動(dòng)生渦流無(wú)損檢測(cè)的二維穩(wěn)態(tài)解析模型

鄧康軒,馮 搏,康宜華

(華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢 430074)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，市場(chǎng)對(duì)鋁板帶材的需求量越來(lái)越大，對(duì)鋁材的要求也向著更薄的方向發(fā)展。為了增大鋁帶板材的產(chǎn)量，軋機(jī)的速度越來(lái)越快，最高可達(dá)20～25 m/s[1]以上，在生產(chǎn)過(guò)程中易產(chǎn)生缺陷，但常規(guī)無(wú)損檢測(cè)方法難以對(duì)鋁帶的缺陷進(jìn)行高速檢測(cè)。

T. J. Rocha等[2]提出動(dòng)生渦流的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)金屬導(dǎo)體的高速檢測(cè)，動(dòng)生渦流傳感器包括永磁鐵和磁敏元件。永磁體和導(dǎo)體試件之間因?yàn)榇嬖谙鄬?duì)運(yùn)動(dòng)而在導(dǎo)體試件中產(chǎn)生動(dòng)生渦流，當(dāng)導(dǎo)體試件中存在缺陷時(shí)，會(huì)對(duì)渦流產(chǎn)生擾動(dòng)，并被磁敏元件拾取。動(dòng)生渦流強(qiáng)度隨導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度的增大而增大，因此適用于高速檢測(cè)。B. FENG等[3-4]也利用動(dòng)生渦流探頭對(duì)金屬材料進(jìn)行了檢測(cè)，并對(duì)比了鐵磁性金屬與非鐵磁性金屬檢測(cè)信號(hào)的特征。F. YUAN等[5]采用直流線圈代替永磁鐵作為激勵(lì)源，進(jìn)一步研究動(dòng)生渦流對(duì)導(dǎo)體試件中缺陷的檢測(cè)效果，提出了一種定量表征運(yùn)動(dòng)鐵磁性材料裂紋的方法。但目前研究主要集中在動(dòng)生渦流檢測(cè)缺陷的實(shí)驗(yàn)和仿真，并沒(méi)有相應(yīng)的解析模型。解析模型能夠讓研究人員對(duì)機(jī)理有更加深入的理解[6]，是傳感器優(yōu)化的基礎(chǔ)[7]，因此，本文將對(duì)動(dòng)生渦流無(wú)損檢測(cè)方法的解析模型進(jìn)行研究。

在渦流檢測(cè)及脈沖渦流檢測(cè)中，研究人員對(duì)解析模型進(jìn)行了大量研究。C.V. Dodd等[8]已經(jīng)給出了軸對(duì)稱和非軸對(duì)稱單頻渦流管道檢測(cè)的頻域解析解。T. Theodoulidis等[9-10]在Dodd-Deeds模型的基礎(chǔ)上將電磁場(chǎng)和渦流線圈阻抗的積分表達(dá)式用級(jí)數(shù)展開代替，減少了計(jì)算時(shí)間，更好地控制了收斂性。M. B. FAN等[11]利用電磁場(chǎng)的反射和透射理論，建立了層狀平面導(dǎo)體上方同軸激勵(lì)感應(yīng)探頭的解析模型。張卿、武新軍等[12]基于羅賓邊界條件，建立了脈沖渦流的解析模型。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，建立了基于導(dǎo)線激勵(lì)的動(dòng)生渦流檢測(cè)解析模型。首先基于Maxwell方程組分別推導(dǎo)出空氣和導(dǎo)體中電磁場(chǎng)的控制方程，然后引入Fourier變換求得解析模型的頻域通解，再根據(jù)磁場(chǎng)垂直和平行邊界條件，求解得到空間中磁場(chǎng)的分布以及導(dǎo)體試件中渦流的分布。最后將解析結(jié)果和有限元結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證解析模型的正確性，并基于解析模型對(duì)檢測(cè)速度的影響進(jìn)行了分析。

1 基于導(dǎo)線激勵(lì)的動(dòng)生渦流檢測(cè)模型

本文擬對(duì)動(dòng)生渦流檢測(cè)的二維解析模型進(jìn)行研究，并建立穩(wěn)態(tài)時(shí)的渦流分布。動(dòng)生渦流檢測(cè)基本原理如圖1所示，磁鐵與被測(cè)導(dǎo)體試件之間以相對(duì)速度v運(yùn)動(dòng)，從而使試件中產(chǎn)生渦流。

圖1 動(dòng)生渦流檢測(cè)模型

圖2 導(dǎo)線激勵(lì)等效的動(dòng)生渦流檢測(cè)解析模型

2 動(dòng)生渦流的穩(wěn)態(tài)解析解

2.1 解析模型的控制方程

列出Maxwell方程組的微分形式，如式(1)。

(1)

