條分縷析——建模解應(yīng)用題的思維特征

陳曉燕

如何解應(yīng)用題呢？首先，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，也就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以抽象與概括，即數(shù)學(xué)地審題；其次，從數(shù)學(xué)角度刻畫或反映實(shí)際問題，得出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述，即建立數(shù)學(xué)模型；再次，通過推理、演算在數(shù)學(xué)模型中解決問題，并還原或說明數(shù)學(xué)結(jié)果所反映的實(shí)際問題，即“解”與“答”.解題步驟的流程圖如下：

其中，“建立數(shù)學(xué)模型”是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，很多同學(xué)往往審題不清，無(wú)法進(jìn)入分析問題、解決問題的環(huán)節(jié)，這就需要我們把握數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題特點(diǎn)，養(yǎng)成“條分縷析”的思維習(xí)慣，充滿信心地建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.本文以兩道高考模擬試題為例，為同學(xué)們剖析數(shù)學(xué)應(yīng)用題的思維要求.

1.分級(jí)概括、去粗存精——簡(jiǎn)化問題背景

數(shù)學(xué)應(yīng)用題源于生活，問題的背景包含很多生活化的信息，建模需要的量與量的相等和不等關(guān)系，量的約束條件等均蘊(yùn)含在其中，這就需要我們學(xué)會(huì)閱讀、分析和理解，學(xué)會(huì)將文字語(yǔ)言敘述轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言.我們可以將問題中的信息分為三個(gè)層級(jí)，淺層：可以忽略的鋪墊介紹；表層：能夠理解的基本關(guān)系；深層：反映本質(zhì)的關(guān)鍵信息.淺層信息可以簡(jiǎn)去，表層信息直接轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)，深層信息需要仔細(xì)推敲、重點(diǎn)突破.

問題1中的“如圖，墻上有一壁畫，最高點(diǎn)A離地面4m，最低點(diǎn)B離地面2m”，“A離地面4m”、“B離地面2m”是表層信息，需要直接標(biāo)注在圖上，其他的均是淺層信息直接忽略.問題2中的“某賓館在裝修時(shí)，為了美觀，欲將客房的窗戶設(shè)計(jì)成半徑為Im的網(wǎng)形”，只有“圓的半徑為1 m”是表層信息，需要直接標(biāo)注在圖上，其他的均為淺層信息直接忽略.而問題1中的“觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角θ最大”，問題2中的“四根木條將網(wǎng)分成如圖所示的9個(gè)區(qū)域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形”是深層信息，是問題的突破口以及解題的關(guān)鍵所在，需要認(rèn)真思考和推敲，準(zhǔn)確地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

“分級(jí)概括”不僅去粗存精、用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征信息，而且簡(jiǎn)化了問題的背景、突出問題解決的重點(diǎn).很多同學(xué)在審題時(shí)，由于沒有掌握這種方法，往往身陷冗長(zhǎng)的文字而無(wú)法自拔，進(jìn)而失去解決問題的信心.

2.逐層抽象、重點(diǎn)突破——加工關(guān)鍵信息

應(yīng)用題中的深層信息是建模的關(guān)鍵，基于不同的特征，我們要學(xué)會(huì)相應(yīng)的抽象方法.問題1中的信息“觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角θ最大”是一種典型的最優(yōu)化問題的表征.雖然從字面上理解是求“離墻多遠(yuǎn)”，即“求x”，事實(shí)上需要關(guān)注對(duì)象卻是“視角θ”.對(duì)于最優(yōu)化問題，我們常用的方法是“將需要最優(yōu)的量作為目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)”.這里要將“視角0”的某一個(gè)函數(shù)值（正弦、余弦或正切）作為因變量，“x”作為自變量，建立等量關(guān)系（解析式），并給出“x”的相應(yīng)范圍（定義域）.這樣處理后，問題轉(zhuǎn)化為：“結(jié)合圖形特征，如何求視角θ？”這是個(gè)表層的問題了，問題2中的深層信息“若四根木條總長(zhǎng)為6m，求窗口ABCD面積的最大值”.也是最優(yōu)化問題，處理方法類似.

3.合理比析、設(shè)計(jì)模型——解決實(shí)際問題

在概括、抽象的基礎(chǔ)上，我們可以著手設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行建模.但是，思考問題的視角不同，所選擇的模型也不一樣，解決數(shù)學(xué)模型的方法就有難有易，需要我們合理比析，做出選擇.

（1）【問題1】的比析