表面積,那么球帶的體積或表面積也就知道了.接下來我們研究幾何體由半球得出的的“球冠”的體積或表面積.

3 研讀教材、合作探究

祖暅?zhǔn)俏覈?guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之之子,祖暅原理是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成果,當(dāng)我們仔細(xì)研讀教材,不難發(fā)現(xiàn): 必修三第11 章中的柱體、錐體、球體的體積公式的探究和證明都是采用了它.問[2]: 那么球冠的體積探究是否也可以利用祖暅原理呢?

上海教材[2]中求球體的體積時(shí),取底面半徑為R、高為R的圓柱,并從中切去一個(gè)倒置的底面半徑為R、高為R的圓錐(圓錐的底面置于圓柱的上底面,圓錐的頂點(diǎn)置于圓柱下底面的圓心).問[3]: 為什么圓錐需要倒置呢?

帶著這些疑問, 積極引導(dǎo)學(xué)生回歸教材、研讀教材, 及同學(xué)之間、師生之間進(jìn)行討論、探究, 不難得出: 圓錐倒置的目的是為了保證用平行底面高度為h(0 ≤h≤R) 的平面截的兩個(gè)幾何體(圖(1)(2))中陰影部分面積始終相等即S1=S2,根據(jù)祖暅原理可得:

球冠的體積等于以AD(AD=R-h)為高的圓柱體的體積減去以直角梯形CBDT的直角邊CT旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體(圓臺(tái)即相同頂點(diǎn)O的大圓錐減去小圓錐)的體積,即:

類比描述球的表面積公式的證明思路: 把球冠表面剖分成許多小區(qū)域, 取其中一個(gè)區(qū)域, 把它近似看成平面的三角形或多邊形,從而它與球心組成一個(gè)側(cè)棱是R的棱錐,當(dāng)這個(gè)區(qū)域足夠小時(shí), 棱錐的高也近似于R, 棱錐的體積,其中ΔS為棱錐底面積也即球冠表面的一小部分,當(dāng)取遍剖分中的所有小區(qū)域時(shí),ΔS的總和近似于球冠的表面積S球冠,而ΔV的總和近似于球冠的體積V球冠與球心為頂點(diǎn)S1為底面的圓錐的體積V圓錐之和,即:

(2)式與剖分過程無關(guān).可以想象,當(dāng)剖分做得越來越精細(xì)時(shí),推導(dǎo)過程中的“近似”越來越趨向于“精確”,于是(2)式中近似關(guān)系最終成為相等關(guān)系,即:

整理(3)式可得球冠表面面積公式.

4 推理論證、形成公式

由圖(1) (3) 知: 陰影部分S1是一個(gè)圓, 其半徑為,面積為π(R2-h2),以O(shè)為頂點(diǎn)、KP為半徑的圓(即陰影部分S1)作底面的圓錐的體積為;由圖(2) (4) 知: 以AD(AD=R-h) 為高的圓柱體的體積πR2(R-h), 陰影部分S2是一個(gè)圓環(huán), 其面積為π(R2-h2), ΔBCO和ΔDTO都是等腰直角三角形且BC=CO=h,DT=T0=R,則以O(shè)為頂點(diǎn)、DT為半徑的圓作底面的圓錐的體積為,以O(shè)為頂點(diǎn)、BC為半徑的圓作底面的圓錐的體積為,根據(jù)祖暅原理可知:

即: 球冠的體積

顯然當(dāng)h= 0 時(shí), 此時(shí)球冠即半球, 即: 當(dāng)h= 0 時(shí),, 則, 故以上推導(dǎo)可作為推導(dǎo)出球的體積公式的方法之一.

以O(shè)為頂點(diǎn)、KP為半徑的圓(即陰影部分S1)作底面的圓錐的體積為:

當(dāng)h= 0 時(shí), 由(6) 式顯然可知: 則S半球= 2πR2, 則S球= 4πR2, 故以上推導(dǎo)可作為推導(dǎo)出球的表面積公式的方法之一.

事實(shí)上,球冠常常以圖(1)中的(R-h)為高,不妨設(shè)球冠的高為H,則:

把(7)式代入(4)式和(6)式,得: 球冠的體積

球冠的表面積

其中R為球的半徑,H為球冠的高.

另外,常常以圖(2)中的KP為球冠底的半徑,不妨設(shè)球冠底的半徑為r,直角ΔOKP中有:

把(10)式代入(8)式和(9)式,得: 球冠的體積

球冠的表面積

其中r為球冠的底面的半徑,H為球冠的高.

5 應(yīng)用賞析、觸類旁通

題1祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”,即: 夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.有一個(gè)球形瓷碗,它可以看成半球的一部分,若瓷碗的直徑為8,高為2,利用祖暅原理可求得該球形瓷碗的體積為( )

設(shè)計(jì)意圖題設(shè)中給出祖暅原理的原文就是簡(jiǎn)短的九個(gè)字,教學(xué)中應(yīng)該充分利用祖暅原理的文化價(jià)值,培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)主義情懷.瓷碗來源于現(xiàn)實(shí)生活,讓生活中的數(shù)學(xué)走進(jìn)學(xué)生的視野,拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離,并充滿了智慧的光芒,這是學(xué)生可望并可及的[6],同時(shí)可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性、積極性,通過實(shí)物模型、直觀感知、度量計(jì)算等,建立空間觀念,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

分析本題實(shí)際上是球冠體積公式(11)的應(yīng)用,代入數(shù)值r=4,H=2 不難得出答案為B.

題2設(shè)地球的半徑為R,衛(wèi)星離地面的高度為H,要使地球上面積的人能同時(shí)見到衛(wèi)星,則H等于____(用地球半徑R來表示).

設(shè)計(jì)意圖從衛(wèi)星與地球的具體事物背景中“抽象模型、求作圖形、演繹運(yùn)算”的模式,提高幾何直觀和空間想象能力,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

分析地球上面積的人能同時(shí)見到衛(wèi)星,即等價(jià)于球冠的表面積等于球的表面積的即:

6 探究性教學(xué)感悟

探究性教學(xué)指教師針對(duì)教學(xué)中某個(gè)教學(xué)內(nèi)容或問題,精心設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生積極探索的教學(xué)過程,比如立足教材、問題導(dǎo)入,研讀教材、合作探究,推理論證、形成公式等環(huán)節(jié),使學(xué)生在體驗(yàn)探究的過程中培養(yǎng)獨(dú)立思考、合作交流、邏輯推理等方面的能力.它是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、創(chuàng)新能力,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最重要的方式之一.哲學(xué)家康德說: 每當(dāng)理智缺乏可靠論證思路時(shí),類比方法往往能指引我們前進(jìn);在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)能力的教學(xué)中,類比是重要的一種方法[7].本節(jié)課探究的問題源自教材,探究的方法(類比)也是源自教材,數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的核心價(jià)值在于能真正重視學(xué)生的主動(dòng)性和積極性,注重培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性,比如在球冠體積和表面積公式(4)和(6)進(jìn)行改寫成(8)和(9)式、(11)和(12)式,更接近于現(xiàn)實(shí)生活中的模型.

作為一線教師,“著眼于學(xué)生的長(zhǎng)期利益,發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量,挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵所蘊(yùn)含的價(jià)值資源,以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核心, 使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考,成為善于認(rèn)識(shí)問題、解決問題的人才”[8],而努力.