式中：B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，T；E為電場(chǎng)強(qiáng)度，V/m；J為電流密度，A/m2；D為電位移矢量，C/m2；ρ為電荷密度，C/m2；μ為磁導(dǎo)率，H/m。

根據(jù)電磁場(chǎng)在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的伽利略變換和歐姆定律，當(dāng)金屬導(dǎo)體以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，其電流密度為：

J=σE+σν×B

(2)

式中σ為金屬薄板的電導(dǎo)率，S/m。

將式(2)代入式(1)中，并在等式兩邊同時(shí)取旋度，可得

(3)

根據(jù)矢量恒等式

(4)

及式(1)，有

(5)

將式(5)代入式(3),得

(6)

根據(jù)矢量運(yùn)算，有

(7)

代入式(6)，得

(8)

將式(1)和式(8)代入式(6)中，得

(9)

式中νx和νy分別為速度ν在水平和垂直方向上的分量。

在動(dòng)生渦流檢測(cè)中，激勵(lì)為直流磁場(chǎng)，因此磁場(chǎng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為0。并且如圖2所示的模型中，導(dǎo)體只存在x方向的水平運(yùn)動(dòng)，因此式(9)可化簡(jiǎn)為：

(10)

式(10)即為電磁場(chǎng)在導(dǎo)體試件中的控制方程。

同理可得在空氣中的控制方程

(11)

將矢量形式的控制方程在笛卡爾坐標(biāo)系下展開可得磁場(chǎng)x和y分量在空氣和導(dǎo)體中的控制方程。在空氣中：

(12)

式中Bx、By分別為磁感應(yīng)強(qiáng)度B在水平和垂直方向上的分量。

在導(dǎo)體試件中：

(13)

2.2 解析模型的頻域通解

為對(duì)磁場(chǎng)進(jìn)行求解，引入Fourier變換與逆變換，分別如式(14)、式(15)。

(14)

(15)

式(15)是將空間域函數(shù)表示為空間頻域函數(shù)的積分形式，將式(15)代入(12)可得空氣中磁場(chǎng)的頻域方程：

(16)

解得空氣中磁感應(yīng)強(qiáng)度的頻域通解為：

(17)

式中Cx、Dx、Cy、Dy為通解中的參數(shù)。

將式(15)代入(13)可得導(dǎo)體中磁場(chǎng)的頻域方程：

(18)

式中k′2=k2+jkμσvx

解得導(dǎo)體試件中磁感應(yīng)強(qiáng)度的頻域通解為：

(19)

2.3 解析模型的邊界條件及求解

為對(duì)多匝導(dǎo)線激勵(lì)情況進(jìn)行計(jì)算，先計(jì)算只有單匝導(dǎo)線的情況。最后對(duì)單匝導(dǎo)線的解進(jìn)行積分，即可求得多匝導(dǎo)線的情況。

將空間劃分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4個(gè)區(qū)域，如圖3所示，并建立如圖所示的坐標(biāo)系，由式(16)、式(18)分別寫出4個(gè)區(qū)域的通解。因?yàn)樵趨^(qū)域Ⅰ中，當(dāng)y→+∞時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度有界，所以區(qū)域Ⅰ中的Cx和Cy為零。在區(qū)域Ⅳ中，當(dāng)y→-∞時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度有界，所以區(qū)域Ⅳ中的Dx和Dy為零。所以區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)頻域通解為：

圖3 單匝導(dǎo)線模型示意圖

(20)

區(qū)域Ⅱ中磁場(chǎng)頻域通解為：

(21)

區(qū)域Ⅲ中磁場(chǎng)頻域通解為：

(22)

區(qū)域Ⅳ中磁場(chǎng)頻域通解為：

(23)

由磁場(chǎng)的垂直分量連續(xù)分別得到在y=y′，0，-d處的邊界條件

(24)

(25)

(26)

由磁場(chǎng)的平行分量連續(xù)分別得到在y=0,-d,y′處的邊界條件：

當(dāng)y=0，-d時(shí)

(27)

(28)

當(dāng)y=y′時(shí)

式中：I為等效導(dǎo)線中電流；δ(x)為狄拉克δ函數(shù)。

等式兩邊同時(shí)做Fourier變換：

積分后得：

(29)

又由式(1)，得：

在區(qū)域Ⅰ中，有：

(30)

在區(qū)域Ⅱ中，有：

(31)

(32)

在區(qū)域Ⅲ中，有：

(33)

(34)

在區(qū)域Ⅳ中，有：

(35)

