一種新型啟發(fā)式PSO算法求解市區(qū)最優(yōu)路徑規(guī)劃研究?

方 昕

（安康學(xué)院電子與信息工程學(xué)院 安康 725000）

1 引言

在GIS路網(wǎng)分析中經(jīng)常會(huì)遇到優(yōu)化問題，其中路徑尋優(yōu)是核心問題之一。路徑尋優(yōu)是在路網(wǎng)環(huán)境里按照一定指標(biāo)如最短路徑、最小耗時(shí)、最少耗費(fèi)、最少轉(zhuǎn)向等，搜索一條從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑或最優(yōu)路徑［1］。求解路徑的方法總體上分為傳統(tǒng)算法和智能算法兩類。傳統(tǒng)算法有深度優(yōu)先、廣度優(yōu)先、圖搜索、自由空間法、A*算法［2］等，其存在效率低、耗時(shí)長(zhǎng)、存儲(chǔ)大等不足。智能算法有粒子群算法［3］、蟻群算法［4］、遺傳算法、魚群算法等，其具有效率高、易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。其中，啟發(fā)式算法既可為傳統(tǒng)算法又可為智能算法，是根據(jù)初始化解對(duì)其不斷優(yōu)化最終找到近似最優(yōu)解，可在不耗費(fèi)大量資源的前提下，利用啟發(fā)信息快速求解路徑問題。在智能算法中，粒子群算法即屬于啟發(fā)式算法的一種，在初始化粒子群體時(shí)給粒子個(gè)體添加啟發(fā)信息即可引導(dǎo)粒子前行。

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是Kennedy和Eberhart于 1995年提出的新型智能優(yōu)化算法［5～6］，其基本思想是：每個(gè)粒子位置在搜索空間中代表一個(gè)可行解，所有粒子通過目標(biāo)函數(shù)決定其適應(yīng)值。每個(gè)粒子速度決定粒子的飛行方向與距離，通過不斷更新迭代最終找到評(píng)價(jià)最優(yōu)的函數(shù)值即最優(yōu)解。與其他算法相比，粒子群算法具有簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)、收斂速度快、參數(shù)少、應(yīng)用廣等優(yōu)點(diǎn)，并適用于復(fù)雜非線性問題及離散優(yōu)化問題。但PSO算法也是一種隨機(jī)啟發(fā)式算法，其自身存在一些不足，如局部搜索能力差、速度和位置更新公式不完善、初始化粒子隨機(jī)性強(qiáng)等問題，嚴(yán)重影響了路徑規(guī)劃的尋優(yōu)效率和可靠性。

在對(duì)其深入研究中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了各種改進(jìn)方法，如張萬緒［7］等提出一種慣性權(quán)重的調(diào)整方法改進(jìn)粒子群算法，同時(shí)引入安全度和平滑度概念完成機(jī)器人路徑規(guī)劃；張鐵虎［8］等建立了點(diǎn)膠機(jī)路徑規(guī)劃模型，將蟻群算法和粒子群算法相結(jié)合求解TSP問題；變異增加群體多樣性求解TSP問題。

孫凱［12］等利用粒子群算法優(yōu)化蟻群參數(shù)來求解TSP問題；朱瑩瑩［13］等將粒子群與遺傳算法相結(jié)合，引入遺傳中的交叉、學(xué)習(xí)因子或與其他算法相結(jié)合等思想引入到了PSO算法中，從而兼顧粒子群多樣性和收斂速度兩方面的性能。

本文受到了上述啟示來求解市區(qū)最優(yōu)路徑問題，將A*算法思想引入到離散PSO算法中，采用新的啟發(fā)函數(shù)初始化粒子群體，引入非線性動(dòng)態(tài)調(diào)整算法慣性權(quán)重和平滑度概念，提出一種新型啟發(fā)式PSO算法，雙重提高算法性能，增強(qiáng)粒子群體后期全局搜索能力，抑制群體陷入局部極值。該算法在求解最優(yōu)路徑時(shí)，首先根據(jù)市區(qū)地圖數(shù)據(jù)信息利用數(shù)學(xué)推導(dǎo)建立平面路網(wǎng)環(huán)境模型，在此基礎(chǔ)上利用啟發(fā)函數(shù)、慣性權(quán)重調(diào)整、平滑度不斷迭代更新群體最優(yōu)解，從而保證算法的精度、效率、收斂性。

