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    已知平面與高程點不同時的嚴密三維基準(zhǔn)變換

    2018-03-20 03:05:18沈云中
    測繪工程 2018年3期
    關(guān)鍵詞:平面坐標(biāo)基準(zhǔn)坐標(biāo)系

    曹 旭,沈云中

    (同濟大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院,上海 200092)

    在GNSS測量工程應(yīng)用中經(jīng)常需要進行三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換[1]。根據(jù)旋轉(zhuǎn)與尺度參考點的不同定義,三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型:Bursa-Wolf模型、Molodensky模型及武測模型等[2]。傳統(tǒng)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型只考慮了公共點的一套坐標(biāo)誤差,對另一套坐標(biāo)誤差不予考慮,利用線性或非線性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型進行解算[3-7]。同時,諸多學(xué)者也對整體最小二乘的解法進行了研究[8-10]。文獻[11]提出顧及兩套坐標(biāo)誤差的Bursa模型坐標(biāo)變換方法,基于公共點兩套坐標(biāo)改正數(shù)加權(quán)平方和最小為準(zhǔn)則解算轉(zhuǎn)換參數(shù),根據(jù)公共點與轉(zhuǎn)換點間的互協(xié)方差陣,利用公共點坐標(biāo)的改正數(shù)推估出轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)的改正數(shù),顯著提高了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。文獻[12]提出無縫三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型,同時考慮公共點的兩套坐標(biāo)誤差和轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)誤差,將計算轉(zhuǎn)換參數(shù)和變換轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)聯(lián)合處理,坐標(biāo)精度得到進一步改善。文獻[13]針對常規(guī)控制網(wǎng)平面和高程控制網(wǎng)分開布設(shè)的特點,利用過渡坐標(biāo)系改進了三維坐標(biāo)變換模型,并不需要三維已知點,分別利用常規(guī)控制網(wǎng)的平面坐標(biāo)和高程解算7個轉(zhuǎn)換參數(shù)。

    本文基于平面和高程控制網(wǎng)分開布設(shè)的實際情況,同時顧及兩套坐標(biāo)都存在誤差,導(dǎo)出相應(yīng)的基準(zhǔn)變換參數(shù)解算模型,并用算例說明了本文模型的優(yōu)點。

    1 三維基準(zhǔn)變換模型

    當(dāng)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角是小角度時,三維基準(zhǔn)變換的Bursa模型[14]:

    (1)

    其中,TX,TY和TZ為三個平移參數(shù),ωX,ωY和ωZ是三個旋轉(zhuǎn)參數(shù),k為尺度參數(shù);[XiYiZi]T為第i點的三維坐標(biāo),上標(biāo)I和II表示兩套坐標(biāo)系。

    當(dāng)旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)相對于參考點K時,稱為Molodensky模型[13],其變換為

    (2)

    其中,[ΔXKiΔYKiΔZKi]T=[Xi-XKYi-YKZi-ZK]T。

    文獻[13]提出將原有的坐標(biāo)系先繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)Li角,再繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)90°+Bi角,最后Z軸反向,得到過渡坐標(biāo)系O-xyz,其中,Li和Bi為平面坐標(biāo)與高程分開的那個坐標(biāo)系的第i點的經(jīng)度與緯度。變換的旋轉(zhuǎn)矩陣:

    在式(2)兩邊同時左乘Ri,可得

    (3)

    (4)

    其向量和矩陣形式為

    (5)

    Ai=

    對于平面控制點,只選取式(4)中的前兩個方程;對于高程控制點,只選取式(4)中的第三個方程。

    2 基準(zhǔn)變換參數(shù)的解算模型

    如果有n個公共點,其編號從1~n,則其誤差方程為

    VII-RVI=Aξ-(LII-RLI).

    (6)

    2ST(VII-RVI-Aξ+LII-RLI)=min.

    (7)

    其中,S為聯(lián)系數(shù)向量,Q11,I為公共點的GNSS控制網(wǎng)坐標(biāo)系下的協(xié)因數(shù)陣,Q11,II為平面與高程分開布設(shè)的公共點對應(yīng)的傳統(tǒng)控制網(wǎng)坐標(biāo)系下的協(xié)因數(shù)陣。分別對殘差向量VI,VII和參數(shù)向量ξ求一階導(dǎo)數(shù),并令其為零,得

    (8)

    由式(8)前兩式得

    RVI=-RQ11,IRTS,VII=Q11,IIS.

    (9)

    兩式相減得

    VII-RVI=(RQ11,IRT+Q11,II)S.

    (10)

    將其代入式(6),得

    S=(RQ11,IRT+Q11,II)-1

    (Aξ-LII+RLI).

    (11)

    將式(11)代入式(8)中第三個方程,得

    AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1Aξ=

    AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1(LII-RLI).

    (12)

    所以,平面與高程分開布設(shè)的顧及兩套坐標(biāo)誤差的三維基準(zhǔn)變換的轉(zhuǎn)換參數(shù)解為

    AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1(LII-RLI).

