基于改進FastICA 的沖擊波工頻干擾消除算法

劉興業(yè),韓太林,張永立,郎百和,王 嘯

0 引 言

火炮發(fā)射時,燃氣急劇膨脹自膛口形成膛口沖擊波,其超壓峰值、持續(xù)時間等是衡量沖擊波威力的重要指標[1]。在沖擊波采集過程中,不可避免地受到外界干擾的影響,其中工頻干擾是常見的干擾之一,它是由電力不穩(wěn)造成的,主要頻率為50 Hz,其諧波分量為(100 Hz,150 Hz,…)[2]。然而沖擊波信號有效頻帶寬度大約為0.5 Hz～100 kHz[3],因此工頻干擾常會將沖擊波有效頻率成分淹沒,且當干擾信號的能量較大時,嚴重影響沖擊波超壓峰值,從而降低了檢測沖擊波信號的精準度。因此筆者提出一種去除沖擊波信號中工頻干擾的有效方法。

目前,陷波器是最常用的沖擊波工頻干擾消除方法,該方法在頻域上可直接去除單頻噪聲,簡單有效,但會損失與諧波頻率成分重疊的有用信號[4]。李建昌等[5]提出自適應(yīng)抵消方法,雖能通過跟蹤干擾的頻率變化自動調(diào)整濾波器參數(shù),實現(xiàn)工頻干擾的自適應(yīng)抵消,但其本質(zhì)與陷波器相同,都存在缺陷。

獨立成分分析(ICA:Independent Component Analysis)是有效的盲源分離處理方法[6-9],其中快速固定點迭代算法(FastICA)以計算效率高、適合處理大規(guī)模數(shù)據(jù)的優(yōu)勢而被廣泛應(yīng)用于信號分離[10,11]、地震信號[12,13]和醫(yī)學信號[14]等領(lǐng)域的去噪。在信噪分離方面,ICA從信源與噪聲之間的獨立性出發(fā),利用其特有的分析模型達到降噪的目的[15,16]。對于消除沖擊波工頻干擾問題,源混合信號由兩種不同信源產(chǎn)生,彼此統(tǒng)計獨立符合ICA分析模型[17]。FastICA算法選取負熵作為目標函數(shù),利用牛頓迭代法對其優(yōu)化,在分離精準度上有明顯的優(yōu)勢[14],但由于牛頓迭代法僅是2階收斂,所以收斂速度慢,迭代次數(shù)多[18,19]。筆者在保證高精準度的前提下,為提高收斂速度,采用5階收斂的牛頓迭代形式對FastICA進行改進,從而使其適用于需高速處理沖擊波的測試系統(tǒng),并通過仿真實驗分析證實了改進算法的性能。

1 獨立成分分析

筆者依據(jù)ICA模型,采用改進的FastICA算法,求解出分離矩陣W,使混有工頻干擾的源信號非高斯性最大化,繼而分離出有效的沖擊波信號,達到去工頻干擾的目的。

1.1 ICA模型

在ICA模型中,傳感器采集到的n維觀測變量X=[x1(t),…,xn(t)]是由未知的n維統(tǒng)計上彼此獨立且非高斯的源信號S=[s1(t),…,sn(t)]線性組合得到的,矩陣表達形式為

其中A為混合矩陣。

ICA是在對混合源信號S以及混合矩陣A未知的情況下,依據(jù)觀測矩陣X和源信號相互獨立的先驗知識,尋找一個分離矩陣W,使解混出的向量Y=WX,更接近于源信號。

1.2 FastICA算法

ICA的實質(zhì)是選取合適的目標函數(shù),并利用優(yōu)化算法對其進行優(yōu)化,得到最優(yōu)解。目前常用的優(yōu)化算法是FastICA,相比于其他優(yōu)化算法,FastICA具有更高的執(zhí)行效率。它實際上是一種尋找使解混信號的非高斯性最大值的算法。

中心化和白化是信源分離前必要的預(yù)處理環(huán)節(jié)。中心化是對源信號做歸一化處理,有效降低計算復(fù)雜度,進而加快了分離速度。白化的本質(zhì)是去相關(guān),減少預(yù)估參數(shù)的數(shù)目,進而提高了算法的效率。

負熵是度量非高斯性的一種指標,定義為

其中yguass是高斯隨機變量且與y有相同的協(xié)方差,H表示微分熵。依據(jù)高斯變量極大熵性質(zhì),負熵最大化時,y的非高斯性最大化。負熵雖概念簡單,魯棒性好,但計算困難,因此FastICA采用基于非二次函數(shù)的負熵簡化形式,即基于負熵的目標函數(shù)

