關(guān)于α次h?lder條件的性質(zhì)研究

黃政，劉志杰

(貴州師范大學(xué) 貴州省信息與計算科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴州 貴陽 550001)

0 引言及準(zhǔn)備

在實(shí)分析、微分方程、數(shù)值計算等理論研究中，關(guān)于Lipchiz條件的研究已有不少，以及在科學(xué)大數(shù)據(jù)智能分析、云服務(wù)及安全模型設(shè)計等應(yīng)用領(lǐng)域具有重要作用.作為Lipchiz條件的推廣形式，α次h?lder條件卻散見于一些學(xué)術(shù)專著和文獻(xiàn)，且涉及的方面也頗有局限，與分析學(xué)里的一些重要概念之間的聯(lián)系也沒能給出.現(xiàn)進(jìn)一步討論滿足α次h?lder條件函數(shù)的一些性質(zhì)，并給出了滿足α次h?lder條件的一個充分必要條件.

研究滿足α次h?lder條件的函數(shù)本身的性質(zhì).先給出如下要用到的一些概念.

注2[2]絕對連續(xù)函數(shù)定義中，取n=1，即為一致連續(xù)函數(shù)，即絕對連續(xù)是一致連續(xù)的特殊情形.

1 主要結(jié)果

定理1若函數(shù)f(x)、g(x)均為定義在區(qū)間E上，且分別滿足αf、αg次h?lder條件，則

1)f(x)±g(x)滿足αmin次h?lder條件，其中αmin=min{αf，αg}；

定理2若f(x)為定義在區(qū)間E上的函數(shù)，f(x)在E上滿足αf次h?lder條件，則

1)|f(x)|在E上滿足αf次h?lder條件；

2)kf(x)在E上滿足αf次h?lder條件，其中k為非零常量；

定理3若f(x)為定義在區(qū)間E上的函數(shù)，且滿足αf次h?lder條件，則f(x)在區(qū)間E上一致連續(xù)；反之，則不成立.

推論1[4]若f(x)為定義在區(qū)間E上的函數(shù)，且滿足Lipchiz條件，則f(x)在區(qū)間E上一致連續(xù)；反之，則不成立.

定理4若f(x)為定義在E=[a，b]上的函數(shù)，且滿足αf次h?lder條件，則f(x)在E上絕對連續(xù)；反之，則不成立.

推論2[1]若f(x)為定義在E=[a，b]上的函數(shù)，且滿足Lipchiz條件，則f(x)在E上絕對連續(xù).

定理5若f(x)為定義在E=[a，b]上的函數(shù)，且滿足αf次h?lder條件，則f(x)在E上是有界變差函數(shù)；反之，則不成立.

推論3[1]滿足Lipchie條件函數(shù)是有界變差函數(shù).

定理6已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間E=[a，b]上，現(xiàn)對區(qū)間E進(jìn)行如下劃分Δ∶a=x0

定理7設(shè)f(x)定義在區(qū)間Ef上，且滿足αf次h?lder條件，g(t)定義在Eg上，f(Ef)?Eg，且g(t)在Eg上滿足αg次h?lder條件，則復(fù)合函數(shù)g[f(x)]在區(qū)間Ef上滿足α次h?lder條件，其中α=αfαg.

定理9設(shè)函數(shù)列{fn(x)}與函數(shù)f(x)定義在區(qū)間E上，且{fn(x)}在區(qū)間E上一致收斂f(x)，對于?n∈N+，fn(x)均滿足αf次h?lder條件，則函數(shù)f(x)滿足αf次h?lder條件.

2 主要結(jié)果的證明

引理1[1]絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù).

引理2[1]如果連續(xù)函數(shù)為有界變差，且對于測度為零的任何集，其像集的測度也為零，則該函數(shù)為絕對連續(xù)函數(shù).

引理3[2](Cauchy收斂原理)設(shè){fn(x)}是定義在區(qū)間E上的一個函數(shù)列，那么{fn(x)}在E上一致收斂的充分必要條件是對任意ε>0，存在正整數(shù)N(ε)，當(dāng)n>N(ε)時，fn+p(x)-fn(x)<ε對任意x∈E及任意正整數(shù)p成立.

對于f(x)-g(x)，可取{-g(x)}代替上面的g(x)，即可知f(x)+g(x)滿足αmin次h?lder條件.

2)由于f(x)、g(x)均在E上有界，即存在常數(shù)Mf>0，Mg>0，使得f(x)≤Mf、g(x)≤Mg，?x∈E.由于g(x)≠0，存在常數(shù)mg>0，使得g(x)≥mg，?x∈E.

對于f(x)g(x)，

f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)=f(x1)g(x1)-f(x1)g(x2)+f(x1)g(x2)-f(x2)g(x2)≤f(x1)g(x1)-

f(x1)g(x2)+f(x1)g(x2)-f(x2)g(x2)≤Mf·g(x1)-g(x2)+Mg·f(x1)-f(x2)≤

因此，kf(x)在E上滿足αf次h?lder條件，證畢.

注4[6]存在這樣的連續(xù)函數(shù)，使其不滿足任何次h?lder條件[5]

注6[7]由于絕對連續(xù)函數(shù)必為一致連續(xù)函數(shù)，但逆命題則不成立[7].因此，定理3是定理4的特殊情形.

定理5的證明：由引理1與引理2可知，有界變差函數(shù)不一定是絕對連續(xù)函數(shù).結(jié)合定理4可知，滿足αf次h?lder條件的函數(shù)是絕對連續(xù)函數(shù)，再由引理1知：同時也是有界變差函數(shù).在文獻(xiàn)[8]中指出了“存在滿足αf次h?lder條件的函數(shù)而不是有界變差的函數(shù)”，文獻(xiàn)[6]給了具體的例子，因而有界變差函數(shù)不一定滿足αf次h?lder條件.

因此，g[f(x)]在區(qū)間Ef上滿足αfαg次h?lder條件，證畢.

[1](俄)伊西多爾·巴普洛維奇·那湯松(著)，徐瑞云(譯)，陳建功(校).實(shí)變函數(shù)論(第5版)[M].北京：高等教育出版社，2010：212,225-226,239-246.

[2]常庚哲，史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程(第2版)(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2003：105-106.

[3]杜曉明.Stieltjes積分在微積分教學(xué)中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2016，32(2):114-115.

[4]薛長峰.函數(shù)的均勻可導(dǎo)性與Lipschiz條件[J].鹽城工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006，19(3):48-50.

[5]王英.李普希茲條件的一個等價命題[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003，16(4)：14-15.

[6]汪林.實(shí)分析中的反例[M].北京：高等教育出版社，2014：225-228.

[7]蘇子安.一致連續(xù)、絕對連續(xù)與Lipschiz條件[J].南都學(xué)壇，1993，13(1)：21-23.

[8]夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗,等.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析(第2版)(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2014：226-237.