證據(jù)理論視角下區(qū)間概率信息風險型決策新方法

閆 英,周中林,袁 明,甘 蜜

（1.西南科技大學 經(jīng)濟管理學院,四川 綿陽 621010；2.西南交通大學 交通運輸與物流學院,成都 610031）

0 引言

在現(xiàn)實的決策過程中，由于問題的復雜性、知識經(jīng)驗的限制和預測的不確定性，方案的屬性或決策者偏好有可能表現(xiàn)為隨機變量，即決策者無法準確預知未來的狀態(tài)，但可以預估各種可能狀態(tài)的概率，這類決策問題被稱為風險型決策問題。由于風險型決策廣泛存在于項目投資分析、風險評估、新產(chǎn)品研發(fā)評估等社會經(jīng)濟領(lǐng)域，因此近年來國內(nèi)外學者開展了較多研究，其中區(qū)間概率信息條件下的風險型決策問題受到了較多關(guān)注[1-4]。

區(qū)間概率信息條件下風險型決策的關(guān)鍵是如何將區(qū)間概率合理轉(zhuǎn)化為點概率，從而便于后續(xù)決策。文獻[1]、文獻[2]均采用C-OWA算子將區(qū)間概率轉(zhuǎn)化為點概率，具有一定的合理性，但基本單位區(qū)間單調(diào)函數(shù)的確定具有較大的主觀隨意性，文中也未指出其確定的原則，因此有可能影響到?jīng)Q策的準確性；文獻[3]從信息熵的角度出發(fā)，提出了一種基于最大熵準則的區(qū)間概率估計方法，通過求解最優(yōu)規(guī)劃問題可以將區(qū)間概率轉(zhuǎn)化為點概率，但該方法存在區(qū)間概率改變時最優(yōu)解可能不變的問題，可能得出有悖于常理的結(jié)論（詳見實例分析）；文獻[4]提出了一種基于Monte Carlo模擬法的區(qū)間概率轉(zhuǎn)化方法，該方法在其均勻分布假設(shè)下抽樣求得的點概率實際上逼近于區(qū)間概率的中值，且不能保證轉(zhuǎn)化后的點概率之和等于1。

實際上，從證據(jù)理論的角度來看，區(qū)間概率的下界即為信任測度，它表示對某狀態(tài)發(fā)生為“真”的信任程度，是一種偏保守的估計；區(qū)間概率的上界即為似真測度，它表示對某狀態(tài)不為“假”的信任程度，是一種偏激進的估計；它們與概率真值之間存在某種聯(lián)系?；诖耍疚臄M從證據(jù)理論的視角出發(fā)，考慮所有狀態(tài)發(fā)生可能性的信任測度和似真測度，從已知信息中推測概率真值的最可能估計值，從而較為客觀的將區(qū)間概率條件下的風險型決策問題轉(zhuǎn)化為點概率下的風險型決策問題。

1 證據(jù)理論簡介

定義1[5]：設(shè) Θ為辨識框架（The Frame of Discernment），m:2Θ→[0，1]是從冪集到區(qū)間數(shù)[0,1]的一個映射，即基本概率分配（Basic Probability Assignment，BPA），?X，Y?Θ ，稱由定義的函數(shù)Bel:2Θ→[0，1]為 Θ 上的信任函數(shù)（Belief Function）；而由 Pl()X=定義的函數(shù)Pl:2Θ→[0，1]為Θ上的似真函數(shù)（Plausibility Function）；X的信任區(qū)間為 P(X)=[Bel(X)，Pl(X)]。

定義2[6]：設(shè)m是從冪集到區(qū)間數(shù)[0,1]的一個映射，即m:2Θ→[0，1]，對于Θ的 n個子集 Ai(i=1，2，…，n) ，其區(qū)間基本概率分配（Interval Basic Probability Assignment，IBPA）為：

其中0≤ci≤di≤1。若IBPA同時滿足以下條件：

則稱m為有效的IBPA。

定義3[7]：若 m(Ai)=[ci，di]滿足式（2），為有效的IBPA，當cj、dj同時滿足以下條件時：

稱m為歸一化的IBPA。

若m為有效的IBPA但未歸一化，則為了縮小區(qū)間寬度、降低信息冗余，需要按下式進行歸一化處理：

2 證據(jù)理論視角下的區(qū)間概率信息轉(zhuǎn)化方法

設(shè)需要在方案 ai(ai∈l，i=1，2，…，n)（l為決策空間）中做出決策，其中l(wèi)有m個自然狀態(tài)，第j個狀態(tài)發(fā)生的概率為 Pj=[cj，dj](j=1，2，…，m)，方案 ai在狀態(tài) j情況下的效用（或收益）為uij。根據(jù)EMV準則各方案的期望效用或收益為：