2 市區(qū)路網(wǎng)的算法模型

標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法（Particle Swarm Optimiza?tion，PSO）來源于鳥類覓食行為，于1995年由Ken?nedy、Eberhart博士提出的群智能算法［5～6］。算法采用速度-位置搜索模型，將每只鳥抽象化描述轉(zhuǎn)化為粒子，用隨機(jī)解初始化一群隨機(jī)粒子，粒子在搜索空間中有自身的速度引導(dǎo)其飛行，通過迭代逐漸向目標(biāo)區(qū)域靠近，在每次迭代中，每個(gè)粒子通過更新個(gè)體極值和全局極值來更新自己，不斷調(diào)整自己的速度和位置。在PSO算法中，每個(gè)個(gè)體都被看成搜索空間中無體積無質(zhì)量的粒子，每個(gè)粒子以一定速度飛行。此飛行速度會(huì)隨著全體粒子群飛行狀況即全局最優(yōu)狀況和粒子自身飛行狀況即局部最優(yōu)狀況做調(diào)整。而標(biāo)準(zhǔn)的PSO算法是針對(duì)連續(xù)優(yōu)化問題提出，與本文的最優(yōu)路徑問題截然不同。要求解本文的最優(yōu)路徑問題必須將標(biāo)準(zhǔn)PSO算法進(jìn)行離散化處理，搭建路網(wǎng)模型。

本文以Clerc［14］提出定義PSO算法數(shù)學(xué)對(duì)象與運(yùn)算規(guī)則為依據(jù)重新定義了求解市區(qū)路網(wǎng)的最優(yōu)路徑問題的算法整數(shù)序規(guī)范。算法可描述為：設(shè)在D維搜索空間中有m個(gè)粒子，第i個(gè)粒子可用向量表示為 xi=(xi1，xi2，xi3，…，xiD)，其中每個(gè) xi都有整數(shù)編碼，每個(gè)編碼都是地圖數(shù)據(jù)中地理坐標(biāo)推導(dǎo)后的節(jié)點(diǎn)。每個(gè)粒子好壞通過粒子權(quán)重值與目標(biāo)函數(shù)值比較而得到。即市區(qū)路網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的經(jīng)度與緯度數(shù)據(jù)通過空間投影將坐標(biāo)換算為平面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）值，于是可知搜索空間的n個(gè)節(jié)點(diǎn)平面坐標(biāo)。利用數(shù)學(xué)方法可求取任意節(jié)點(diǎn)間距離，其中地球半徑為6371229.0m。這樣粒子目標(biāo)使已知市區(qū)內(nèi)n個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，尋找一條整數(shù)序列 x={c1，c2，…cn}，使得x上的權(quán)重值最小，ci代表位置i對(duì)應(yīng)的編碼［15］。粒子目標(biāo)函數(shù) F(x)為

式中：F(x)這里表示為路徑的權(quán)重值即距離長(zhǎng)度或適應(yīng)度值，d(ci，cj)表示ci與cj兩節(jié)點(diǎn)間距離，i，j∈[1，n]。

在每次計(jì)算粒子目標(biāo)函數(shù)值后還需利用式（2）來判定粒子好壞：

式中，pi(k)代表粒子自身當(dāng)前第k次迭代的最好位置，pgi(k)代表粒子群體的最好位置。如果此時(shí)達(dá)到目標(biāo)函數(shù)值或最大迭代次數(shù)，則輸出當(dāng)前群體最優(yōu)路徑 pgi和路徑長(zhǎng)度F(pgi)。

粒子尋優(yōu)過程中粒子速度表示為vi=(vi1，vi2，vi3，…，viD)。第i個(gè)粒子在搜索空間中最好位置為pi=(pi1，pi2，pi3，…，piD)，粒子群體中最好位置為pg=(pg1，pg2，…，pgm)。這m個(gè)粒子群體在每次比較產(chǎn)生目標(biāo)函數(shù)值后都會(huì)根據(jù)式（3）進(jìn)行粒子位置和速度的更新，從而產(chǎn)生新的粒子和速度［15］。