由式(24)～式(35) 組成的方程組可解得各系數(shù)，這里主要研究的是導(dǎo)體試件的渦流分布，只寫出區(qū)域Ⅲ的系數(shù)。

(36)

(37)

(38)

(39)

又根據(jù)式(1)可得

(40)

式中Jz為電流密度在z方向上的分量。

由式(36)、式(15)可得：

(41)

對(duì)于多匝導(dǎo)線，導(dǎo)體中產(chǎn)生的渦流即為單匝導(dǎo)線的結(jié)果沿y′方向上從y0到y(tǒng)0+h的積分，即

(42)

然后做Fourier逆變換

(43)

即可得到導(dǎo)體中穩(wěn)態(tài)渦流場(chǎng)的解析模型。

3 有限元仿真驗(yàn)證

為了對(duì)解析模型進(jìn)行驗(yàn)證，現(xiàn)將有限元和解析模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。導(dǎo)體試件選取的材料為鋁材，在解析模型中給定各個(gè)參數(shù)的值，令a=0.005 m，y0=0.005 m，h=0.01 m，v=-5 m/s，d=0.005 m，μ=4π×10-7H/m，I=6×105A，σ=3.53×107S/m。并給定需要繪制的渦流密度圖像的導(dǎo)體試件的范圍，令x=-0.04～0.04 m，y=-0.005～0 m，代入穩(wěn)態(tài)渦流場(chǎng)的解析模型，理論計(jì)算出導(dǎo)體試件中各點(diǎn)的渦流密度的值，在MATLAB中作出圖像，如圖4所示。

圖4 理論計(jì)算的導(dǎo)體試件中的渦流分布圖

圖5 ANSYS仿真計(jì)算的導(dǎo)體試件中的渦流分布圖

為了更好地對(duì)比渦流分布，用命令流提取導(dǎo)體試件中的渦流密度大小，導(dǎo)入MATLAB進(jìn)行繪圖，得到結(jié)果如圖6所示。

圖6 ANSYS仿真計(jì)算在MATLAB中的表示

對(duì)比圖4和圖6，可以看出解析結(jié)果與有限元結(jié)果基本一致。

分別提取有限元仿真和解析模型計(jì)算得到的導(dǎo)體試件上表面的渦流密度的值，得到的結(jié)果如圖7所示。從圖7中可以看出有限元仿真和解析模型計(jì)算得到的導(dǎo)體試件上表面的渦流密度基本相等。

圖7 有限元仿真和解析模型計(jì)算得到的導(dǎo)體試件上表面的渦流密度的值

4 基于解析模型的導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度影響分析

相比于有限元模型，解析模型能更方便、快速地對(duì)動(dòng)生渦流檢測(cè)中的影響參數(shù)進(jìn)行分析?；诒疚牡玫降慕馕瞿Ｐ?，可以研究導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度對(duì)渦流分布的影響，對(duì)解析模型中的速度v取不同的值后(1～6 m/s)代入計(jì)算，用MATLAB作出不同速度下導(dǎo)體試件中的渦流分布圖，如圖8所示?？梢?，動(dòng)生渦流密度隨導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度的增大而增大，并且導(dǎo)體試件中產(chǎn)生的渦流產(chǎn)生拖尾效應(yīng)也隨導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度的增大而變得更加明顯。

(a)v=1 m/s

(b)v=2 m/s

(c)v=3 m/s

(d)v=4 m/s

(e)v=5 m/s

(f)v=6 m/s圖8 不同速度下導(dǎo)體試件中的渦流分布圖

提取導(dǎo)體試件上表面的渦流密度的值，如圖9所示。從圖中也可以看出，導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度越快，導(dǎo)體試件中渦流密度越大。

圖9 不同速度下導(dǎo)體試件上表面的渦流密度的值

5 結(jié)論

本文應(yīng)用Fourier變換建立了基于導(dǎo)線激勵(lì)的動(dòng)生渦流檢測(cè)解析模型。利用該檢測(cè)模型可以計(jì)算出導(dǎo)體試件內(nèi)的渦流密度，得到導(dǎo)體試件中渦流的分布情況。通過(guò)與ANSYS仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)該模型進(jìn)行了驗(yàn)證。最后基于解析模型計(jì)算發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)速度越快，導(dǎo)體試件中的渦流密度越大。該解析模型可用于分析導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度、傳感器尺寸、提離等因素對(duì)動(dòng)生渦流檢測(cè)的影響。在后續(xù)研究中，將繼續(xù)對(duì)動(dòng)生渦流的三維穩(wěn)態(tài)模型及暫態(tài)模型進(jìn)行研究。