其中G可以是任意非二次函數(shù),v是標準化后的高斯變量。目標函數(shù)J(wTz)極大值通常在E{G(wTz)}的極點處得到。在約束條件‖w‖2=1下,極值點滿足E{z g(wTz)}+βw=0,其中g(shù)是G的導數(shù)。筆者利用串行正交化方法估計出各獨立成分,迭代后進行正交化及標準化,直到迭代收斂為止。通過牛頓法求解,簡化后迭代形式為

基于負熵的FastICA算法需選擇非二次函數(shù)G,筆者所采用的沖擊波信號源屬于超高斯分布,而工頻干擾屬于亞高斯分布,因此選擇適用于超高斯及亞高斯都存在的G(y)=(1/a1)log[cosh(a1y)]作為非二次函數(shù)。

1.3 改進的FastICA算法

牛頓迭代法可求解非線性方程,迭代公式為

當f(a)=0,f′(a)≠0時,式(5)為2階收斂,為減少迭代次數(shù),加快收斂,則對牛頓迭代法做以下修正

可證,修正后的牛頓迭代法式(6)為5階收斂。根據(jù)式(6)求解F(wi)=E[z g(wTiz)]+βwi=0,得到改進的迭代形式

求得的wi+1為使解混信號的非高斯性最大的分離矩陣。

2 消除沖擊波工頻干擾算法原理

2.1 算法模型

混有工頻干擾的沖擊波信號可表示為

其中s(t)是沖擊波信號;r(t)是工頻干擾信號;參數(shù)A、f0和θ0分別表示工頻干擾的幅度、頻率和相位;a11和a12表示加權(quán)系數(shù)。觀察可知,式(8)符合ICA源信號的瞬態(tài)、線性獨立混合模型的要求。

根據(jù)對ICA模型的描述,在只有一組觀測數(shù)據(jù)的條件下,無法達到消除工頻干擾的目的。為分離出不帶有工頻的沖擊波信號,需構(gòu)造合適的2路觀測數(shù)據(jù)[20]。在實際對沖擊波信號采集過程中,很難在同一測點,同一次采集中獲得包含沖擊波信號和工頻干擾的x′(t)=a21s(t)+a22r(t)作為第2路觀測數(shù)據(jù)。因此,必須構(gòu)造其他觀測數(shù)據(jù),同時又需保證不引入額外的噪聲。由于沖擊波信號屬于瞬時振動波,所以沒有一個固定的理想化模型。但工頻干擾信號是規(guī)則的,所以可構(gòu)造模擬工頻信號作為觀測數(shù)據(jù),以達到分離源信號的目的。

在工頻干擾信號頻率可由觀測信號頻域得到的情況下,為避免對相位θ0的估計,可采用相互正交的同頻正余弦估計相位

其中x(t)是由沖擊波信號、工頻干擾的基波、3次和5次諧波組成。

令 A11=a11,A12=a12A cos θ0,A13=a12A sin θ0,A14=a13B cos θ1,A15=a13B sin θ1,A16=a14C cos θ2,A17=a14C sinθ2,則x(t)可表示為

矩陣形式為

符合ICA模型:X=AS。由式(11)可知,源信號由7路輸入組成,除含有工頻干擾的沖擊波,還有6路工頻參考信號:r1(t)=A22sin(2πf0t),r2(t)=A33cos(2πf0t),r3(t)=A44sin(6πf0t),r4(t)=A55cos(6πf0t),r5(t)=A66sin(10πf0t),r6(t)=A77cos(10πf0t),用來分離出沖擊波信號。

2.2 評價指標

該算法目的在于使分離出的沖擊波信號更接近于不帶有工頻干擾的沖擊波數(shù)據(jù),可通過具體的評價函數(shù)比較算法的優(yōu)劣。筆者采用相似系數(shù)、信噪比和迭代次數(shù)3個指標進行比較。

相似系數(shù)是用于描述分離出的有效信號與源信號中不帶有工頻干擾的沖擊波成分的逼近程度。定義為

其中yi為分離出信號的估計;sj為源信號。ξij越接近1,分離效果越好。

在ICA中,信噪比表示為分離出的信號相比于不帶有工頻干擾的沖擊波信號所摻雜的成分比例。信噪比的定義為

信噪比較大時,說明分離出的源信號的估計越接近于源信號。

迭代次數(shù)用來比較基于負熵和基于峭度的FastICA算法收斂穩(wěn)定性以及收斂速度。迭代次數(shù)少且趨于一個常數(shù)范圍時,說明算法收斂速度快,穩(wěn)定性高。

3 仿真實驗與性能對比

為驗證改進FastICA算法的有效性,在不含工頻干擾的沖擊波數(shù)據(jù)(見圖1)中,人為加入包含50 Hz、150 Hz和250 Hz的工頻模擬信號。加入干擾后,從局部加噪數(shù)據(jù)(見圖1d)中可看出,工頻干擾對沖擊波信號造成了嚴重的影響,沖擊波超壓峰值發(fā)生變化,持續(xù)時間加長。