式中，1≤i≤m，1≤d≤D ，w 是慣性權(quán)重，c1和c2是加速因子，k表示第k次迭代，r1和r2都屬于［0，1］上的隨機(jī)數(shù)，wvid代表粒子個(gè)體保留本身速度的能力，“-”表示粒子位置相減為一系列節(jié)點(diǎn)交換集，“⊕”表示交叉二元運(yùn)算組成有序交換集，“+”表示位置與速度相加成為新的粒子位置。在計(jì)算過程中，c1r1(pid-xid)代表粒子在第k次迭代時(shí)的(pid-xid)速度保留概率，c1r1越大則(pid-xid)中速度保留概率就越大，說明粒子自身具有很強(qiáng)的局部搜索能力；c2r2(gd-xid)代表粒子在第k次迭代時(shí)的(gd-xid)速度的保留概率，c2r2越大則(gd-xid)中速度的保留概率就越大，說明粒子群體具有很好的全局搜索能力。從上面計(jì)算式子可看出，PSO算法易于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，各個(gè)粒子的速度和位置相對(duì)獨(dú)立，同時(shí)還保存著相對(duì)微妙的聯(lián)系組成群體全局最優(yōu)解。隨著粒子個(gè)數(shù)、粒子初始位置、速度、目標(biāo)函數(shù)的不同，群體的解也會(huì)不同［15］。

因此，通過調(diào)節(jié)慣性權(quán)重或隨機(jī)數(shù)就能調(diào)整算法的全局與局部搜索能力，但粒子群算法存在隨機(jī)初始化概率大、局部搜索能力弱等不足，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果不穩(wěn)定。而A*算法是經(jīng)典啟發(fā)式搜索算法，可在初始化種群時(shí)通過計(jì)算評(píng)價(jià)函數(shù)初始化粒子，降低其初始化隨機(jī)概率。為此，本文擬結(jié)合這兩種算法的優(yōu)勢(shì)，將兩種算法進(jìn)行深層次融合，進(jìn)而提出一種求解市區(qū)路網(wǎng)最優(yōu)路徑的新型的啟發(fā)式PSO算法。

3 新型的啟發(fā)式PSO算法

粒子群算法在環(huán)境模型中尋找最優(yōu)路徑時(shí)，每個(gè)粒子都代表一個(gè)解即有效路徑，但有效路徑并不代表最優(yōu)路徑，在每次粒子迭代更新時(shí)都需要從粒子中尋找當(dāng)前的最優(yōu)解，粒子優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)即為粒子所代表的路徑長(zhǎng)度，在算法模型中指每個(gè)粒子的權(quán)重值。

3.1 改進(jìn)初始化粒子

在初始化m個(gè)粒子時(shí)先利用A*算法的思想計(jì)算評(píng)價(jià)函數(shù)（如式（4））。

其中，Gi(n)代表第i個(gè)粒子中從起點(diǎn)經(jīng)由擴(kuò)展點(diǎn)n到達(dá)終點(diǎn)的耗費(fèi)；Fi(n)代表第i個(gè)粒子中起點(diǎn)到擴(kuò)展點(diǎn)n的實(shí)際耗費(fèi)，由式（1）演變得到；hi(n)代表第i個(gè)粒子中擴(kuò)展點(diǎn)n到終點(diǎn)的估價(jià)值，保持不變。當(dāng)hi(n)總小于等于從n點(diǎn)到終點(diǎn)的實(shí)際耗費(fèi)時(shí)，能保證找到最優(yōu)解。本文hi(n)主要指路徑長(zhǎng)度可由式（5）表示：

式中，hi(n)表示第i個(gè)粒子中擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n到終點(diǎn)的直線距離，(xin，yin)表示粒子擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n的坐標(biāo)，(xid，yid)表示粒子終點(diǎn)的坐標(biāo)。

3.2 引入平滑度

由于評(píng)價(jià)函數(shù)會(huì)促使算法在進(jìn)行路徑尋優(yōu)時(shí)會(huì)選取對(duì)角線以便縮短路徑長(zhǎng)度及運(yùn)行時(shí)間，為此在搜索過程中引入平滑度。平滑度：設(shè)置路徑存儲(chǔ)置OPEN表和CLOSED表。CLOSED表存儲(chǔ)從起點(diǎn)開始的路徑節(jié)點(diǎn)，最終保存每個(gè)粒子從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最優(yōu)路徑；OPEN表保存CLOSED表中粒子搜索的當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的后續(xù)節(jié)點(diǎn)，不保存已擴(kuò)展其他節(jié)點(diǎn)的后續(xù)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)間的評(píng)價(jià)函數(shù)計(jì)算保持不變，路徑長(zhǎng)度越小代表與目標(biāo)越靠近。