對于一組區(qū)間概率信息 Pj=[cj，dj](j=1，2，…，m)，從概率論的角度來說有數(shù)學期望E(∑ )Pj=1；從決策者的角度來說希望Belj無限逼近Plj，這樣區(qū)間概率就精確化為點概率，便于決策。然而，∑Belj≤1，因此1-∑Belj反映了已知區(qū)間概率信息對真實概率Pj低估的部分，稱為下偏離度；∑Plj≤1，因此∑Plj-1反映了已知區(qū)間概率信息對真實概率Pj高估的部分，稱為上偏離度。記：

則若α>β，即下偏離度大于上偏離度，說明相對似真函數(shù)，區(qū)間概率信息對信任函數(shù)的賦值過于保守，因此其點概率估計值應朝Plj的方向調(diào)整；反之，若α＜β，則說明相對似真函數(shù)，區(qū)間概率信息對信任函數(shù)的賦值過于冒進，因此其點概率估計值應朝偏向Belj的方向調(diào)整。

基于以上思想，提出區(qū)間概率信息向點概率轉(zhuǎn)化的公式如下：

式（7）具有以下性質(zhì)：

證明：

證明：當α=0時，有∑Belj=1，根據(jù)式（3）有 Belj≤Plj，同時根據(jù)式（2）有Belj≤Plj，兩式聯(lián)立求解有Belj=Plj。

當β=0時證明過程類似，在此不再贅述。

3 區(qū)間概率信息條件下的風險型決策

區(qū)間概率信息條件下的風險型決策步驟如下：

步驟1：根據(jù)式（2）檢驗區(qū)間概率信息是否為有效的IBPA。若無效，則需組織相關(guān)專家、進一步調(diào)研和評估后重新給出區(qū)間概率的預測值；

步驟2：若區(qū)間概率信息為有效的IBPA，則根據(jù)式（3）檢驗區(qū)間概率是否為歸一化的IBPA，若不是，則按式（4）進行歸一化處理；

步驟3：根據(jù)式（6）計算上、下偏離度α、β；

步驟4：根據(jù)式（7）將區(qū)間概率信息轉(zhuǎn)化為點概率信息；

步驟5：根據(jù)EMV準則選出期望效用或收益最大的方案：

4 實例分析

例1：為便于比較，引用文獻[3]中的例1進行分析。某廠決定生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有以下3個方案供決策：建立新車間大量生產(chǎn)(α1)；改造原有車間達到中等產(chǎn)量(α2)；利用原有車間設(shè)備小批試產(chǎn)()α3。市場對該產(chǎn)品的需求情況存在暢銷、需求偏好、需求稍差和滯銷4種自然狀態(tài)，3種方案4種自然狀態(tài)下的每月利潤如下頁表1所示。

根據(jù)市場調(diào)研、專家分析等綜合研究，預測產(chǎn)品“暢銷”的可能性為10%～25%，“需求偏好”的可能性為30%～60%，“需求稍差”的可能性為15%～35%，“滯銷”的可能性為5%～15%?，F(xiàn)需根據(jù)以上信息確定最優(yōu)方案。

解：

步驟1：經(jīng)檢驗，區(qū)間概率信息滿足式（2），為有效的IBPA；

步驟2：根據(jù)式（3），驗證區(qū)間概率信息為歸一化的IBPA，因此無須再進行歸一化處理；

表1 各方案每月利潤表

步驟3：根據(jù)式（6）計算 α、β，結(jié)果為 α =0.4，β=0.55；

步驟4：根據(jù)式（7）將區(qū)間概率信息轉(zhuǎn)化為點概率，結(jié)果如表2所示。表2中同時列出了本文方法和文獻[1]、文獻[3]法得到的點概率估計值。

表2 不同方法點概率估計值(例2)

步驟5：根據(jù)式（8）計算期望收益，結(jié)果如表3所示。表3還給出了文獻[1]、文獻[3]的計算結(jié)果，可見本文方法和文獻[1]、文獻[3]對決策方案的排序相同，即α1>α2>α3，最優(yōu)方案為α1，表明了本文方法的正確性。