圖1 沖擊波數(shù)據(jù)Fig.1 Shock wave data

根據(jù)式(11),構(gòu)造6路工頻參考信號,即3組相互正交的50 Hz、150 Hz和250 Hz的正弦信號,與加噪沖擊波信號共同作為輸入,利用改進的FastICA迭代式(7)分離源信號,分離出的結(jié)果如圖2所示。由圖2可見,改進算法能成功消除工頻干擾。由于ICA存在一些不確定性,分離出的信號幅值、相位及信號源順序會發(fā)生變化,但并不會對分離結(jié)果中的頻率、持續(xù)時間造成影響,幅值上的變化也可通過乘以一個系數(shù)還原。因此,筆者在計算信噪比時,先將源信號和分離信號進行歸一化處理。將分離出的沖擊波信號與原始信號做仿真相關(guān)分析,分析結(jié)果如表1所示。由表1可見,相關(guān)系數(shù)與信噪比均值分別高達0.999 994 56和45.288 755 7 dB,表現(xiàn)出較高的分離精準度。

圖2 改進FastICA的分離結(jié)果Fig.2 The separation results of improved FastICA

表1 算法相似系數(shù)和信噪比結(jié)果Tab.1 Algorithm similarity coefficients and signal-to-noise ratio results

基于峭度的FastICA是基于高階累積量的近似算法,算法簡單,迭代次數(shù)少,而基于負熵的FastICA采用非二次函數(shù)作為簡化形式,精準度相對較高[21]。筆者采用5階收斂的牛頓迭代法改進FastICA算法,將高精準度和快速收斂相結(jié)合。將這3種算法與傳統(tǒng)陷波算法做10次仿真實驗并進行性能指標對比,均值如表2所示。3種基于FastICA算法迭代次數(shù)比較圖如圖3所示。

表2 4種算法性能指標比較Tab.2 Comparison of performance indexes of four algorithms

圖3 3種算法迭代次數(shù)比較Fig.3 Comparison of iteration times between three algorithms

由表2指標比較結(jié)果可知,筆者的改進fastICA算法在相似系數(shù)和信噪比上較峭度和傳統(tǒng)陷波算法有明顯的優(yōu)勢,其中信噪比高出傳統(tǒng)陷波算法24 dB。相比于基于負熵的FastICA算法,改進的FastICA算法有著同樣高的精準度,且迭代次數(shù)減小了26.7%。從圖3中可看出,改進算法收斂速度快,迭代次數(shù)少,相比于迭代次數(shù)少的峭度算法,有著更高穩(wěn)定性。

4 實測數(shù)據(jù)消除結(jié)果

為驗證筆者算法針對實際測試的沖擊波數(shù)據(jù)消除工頻的效果,引入實測膛口沖擊波超壓數(shù)據(jù)。由圖4可知,實測數(shù)據(jù)帶有嚴重的工頻干擾,對其做頻譜分析并做局部放大結(jié)果如圖5所示。由圖5可知,在51.8 Hz、101.8 Hz、151.8 Hz、201.8 Hz和251.8 Hz頻率分量上工頻干擾尤為明顯。以上述工頻明顯的頻率分量構(gòu)造10路參考工頻信號,并和帶有干擾的沖擊波實測數(shù)據(jù)共同作為輸入,利用改進的FastICA算法對實測數(shù)據(jù)進行分離,分離結(jié)果的時域和頻域局部圖如圖6和圖7所示。對比分離前后的時域和頻域圖可知,筆者算法效果較為理想,能成功消除實測信號中帶有的工頻干擾。

圖4 實測沖擊波數(shù)據(jù)Fig.4 Measured shock wave data

圖5 改進算法分離結(jié)果Fig.5 Separation result of improved algorithm

圖6 實測數(shù)據(jù)局部頻譜圖Fig.5 Local spectrum of measured data

圖7 分離結(jié)果局部頻譜圖Fig.7 Local spectrum of separation results

5 結(jié) 語

火炮沖擊波信號采集時常受到工頻干擾的影響,因此筆者提出采用5階收斂牛頓迭代法改進的FastICA算法進行工頻干擾消除。仿真結(jié)果表明,筆者算法的相似系數(shù)和信噪比分別達到0.999 99和45 dB,較傳統(tǒng)陷波算法的0.996和21 dB有明顯優(yōu)勢。相比基于負熵的FastICA,改進算法不僅有著同樣高的精準度,且迭代次數(shù)減小了26.7%。相比于迭代次數(shù)少的基于峭度的FastICA算法,改進算法收斂速度更快,穩(wěn)定性更高。故筆者提出的基于改進FastICA的沖擊波工頻消除算法具備精準度高、收斂速度快和迭代次數(shù)少等優(yōu)勢,適用于實時處理沖擊波的測試場合。

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