Step1：首先設(shè)置變量i初始值為0，平滑度計(jì)算開始。

Step2：判斷粒子的CLOSED表的第i+1個(gè)節(jié)點(diǎn)是否為終點(diǎn)D，如果是則處理結(jié)束；否則，轉(zhuǎn)入Step3。

Step3：判斷粒子中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)與第i+2個(gè)節(jié)點(diǎn)是否直通，如果是則轉(zhuǎn)入Step4；否則轉(zhuǎn)入Step5。

Step4：刪除粒子的CLOSED表中第i+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，轉(zhuǎn)入Step5。

Step5：計(jì)數(shù) i自增1，轉(zhuǎn)入Step2。

3.3 調(diào)整慣性權(quán)重

針對(duì)粒子群算法易陷入局部最優(yōu)、早熟收斂導(dǎo)致迭代后期搜索能力下降的缺點(diǎn)，從慣性權(quán)重會(huì)影響粒子搜索速度和搜索能力考慮調(diào)整粒子迭代過程中的慣性權(quán)重，改進(jìn)粒子群算法。慣性權(quán)重計(jì)算公式如下

式中，kmax表示最大迭代次數(shù)；w表示當(dāng)前第k代粒子的慣性權(quán)重，初始化值為wmax；w(k+1)表示隨初始值及迭代變化w(k)的值呈非線性下降。當(dāng)粒子在迭代過程中遠(yuǎn)離目標(biāo)區(qū)域時(shí)，n值調(diào)大w值此時(shí)較大，使得w下降速度減慢，粒子能較快地飛向群體最優(yōu)位置；當(dāng)粒子靠近目標(biāo)區(qū)域時(shí)，n值調(diào)小w值此時(shí)變小，使得w下降速度加快，粒子能在目標(biāo)區(qū)域中進(jìn)行更細(xì)致的搜索，以便搜索到群體最優(yōu)值，從而更新群體全局最優(yōu)解，即更新公式調(diào)整為

其中，粒子在二維環(huán)境模型中搜索，1≤i≤m。

3.4 算法流程

新型的算法綜合考慮了算法的初始化、收斂速度，不僅從基本粒子群算法上進(jìn)行改進(jìn)，而且算法融入了啟發(fā)函數(shù)、平滑度、慣性權(quán)重調(diào)整，在算法模型中進(jìn)行測(cè)試，新型的算法無論在運(yùn)行速度、收斂精度上都有較大提高。算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

Step1：初始化種群。初始化m個(gè)粒子，粒子速度，迭代次數(shù)，適應(yīng)度值。同時(shí)，創(chuàng)建OPEN表和CLOSED表。

Step2：計(jì)算粒子適應(yīng)度值。根據(jù)式（1）計(jì)算每個(gè)粒子適應(yīng)值。將最初的適應(yīng)度值作為粒子的當(dāng)前最優(yōu)值 pi(k)，按照式（2）評(píng)價(jià)粒子好壞并求解pg(k)。

圖1 改進(jìn)算法流程圖

Step3：判斷是否符合結(jié)束條件或終點(diǎn)D是否在CLOSED表中。如果是則轉(zhuǎn)到Step7，否則進(jìn)入Step4。

Step4：引入平滑度，CLOSED表中選取節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展，將擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)的后續(xù)節(jié)點(diǎn)加入清空的OPEN表中。再次判斷終點(diǎn)D是否在表中，是則輸出結(jié)果，否則轉(zhuǎn)入Step5。

