模型有差異 類比需謹慎

宋輝武 劉 博

(1. 鄂爾多斯市第一中學(xué)，內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010； 2. 長春師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長春 130032)

筆者閱讀了本刊2017年第6期一篇論文《2015年高考全國卷Ⅱ第21題評講有感》,[1]對該文提出的模型遷移很感興趣,該文將光滑半圓形軌道上質(zhì)點運動的模型與高考題中的桿連物系的質(zhì)心運動的模型進行類比,并以此來解釋說明桿何時由頂變拉．經(jīng)過深入思考仔細計算后,筆者發(fā)現(xiàn)文中的兩個核心觀點有失偏頗,實際上文中提到的兩種模型形似而神異,作者只關(guān)注形式上的相似而忽視神韻上的差異,因此得出了一些經(jīng)不住推敲的錯誤結(jié)論．

圖1 圖2

1 圖2中質(zhì)心的運動情況和圖1中的質(zhì)點的運動情況并不相同

首先我們設(shè)圖1中的質(zhì)點的質(zhì)量為2m,圖2中的a、b球的質(zhì)量皆為m,桿長為2l,則我們根據(jù)動能定理，對于圖1可得

(1)

對于圖2可得

(2)

因質(zhì)心位于桿的中點,因此質(zhì)心的水平分速度與豎直分速度正好是a、b球的速度的一半(當然質(zhì)心的水平分加速度與豎直分加速度也是a、b球的加速度的一半),即

(3)

(4)

因此(2)式可改寫成

(5)

(6)

可以看出(6)式與(2)式是相同的，重力所做的功并不等于質(zhì)心動能而是等于質(zhì)心動能加相對動能(此即為柯尼希定理的內(nèi)容)．而圖1的模型中重力所做的功全都轉(zhuǎn)化為質(zhì)點的動能,由此可以看出當圖1中的質(zhì)點與圖2中的質(zhì)心處于相同位置時,二者的速度并不相等,質(zhì)心的速度必小于質(zhì)點的速度,也就是說圖2中質(zhì)心的運動情況和圖1中的質(zhì)點的運動情況并不相同．

2 光滑豎直桿對b的彈力與光滑水平面對a的彈力的合力并不是背離圓心或指向圓心

根據(jù)質(zhì)心運動定理可得

(7)

(8)

找到aa和ab的關(guān)系也就能夠確定Na和Nb的關(guān)系,下面我們再來尋找aa和ab的關(guān)系.

設(shè)Oa長度為x,則x=2lcosθ,兩邊同時對時間求導(dǎo)得

(9)

又vacosθ=vbsinθ,

(10)

則

(11)

將(9)式代入(11)式解得

(12)

(13)

將(7)、(8)兩式代入(13)式可得

整理后為

g-ab=aatanθ,

(14)

根據(jù)(2)式可得

(15)

將(15)式對時間求導(dǎo)后可得

aa=gcosθ(3sinθ-2),

(16)

由(12)、(14)、(15)式可得

aa=gcosθ(3sinθ-2).

(1) 開始一段時間桿是頂?shù)臓顟B(tài),此時滿足Na-mg>0,且Nb>0,物理意義為Na>mg,且Nb方向為水平向右,這個過程中Na-mg與Nb的合力方向是背離圓心的.

(2) 后一段時間桿是拉的狀態(tài),此時滿足Na-mg<0,且Nb<0,物理意義為Na

(3) 臨界情況即為桿上的彈力為0,此時桿既不頂也不拉,且滿足Na=mg,Nb=0．

Na-mg與Nb的合力的變化趨勢為:方向先是背離圓心,大小逐漸減小為0,然后方向變?yōu)橹赶驁A心,大小由0逐漸增大．Na-mg和Nb的變化趨勢同樣為逐漸減小到0再反向逐漸增大,即與合力的變化趨勢保持一致．

1 唐召軍.2015年高考全國卷Ⅱ第21題評講有感[J].物理教師,2017(6):92-93.