只有一個(gè)側(cè)面的神奇帶圈

漂流

本期答案 這是真的！

背景 麥比烏斯圈只有一面

青年問(wèn)禪師：“大師，我很愛(ài)我的死黨，他有很多優(yōu)點(diǎn)，但是總有幾個(gè)缺點(diǎn)讓我非常討厭，有什么方法能讓他改變？”禪師淺笑，答：“方法很簡(jiǎn)單，不過(guò)若想我教你，你需先下山為我找一張只有正面沒(méi)有背面的紙回來(lái).”

青年略一沉吟，掏出一個(gè)麥比烏斯圈.

闡述 許多人看到過(guò)麥比烏斯圈，但不一定知道它叫麥比烏斯圈.

許多人知道麥比烏斯圈，但不一定知道它的來(lái)龍去脈，

圖l

麥比烏斯圈是德國(guó)數(shù)學(xué)家麥比烏斯，在1 858年研究著名的數(shù)學(xué)猜想：四色定理時(shí)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)副產(chǎn)品，在麥比烏斯之前，已經(jīng)有數(shù)學(xué)家提出：是否可以用一張長(zhǎng)方形的紙條，首尾相粘，做成一個(gè)圈，然后在紙圈上涂色，只用一種顏色，就可以把整個(gè)紙圈涂滿，不留下空白，有一天他在野外散步，田間肥大的玉米葉在他眼中變成了綠色的紙條，在不經(jīng)意間他把玉米葉擰了一個(gè)圈后把兩個(gè)頭對(duì)接了起來(lái)，放到了地上，如圖1.這讓麥比烏斯非常驚訝，本來(lái)有兩個(gè)面的紙條怎么變成一個(gè)面了？

普通紙帶有兩個(gè)面，一個(gè)正面，一個(gè)反面，兩個(gè)面可以涂成不同的顏色；而麥比烏斯圈只有一個(gè)面，忙碌的螞蟻們可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過(guò)它的邊緣，不妨來(lái)看看20世紀(jì)的偉大藝術(shù)家埃舍爾以麥比烏斯圈為載體的作品《麥比烏斯圈Ⅱ》，如圖2，可愛(ài)的螞蟻正為我們闡釋麥比烏斯圈，這個(gè)所謂的單側(cè)曲面到底長(zhǎng)什么模樣呢！

大家看看，麥比烏斯圈是不是和我們熟悉的數(shù)學(xué)符號(hào)“∞”長(zhǎng)得很像呀，因此也有人認(rèn)為麥比烏斯是無(wú)窮大符號(hào)“∞”的創(chuàng)意來(lái)源，設(shè)想一下：如果一個(gè)人站在一個(gè)巨大的麥比烏斯圈的表面上沿著他看到的“路”一直走下去，結(jié)果會(huì)發(fā)生什么？他會(huì)一直走下去，永遠(yuǎn)不會(huì)停下來(lái)，如圖3.不過(guò)，這個(gè)“∞”來(lái)源的想法不是真的，符號(hào)“∞”早在1656年就出現(xiàn)在英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯的作品中了.

麥比烏斯圈有許多奇異的特性.

拿一張白色的長(zhǎng)紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻個(gè)身，粘成一個(gè)麥比烏斯圈.用剪刀沿紙帶的中央把它剪開(kāi).紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而變成了一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙圈.小伙伴們可以動(dòng)手試著做一做.

一些在平面上無(wú)法解決的問(wèn)題，卻不可思議地在麥比烏斯圈上獲得了解決.如在現(xiàn)實(shí)空間無(wú)法實(shí)現(xiàn)的“手套易位”問(wèn)題：人左右兩手的手套雖然極為相像，卻有著本質(zhì)的不同.無(wú)論你怎么扭來(lái)轉(zhuǎn)去，左手套永遠(yuǎn)是左手套，右手套也永遠(yuǎn)是右手套！不過(guò)，倘若你把它搬到麥比烏斯圈上來(lái)，那么問(wèn)題解決起來(lái)就易如反掌了，由于麥比烏斯圈的單面性，不分左右，左右手就都可以戴上了.

數(shù)學(xué)中有一個(gè)分支叫拓?fù)鋵W(xué)，主要研究幾何圖形的一些特征和規(guī)律，麥比烏斯圈就是拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問(wèn)題之一，

類似的問(wèn)題 青年又問(wèn)禪師：“我的頭腦總是被繁雜的世俗所裝滿，卻要如何是好？”

禪師說(shuō)：“你畫(huà)一個(gè)瓶子，它總有一個(gè)盡頭，你不把它里面的東西倒出來(lái)，怎么裝新的進(jìn)去？”

青年若有所思，畫(huà)了一個(gè)克萊因瓶，如

在1882年，著名數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)現(xiàn)了神奇的著名“瓶子”，這是一個(gè)像球面那樣封閉的（沒(méi)有邊）曲面，但是它只有一個(gè)面.在圖片上我們看到，克萊因瓶的確像一個(gè)瓶子.

克萊因瓶的結(jié)構(gòu)在三維空間可描述為：一個(gè)瓶子底部有一個(gè)洞，現(xiàn)在延長(zhǎng)瓶子的頸部，并且扭曲進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接.和我們平時(shí)用來(lái)喝水的杯子不一樣，這個(gè)物體沒(méi)有“邊”，它的表面不會(huì)終結(jié).克萊因瓶和球面不同，我們知道一個(gè)球有兩個(gè)面——外表面和內(nèi)表面，如果一只螞蟻在一個(gè)球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個(gè)洞，就無(wú)法爬到內(nèi)表面上去.我們很容易想象，一只爬在“克萊因瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過(guò)瓶頸而爬到“瓶?jī)?nèi)”去——事實(shí)上克萊因瓶無(wú)內(nèi)外之分！當(dāng)然了，您也甭想著用這個(gè)瓶子來(lái)裝水呀！

有趣的是，如果把克萊因瓶沿著它的對(duì)稱線切下去，竟會(huì)得到兩個(gè)麥比烏斯圈，如圖5.

更多關(guān)于麥比烏斯圈和克萊因瓶的內(nèi)容，同學(xué)們可以參考《數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育資源庫(kù)》叢書(shū).