Step5：計(jì)算粒子適應(yīng)度值并評(píng)價(jià)粒子。

Step6：調(diào)整慣性權(quán)重，更新粒子群體。按式（7）更新粒子速度和位置，產(chǎn)生新一代粒子。

Step7：判斷是否符合結(jié)束條件。如果是則算法結(jié)束，輸出結(jié)果，否則轉(zhuǎn)到Step4。

結(jié)束條件：達(dá)到規(guī)定的粒子迭代次數(shù)或預(yù)定目標(biāo)函數(shù)值。

4 實(shí)例仿真分析

本系統(tǒng)采用某市區(qū)的地圖數(shù)據(jù)，通過地理坐標(biāo)空間投影構(gòu)成帶權(quán)圖G，圖中有用節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)共計(jì)16，并以此編號(hào)，節(jié)點(diǎn)邊數(shù)為35。新型的算法在Vi?sual Studio2005.net環(huán)境下用VC++編程實(shí)現(xiàn)，為了更好統(tǒng)計(jì)算法性能，將規(guī)劃路徑、路徑長(zhǎng)度和運(yùn)行時(shí)間作為參考，并與PSO算法，A*算法結(jié)果進(jìn)行比較，其中粒子最大速度vmax=15，c1=c2=2，r1=r2=0.5，R=0.2，最大慣性權(quán)重wmax=0.9，最小慣性權(quán)重wmin=0.4。為了驗(yàn)證算法的有效性，實(shí)驗(yàn)中粒子群算法的迭代次數(shù)取50、100、200，粒子個(gè)數(shù)取20、30、50、100、200，然后求解每組迭代下的平均解和最優(yōu)解、平均耗時(shí)，統(tǒng)計(jì)各個(gè)算法搜索結(jié)果如圖3、表1所示。

硬件環(huán)境：Intel（R）Core（TM）2 CPU 6320；

操作系統(tǒng)：Microsoft Windows；

軟件環(huán)境：Visual Studio。

表1 新型算法結(jié)果統(tǒng)計(jì)

從表1中可看出新型算法能有效求解最優(yōu)路徑問題，且隨著迭代次數(shù)和粒子個(gè)數(shù)不斷增加的情況下，粒子的權(quán)重值將逐漸減小。當(dāng)粒子個(gè)數(shù)增大到200時(shí)，粒子求解的路徑長(zhǎng)度反而變大，可見粒子群算法中根據(jù)求解的問題設(shè)置合適的參數(shù)對(duì)求解結(jié)果有較大影響，此處粒子個(gè)數(shù)設(shè)置為100較為理想，平均解也較好。因此在進(jìn)行下述算法比較時(shí)，粒子個(gè)數(shù)取100，迭代次數(shù)依次取50、100、200。算法結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表2、圖2所示。

表2 三種算法結(jié)果統(tǒng)計(jì)

圖2 路徑長(zhǎng)度對(duì)比

從表2和圖2可看出不同迭代次數(shù)下，A*算法求解一致，但PSO和新型PSO算法求解的路徑長(zhǎng)度、平均解、最優(yōu)解均不同。隨著迭代次數(shù)的加大，算法各自求得的解都趨于最優(yōu)。但是從圖中明顯能夠看到新型PSO算法在每次不同迭代次數(shù)下的解及平均解、最優(yōu)解都要優(yōu)于前兩個(gè)算法。這說明新型算法從解的精度看提高了原有PSO算法和A*算法的性能。新型PSO算法比原PSO算法平均減少了約17.876km，新型PSO算法比A*算法平均減少了約3.182km。

同時(shí)，從圖2可看到三種算法求解結(jié)果，◆曲線代表PSO算法，■曲線代表A*算法結(jié)果，▲曲線代表新型啟發(fā)式PSO算法結(jié)果。這說明新型的啟發(fā)式PSO算法求解該路徑問題都為最優(yōu)，其具有一定實(shí)際意義和理論價(jià)值。

5 結(jié)語

本文結(jié)合市區(qū)地圖數(shù)據(jù)通過數(shù)學(xué)方法利用坐標(biāo)投影建立了算法環(huán)境模型，針對(duì)粒子群算法路徑規(guī)劃的自身不足，結(jié)合A*算法思想初始化種群、引入平滑度、調(diào)整慣性權(quán)重控制算法收斂速度和求解精度，以開銷少為原則，尋找一條從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最優(yōu)路徑或最短路徑。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新型啟發(fā)式PSO算法能在實(shí)際數(shù)據(jù)的二維搜索空間中再次降低尋優(yōu)路徑消耗，其中在粒子個(gè)數(shù)為100，迭代次數(shù)為200時(shí)解較優(yōu)，較前兩種算法，改進(jìn)策略提高了搜索精度，而且算法過程易實(shí)現(xiàn)，操作過程易理解。但是，該算法的設(shè)置參數(shù)為經(jīng)驗(yàn)值，算法性能也有待進(jìn)一步研究和關(guān)注。

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