    (13)

    由式(13)可以解出轉(zhuǎn)換參數(shù)后,代入式(11)計算聯(lián)系數(shù)向量S后,再由式(9)計算改正數(shù)向量VI和VII。因R是正交矩陣,式(9)的左式也可表示為

    VI=-Q11,IRTS.

    (14)

    V2,I=Q21,I(Q11,I)-1VI.

    (15)

    利用式(15)對第一套GNSS控制網(wǎng)轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)進行改正,并用得到的轉(zhuǎn)換參數(shù)轉(zhuǎn)換改正后的轉(zhuǎn)換點,得到轉(zhuǎn)換點在另一套坐標(biāo)系下的坐標(biāo),即常規(guī)控制網(wǎng)坐標(biāo)。

    3 算例分析

    先模擬18個點的一套GNSS坐標(biāo),給定一組轉(zhuǎn)換參數(shù)ξ=[1 000 m 2 000 m 3 000 m 6.43″ 5.12″ 4.89″ 1.000 01],參考點K的坐標(biāo)為(-1 240 000.000,4 990 000.000,3 760 000.000),采用Molodensky模型計算出18個點的轉(zhuǎn)換后坐標(biāo),轉(zhuǎn)換前后的部分坐標(biāo)如表1所示,再按克拉索夫斯基橢球參數(shù),中央子午線104°投影得到平面坐標(biāo)和大地高,利用EGM2008模型計算出高程異常后求得18個點的正常高。為了說明本文變換模型的優(yōu)越性,選取1~8號點作為公共點,其中1~3號點為常規(guī)平面控制網(wǎng),4~8號點為常規(guī)高程控制網(wǎng)。

    表1 公共點與轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo) m

    續(xù)表1

    對于常規(guī)控制網(wǎng)的平面網(wǎng),其平面坐標(biāo)x和y均模擬標(biāo)準(zhǔn)差為5 mm,相關(guān)系數(shù)為0.3的隨機誤差,不同點之間誤差的相關(guān)系數(shù)為0.2;高程模擬5 mm的誤差,不同點的相關(guān)系數(shù)也是0.2。對于轉(zhuǎn)換前的坐標(biāo)(通常是GNSS控制網(wǎng)的坐標(biāo)),其X,Y,Z坐標(biāo)均模擬8 mm的誤差,且各坐標(biāo)分量的相關(guān)系數(shù)為0.3,不同點之間的相關(guān)系數(shù)為0.15。比較本文三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型與傳統(tǒng)模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換效果,設(shè)計兩種方案:

    方案一:對于傳統(tǒng)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型的矩陣形式

    l-el=Aξ.

    采用傳統(tǒng)方法,即基準(zhǔn)變換模型只考慮公共點的第二套坐標(biāo)誤差。此時,根據(jù)間接平差原理,可解得轉(zhuǎn)換參數(shù)為

    (16)

    再由此參數(shù)對轉(zhuǎn)換點進行變換;

    方案二:采用本文平面與高程點不同時的嚴密三維基準(zhǔn)變換方法。

    (17)

    以及轉(zhuǎn)換點的平面精度

    (18)

    模擬數(shù)據(jù)計算1 000次,得到兩種方案轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)變換精度如圖1和圖2所示。方案一4個平面點(912號點)的平均平面變換精度為5.0 mm,方案二為4.2 mm;方案一6個高程點(1318號點)的平均高程變換精度為5.4 mm,方案二為3.9 mm。結(jié)果表明:采用本文平面與高程點不同時的嚴密三維基準(zhǔn)變換方法能夠改善坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

    圖1 方案一(虛線)與方案二(實線)的平面變換精度比較

    圖2 方案一(虛線)與方案二(實線)的高程變換精度比較

    4 結(jié) 論

    本文的基準(zhǔn)變換方法適用于常規(guī)控制網(wǎng)的高程與平面網(wǎng)分開布設(shè)的情況,同時考慮到兩套坐標(biāo)都含有誤差,利用分離的平面坐標(biāo)和高程值直接解算轉(zhuǎn)換參數(shù),對轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)進行改正,模擬數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明,本文方法能夠有效地提高轉(zhuǎn)換結(jié)果的精度,實現(xiàn)與GNSS三維控制網(wǎng)的基準(zhǔn)變換,得到結(jié)論:

    1)當(dāng)常規(guī)控制網(wǎng)的平面控制點沒有高程值或高程控制點沒有平面坐標(biāo)時,采用本文方法可以直接解算轉(zhuǎn)換參數(shù),不需要計算獲得控制點完整的三維坐標(biāo),避免出現(xiàn)誤差傳遞,提高解算精度。

    2)與傳統(tǒng)基準(zhǔn)變換模型相比,本文方法考慮兩套坐標(biāo)誤差的影響,對轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)進行改正,提高基準(zhǔn)變換的精度。

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