模糊判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)

楊燕華，呂躍進(jìn)

（廣西大學(xué)a.電氣工程學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南寧530004）

0 引言

層次分析法（AHP）[1，2]中，決策者通過對(duì)同一層次中兩兩因素的比較得到判斷矩陣，并由判斷矩陣得到該層次各因素的排序權(quán)重向量。判斷矩陣的一致性及一致性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)影響著最終的排序結(jié)果。美國運(yùn)籌學(xué)家Saaty教授提出了用平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI修正CI的方法，并給出1至13階矩陣的RI值。這一方法在AHP中被普遍接受和應(yīng)用。

由于客觀事物的復(fù)雜性、決策者自身的局限性，一些學(xué)者把模糊數(shù)學(xué)的思想和方法引入到層次分析法中，提出模糊層次分析法（FAHP），將AHP中構(gòu)造的正互反判斷矩陣轉(zhuǎn)為構(gòu)造模糊互補(bǔ)判斷矩陣[3-5]。對(duì)于模糊互補(bǔ)判斷矩陣的一致性問題，目前尚無統(tǒng)一的檢驗(yàn)方法，有文獻(xiàn)提出不同檢驗(yàn)的方法。文獻(xiàn)[6]給出關(guān)于互補(bǔ)判斷矩陣滿意一致性的定義，通過建立可達(dá)矩陣給出互補(bǔ)判斷矩陣滿意一致性的判定方法，但該方法只粗略地考慮了因素重要性的次序一致性，沒有考慮重要性程度的一致性；文獻(xiàn)[7]定義了一個(gè)衡量模糊判斷矩陣加性一致性程度的指標(biāo)，但并沒有規(guī)范地給出所定義的一致性檢驗(yàn)指標(biāo)小于何閾值時(shí)，判斷矩陣能通過一致性檢驗(yàn)。

本文通過加性一致性條件的數(shù)學(xué)變換，定義了一個(gè)模糊一致性檢驗(yàn)指標(biāo)，通過MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)構(gòu)造足夠數(shù)量的n階隨機(jī)模糊互補(bǔ)判斷矩陣，并計(jì)算平均隨機(jī)模糊一致性指標(biāo)，得到模糊一致性比率，給出不同階數(shù)下判斷矩陣通過一致性檢驗(yàn)的條件。

1 模糊互補(bǔ)判斷矩陣

定義1[8]：設(shè)矩陣R=(rij)n×n，若有0≤rij≤1，則稱矩陣R是模糊矩陣。

定義2[8]：設(shè)模糊矩陣R=(rij)n×n，若有rij+rji=1，則稱矩陣R是模糊互補(bǔ)矩陣。

定義3[8]：設(shè)模糊互補(bǔ)矩陣R=(rij)n×n，若對(duì)任意k，均有rij=rik-rjk+0.5，則稱矩陣R是模糊一致矩陣。

定理1[9]：設(shè)R是n階模糊矩陣，則R是模糊一致矩陣的充分必要條件是存在一n階非負(fù)歸一化的向量W=(w2，…，wn)T及一正數(shù)a，使得?i，j，有下式成立：

上式等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)j求和，得：

文獻(xiàn)[9]已經(jīng)給出a的一個(gè)判斷，a越小表明決策者非常重視元素之間的差異，a越大表明決策者不是非常重視元素間重要程度的差異。在實(shí)際應(yīng)用中，認(rèn)為應(yīng)取a=(n-1)/2。

2 模糊一致性指標(biāo)FCI及一致性檢驗(yàn)

模糊互補(bǔ)判斷矩陣R中的任意一個(gè)元素rij反映的是兩個(gè)待選方案i和j之間的重要程度之比，可以通過兩個(gè)方案的直接比較得到。矩陣R一致的充分必要條件是rij=a()wi-wj+0.5成立。但在實(shí)際進(jìn)行兩兩比較判斷時(shí)，由于信息的不完備性以及人類思維的局限性，一般情況下R很難達(dá)到一致，即所以，對(duì)i，j，有：

對(duì)于上式，本文認(rèn)為模糊互補(bǔ)判斷矩陣R與一致性矩陣的偏差在一定范圍之內(nèi)是可以接受的，當(dāng)矩陣R越接近一致性矩陣時(shí)，可接受的程度越高。

又因?yàn)榫仃嘡的互補(bǔ)性，有rii=0.5，當(dāng)i=j時(shí)，，因此主對(duì)角元素對(duì)于矩陣R是否一致沒有影響。

綜上分析，本文給出模糊互補(bǔ)判斷矩陣R的一個(gè)模糊一致性檢驗(yàn)指標(biāo)FCI。

稱FCI為模糊互補(bǔ)判斷矩陣R的模糊一致性指標(biāo)。FCI表示rij對(duì)矩陣R不一致的貢獻(xiàn)程度。

又由于矩陣R是互補(bǔ)的，有下面等式成立：上式表明，計(jì)算R的模糊一致性指標(biāo)FCI只需要考慮矩陣的上三角元素。

定理2：模糊互補(bǔ)判斷矩陣R=(rij)n×n是一致性矩陣的充分必要條件是FCI=0。

FCI用來衡量模糊互補(bǔ)判斷矩陣R與一致性矩陣的偏差程度，F(xiàn)CI為0表示R與一致性矩陣沒有偏差，F(xiàn)CI越大表示R的一致性越差。若FCI的值在某一可接受的范圍之內(nèi)，認(rèn)為矩陣R是滿意一致的。

