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    基于鉛酸電池剩余放電時間預測的數(shù)學模型

    2018-03-20 08:05:36陳衛(wèi)忠
    蘇州市職業(yè)大學學報 2018年1期
    關鍵詞:電流強度鉛酸預測值

    陳衛(wèi)忠

    (蘇州市職業(yè)大學 數(shù)理部,江蘇 蘇州 215104)

    1 問題提出

    鉛酸電池作為電源被廣泛用于工業(yè)、軍事、日常生活中。在鉛酸電池以恒定電流強度放電過程中,電壓隨放電時間單調下降,直到額定的最低保護電壓(Um,一般為9 V)。從充滿電開始放電,電壓隨時間變化的關系稱為放電曲線。電池在當前負荷下還能供電多長時間(即以當前電流強度放電到Um的剩余放電時間)是使用中必須回答的問題。電池通過較長時間使用或放置,充滿電后的荷電狀態(tài)會發(fā)生衰減[1]。

    本研究參照2016高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題,利用題目中給出兩組數(shù)據(jù):同一生產(chǎn)批次電池出廠時以不同電流強度放電測試的完整放電曲線的采樣數(shù)據(jù);同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù),提出3個問題。問題1:用初等函數(shù)表示各放電曲線,并分別給出各放電曲線的平均相對誤差MRE;問題2:建立在20 A到100 A之間任一恒定電流強度放電時的放電曲線的數(shù)學模型,并用MRE評估模型的精度;問題3:預測電池某一衰減狀態(tài)下的剩余放電時間[1]。

    2 問題分析和模型假設

    為解決以上3個問題,通過對所列數(shù)據(jù)的分析,對3個問題分別作分析和模型假設。

    對問題1,根據(jù)放電曲線的定義,對不同的電流強度下的采樣數(shù)據(jù)進行多項式擬合得到放電曲線函數(shù)。根據(jù)給定的平均相對誤差MRE的定義,在每組數(shù)據(jù)中以不超過0.005 V電壓間隔分別取出231個電壓樣本點,可以給出各放電曲線的MRE。

    對問題2,將20 A到100 A之間的電流強度分割為無數(shù)個電流強度間距趨于無窮小的連續(xù)的電流強度,通過多項式擬合得到連續(xù)的放電曲線,最終建立放電曲面模型,對整個曲面進行MRE值計算。

    對問題3,對鉛酸電池在4種不同的衰減狀態(tài)下的數(shù)據(jù)進行曲線擬合,進一步擬合出曲面模型,將電池某一衰減狀態(tài)下的電壓數(shù)據(jù)代入就可以得到對應的剩余放電時間。

    3 模型的建立和求解

    3.1 問題1模型的建立和求解

    根據(jù)出廠時相同批次鉛酸電池在不同電流強度下的放電數(shù)據(jù),采用多項式擬合對數(shù)據(jù)進行擬合,得到鉛酸電池在不同電流強度下的放電曲線函數(shù),計算平均相對誤差MRE,得到電池剩余放電時間[2]。

    當電流強度為20 A時,將不同的電壓與放電時間的數(shù)據(jù)用Mathematica擬合出放電曲線,如圖1所示,得到放電曲線函數(shù)y =- 1 03 638 + 2 4 015. 5 U -1 342. 0 7 U2

    圖1 擬合的放電曲線

    進一步,由于放電曲線預測電池剩余容量/放電時間的精度取決于放電曲線在低電壓段的質量,并且放電曲線等時間間隔采樣在低電壓段的采樣點相對稀疏。因此,從最低保護電壓9 V開始,以0.005 V為最大間隔區(qū)間抽取電壓樣本點,抽取電壓樣本點所在的區(qū)間內可采樣數(shù)據(jù)越少,那么電壓樣本點越精確。為此在每組數(shù)據(jù)中分別提取出231個電壓樣本點。在某一電流強度下,以放電時間的預測值與采樣值的平均相對誤差來定義MRE,即

    式中:yi表示放電時間的預測值;y?i表示放電時間的采樣值,i=1,2,…,231。當鉛酸電池放電電流為20 A,平均相對誤差MRE=0.42%。

    當電池在不同電流強度下使用時,盡管放電曲線有差異,但可以統(tǒng)一定義某一電壓下電池剩余放電時間T為最低保護電壓所對應的時間預測值y(Um)減去各個電壓下所對應的時間預測值y(U),即T=y(Um)-y(U)[3]。當電流強度分別為30 A、40 A、50 A、60 A、70 A時,用同樣的方法可以擬合出鉛酸電池在不同電流強度下的放電曲線,建立放電曲線函數(shù),計算對應的MRE,得到電池剩余放電時間(見表1)。

    表1 電池剩余放電時間

    3.2 問題2模型的建立和求解

    為了得到任一恒定電流強度下的鉛酸電池放電曲線,可以將20 A到100 A之間的電流強度分割為無數(shù)個電流強度間距趨于無窮小的連續(xù)的電流強度,通過多項式擬合得到連續(xù)的放電曲線,最終得到一個放電曲面,如圖2所示。得到放電曲面函數(shù)

    將電壓從最低保護電壓9 V開始以0.005 V為最大間隔分別提取出231個電壓樣本點。在n類電流強度下,通過放電時間的預測值與采樣值的平均相對誤差來計算出相對應的MRE,即

    3.3 對問題3模型的建立和求解

    觀察同一鉛酸電池在不同衰減狀態(tài)下以相同的電流強度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)由于鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的情況下數(shù)據(jù)不完整,因此僅僅用衰減狀態(tài)3下的數(shù)據(jù)擬合出的放電曲線精度較低。因此采用問題2的方法,利用其他數(shù)據(jù)比較完整的衰減狀態(tài)下的數(shù)據(jù)進行多項式擬合,得到不同衰減狀態(tài)下的放電曲線。進一步,將幾種不同衰減狀態(tài)下的放電曲線放入同一曲面中進行擬合,得出放電曲面模型,如圖3所示,得到放電曲面函數(shù)

    圖2 放電曲面

    取L=3,得出衰減狀態(tài)3的放電曲線,如圖4所示,獲得放電曲面函數(shù)

    因此衰減狀態(tài)3的情況下電池剩余放電時間T為最低保護電壓所對應的時間預測值y(Um)減去各個電壓下所對應的時間預測值y(Um),即T=y(Um)-y(U)。

    圖3 不同衰減狀態(tài)下的放電曲面模型

    圖4 衰減狀態(tài)3的放電曲線

    4 結論

    本研究以精度較高的多項式函數(shù)擬合了鉛酸電池的放電曲線,得到放電曲線函數(shù),并分別給出各放電曲線的平均相對誤差MRE。為了得到任一恒定電流強度以及不同電池衰減狀態(tài)下的放電曲線,擬合出放電曲面模型,較好地解決了鉛酸電池在當前狀態(tài)下剩余放電時間問題,有著實際的應用意義。

    [1]教育部高等教育司,中國工業(yè)與應用數(shù)學學會.中國大學生數(shù)學建模競賽[EB/OL].(2016-09-09)[2017-07-05].http://www.mcm.edu.cn/html cn/a l ffc4c5587c8a6f96eacefb8dbcc34e.html.

    [2]李勃,劉云峰,鄭益.蓄電池剩余放電時間綜合分析模型研究[J].煤炭技術,2011,30(12) :51-53.

    [3]劉霞,鄒彥艷,金梅,等.鋰電池電量的動態(tài)預測[J].大慶石油學院學報,2004,28(2) :81-83.

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