表3 不同方法EVM值計算結(jié)果(例1)

例2：若在例1中，通過分析預測產(chǎn)品“需求稍差”的可能性為15%～60%，其他已知條件不變，現(xiàn)需根據(jù)以上信息重新確定最優(yōu)方案。

解：

步驟1：經(jīng)檢驗，區(qū)間概率信息滿足式（2），為有效的IBPA；

步驟2：經(jīng)檢驗，區(qū)間概率[0.15,0.6]不滿足式（3），因此需要按式（4）進行歸一化處理，結(jié)果為[0.15,0.55]；

步驟3：根據(jù)式（6）計算 α、β，結(jié)果為 α=0.4，β=0.35；

步驟4：根據(jù)式（7）將區(qū)間概率信息轉(zhuǎn)化為點概率，結(jié)果如表4所示。表4中同時列出了本文方法和文獻[1]、文獻[3]、文獻[4]方法得到的點概率估計值。

表4 不同方法點概率估計值(例2)

步驟5：根據(jù)EMV準則計算期望收益，結(jié)果如表5所示。表5還給出了采用文獻[1]、文獻[3]、文獻[4]方法的計算結(jié)果。

從表5可見，本文方法和C-OWA算子法得出的結(jié)果極為相近，本文方法、C-OWA算子法、Monte Carlo法得出的決策方案排序均相同，即α1>α2>α3，最優(yōu)方案為α2；而熵極大化法的排序結(jié)果卻是α1>α2>α3，和其他3種方法得出的結(jié)論相矛盾。仔細對比表2與表4可發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品“需求稍差”的可能性由例1中的15%～35%變?yōu)槔?中的15%～60%，從直觀的分析來看，轉(zhuǎn)化后的點概率應有所增加，本文方法和C-OWA算子法、Monte Carlo法獲得的點概率估計值均和直觀分析相符；而熵極大化法在例1、例2兩種不同條件下得到的點概率估計值竟然完全相同，顯然和客觀信息不符，因此才會最終得到與其他方法相悖的排序結(jié)果。從熵極大化法建立的最優(yōu)化問題來看，當區(qū)間概率發(fā)生改變時，最優(yōu)化問題改變的僅僅是解得可行域，實際上，在一個較為寬泛的區(qū)間內(nèi)，最優(yōu)解是相同的，這就是區(qū)間概率信息改變而轉(zhuǎn)化后的點概率不變的根本原因。雖然Monte Carlo法對決策方案的排序與本文方法相同，但從表4可知轉(zhuǎn)化后的點概率不滿足，因此對EMV值的評價是不準確的。

表5 不同方法EVM值計算結(jié)果(例2)

5 結(jié)束語

區(qū)間概率信息條件下的風險型決策是決策領(lǐng)域的一類特殊問題，本文從證據(jù)理論的視角，充分挖掘已知區(qū)間概率中隱含的信息，基于信任測度和似然測度提出了一種新方法。與已有幾種方法的對比表明，新方法簡單明了，具有較好的概率統(tǒng)計性質(zhì)，且解釋性較好，為區(qū)間概率信息條件下的風險型決策問題提供一種新的解決途徑，具有較強的實際應用價值。

[1]陳春芳,朱傳喜.區(qū)間概率信息條件下的風險型決策方法[J].統(tǒng)計與決策,2009，(8).

[2]劉培德,張新,金芳.區(qū)間概率條件下屬性值為不確定語言變量的風險型多屬性決策研究[J].管理評論,2012,24(4).

[3]何大義.區(qū)間概率信息條件下的風險型決策問題的解法探討[J].運籌于管理,2007,16(6).

[4]何大義,周榮喜.區(qū)間概率信息條件下的決策方法[J].系統(tǒng)管理學報,2010,19(2).

[5]Dempster A P.Upper and Lower Probabilities Induced by a Multi-Valued Mapping[J].Annals of Mathematical Statistics,1967,38(4).

[6]Denoeux T.Reasoning With Imprecise Belief Structures[J].Interna?tional Journal of Approximate Reasoning,1999,20(1).

[7]Wang Y M,Yang J B,Xu D L,et al.On the Combination and Normal?ization of Interval-Valued Belief Structures[J].Information Sciences,2007,177(5).