定義5：設(shè)模糊互補(bǔ)判斷矩陣R=(rij)n×n，當(dāng)FCI≤c（c為常數(shù)），稱R是滿意一致的。

定義6：平均隨機(jī)模糊一致性指標(biāo)FRI是指多個(gè)同階隨機(jī)互補(bǔ)判斷矩陣的模糊一致性指標(biāo)FCI的平均值。

根據(jù)平均隨機(jī)模糊一致性指標(biāo)FRI的思想，構(gòu)造數(shù)量足夠、且在0.1～0.9模糊標(biāo)度下的n階平均隨機(jī)互補(bǔ)判斷矩陣，分別計(jì)算其FCI值，最后得到FCI的平均值即為FRI。其計(jì)算過程如下：

步驟1：從0.1～0.9模糊標(biāo)度共9個(gè)數(shù)中隨機(jī)均勻取值，作為矩陣R的上三角元素，主對(duì)角元素取0.5，下三角元素取1減去對(duì)應(yīng)位置的上三角元素，構(gòu)成n階隨機(jī)模糊互補(bǔ)判斷矩陣；

步驟2：計(jì)算所得隨機(jī)模糊互補(bǔ)判斷矩陣的模糊一致性指標(biāo)FCI；

步驟3：重復(fù)上述步驟得到足夠多的隨機(jī)矩陣，計(jì)算樣本均值。

這個(gè)均值就是平均隨機(jī)模糊一致性指標(biāo)FRI，是與階數(shù)n相關(guān)的數(shù)值。通過Matlab編碼實(shí)現(xiàn)上述過程。為了保證得到更精確的平均隨機(jī)模糊一致性指標(biāo)，迭代次數(shù)均為10000次，即分別構(gòu)造10000個(gè)n階隨機(jī)模糊互補(bǔ)矩陣（這里僅列出階數(shù)n為3至20階）。結(jié)果見表1。

表1 3至20階模糊互補(bǔ)判斷矩陣的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)表

對(duì)模擬計(jì)算結(jié)果分析做出樣本頻率分布圖，如圖1（曲線從左至右分別代表4至9階）。

圖1 不同階數(shù)（4至9階）隨機(jī)模糊互補(bǔ)矩陣FCI值分布圖

當(dāng)n>3時(shí)，F(xiàn)CI的樣本頻率近似為正態(tài)分布。當(dāng)n=7階時(shí)，頻率曲線在FCI=0.0498附近達(dá)到最高峰；當(dāng)n=8階時(shí)，頻率曲線在FCI=0.0464附近達(dá)到最高峰；當(dāng)n=9階時(shí)，頻率曲線在FCI=0.0514附近達(dá)到最高峰。

FRI值隨著階數(shù)增大而增大，但總體上趨于一個(gè)穩(wěn)定值。進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)階數(shù)足夠大，超過500階時(shí)FRI基本趨于0.0666。

定義7：模糊一致性指標(biāo)FCI與同階的平均隨機(jī)模糊一致性指標(biāo)FRI的比值，稱為模糊一致性比率，記為：

用模糊一致性比率FCR檢驗(yàn)矩陣的一致性，F(xiàn)CR越小，矩陣的一致性越好。根據(jù)Saaty的判斷思想，決策者有意識(shí)構(gòu)造的判斷矩陣要比隨機(jī)構(gòu)造的判斷矩陣至少優(yōu)十倍，因此，一般認(rèn)為，F(xiàn)CR≤0.1，模糊互補(bǔ)判斷矩陣符合滿意的一致性標(biāo)準(zhǔn)，得到的層次單排序的結(jié)果是可以接受的，否則需要修正判斷矩陣，直到檢驗(yàn)通過。

下面給出算例。由表1知4階矩陣的平均隨機(jī)模糊一致性指標(biāo)FRI(4)=0.0335。

3 與文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]的比較分析

下面利用文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]中的算例進(jìn)行比較分析。

（1）利用文獻(xiàn)[6]的方法，計(jì)算R的可達(dá)矩陣為：

T對(duì)角線上存在為1的元素，可知矩陣R不一致。但是文獻(xiàn)[3]計(jì)算可達(dá)矩陣的方法，只是在邏輯關(guān)系上考慮了不同因素之間的優(yōu)越關(guān)系，不能體現(xiàn)元素之間重要性程度或優(yōu)越性程度的一致性。

（2）利用文獻(xiàn)[7]定義的加性一致性指標(biāo)

計(jì)算R的加性一致性指標(biāo)為ρ=0.5。文獻(xiàn)[4]直接假設(shè)一個(gè)閾值ε=0.2，認(rèn)為ρ=0.5＞ε，故矩陣R一致性較差，沒有給出ε取值的理論依據(jù)。這也是很多文獻(xiàn)[10，11]在定義一致性指標(biāo)時(shí)存在的不足，并沒有規(guī)范地給出通過一致性檢驗(yàn)的閾值。

（3）利用本文定義的模糊一致性指標(biāo)計(jì)算得FCI=0.0525，通過與仿真實(shí)驗(yàn)得到的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)進(jìn)行比較，檢驗(yàn)一致性比率FCR=1.5672＞0.1。結(jié)果與文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]一樣，矩陣R不通過一致性檢驗(yàn)，且一致性較差。

4 結(jié)束語

本文通過定義模糊一致性指標(biāo)，仿真實(shí)驗(yàn)給出平均隨機(jī)模糊一致性指標(biāo)，其比值用以衡量判斷矩陣是否通過一致性檢驗(yàn)，具有一定理論意義。本文的后續(xù)工作將是提出更具一般性的模糊互補(bǔ)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)指標(biāo)，而不僅僅局限在加性一致上，并深入研究檢驗(yàn)條件FCR≤0.1與矩陣階數(shù)的關(guān)系。

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