數(shù)學(xué)軟件在線性規(guī)劃模型求解中的多用與妙用

陳諾凡

（福州第二中學(xué)，福建 福州 350001）

一、引言

線性規(guī)劃問(wèn)題是指在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題。利用平面區(qū)域只能求解含有兩個(gè)變量的線性規(guī)劃模型，當(dāng)線性規(guī)劃模型包含的變量多于兩個(gè)時(shí)，就需要借助各類(lèi)數(shù)學(xué)計(jì)算軟件來(lái)高效求解。復(fù)雜的線性規(guī)劃模型可以用哪些計(jì)算軟件來(lái)求解？各種軟件的應(yīng)用又各有哪些優(yōu)勢(shì)？為回答這些問(wèn)題，以下對(duì)三種數(shù)學(xué)計(jì)算軟件在線性規(guī)劃模型求解中的應(yīng)用進(jìn)行研究，并結(jié)合實(shí)例加以分析。

二、線性規(guī)劃模型的構(gòu)成要素與特征

求解線性規(guī)劃問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)稱(chēng)線性規(guī)劃模型。求解線性規(guī)劃問(wèn)題一般步驟是：把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型→求解數(shù)學(xué)模型→求解結(jié)果的解釋與應(yīng)用。線性規(guī)劃模型由目標(biāo)函數(shù)、約束條件、決策變量三要素構(gòu)成。在建立線性規(guī)劃模型時(shí)，首先要假設(shè)決策變量，并將目標(biāo)函數(shù)與約束條件分別表示為決策變量的線性函數(shù)。模型求解結(jié)果中決策變量的取值即為線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解，亦稱(chēng)為最優(yōu)決策方案。

由于生產(chǎn)、生活中遇到的多數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題對(duì)應(yīng)的模型包含的決策變量個(gè)數(shù)一般較多，當(dāng)決策變量個(gè)數(shù)多于兩個(gè)，即目標(biāo)函數(shù)與約束條件為n（n≧3）元函數(shù)時(shí)，最簡(jiǎn)單、便捷且實(shí)用的方法莫過(guò)于利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件進(jìn)行求解的方法。當(dāng)然，能夠簡(jiǎn)捷地利用數(shù)學(xué)軟件求解線性規(guī)劃模型的前提是：理解線性規(guī)劃模型構(gòu)造、熟悉數(shù)學(xué)軟件的特點(diǎn)。求解線性規(guī)劃模型的計(jì)算軟件比較多，文章主要重點(diǎn)對(duì)Excel規(guī)劃求解工具、Matlab軟件、Lingo軟件等的使用特點(diǎn)進(jìn)行歸納與比較，以便選擇使用。

三、運(yùn)用求解線性規(guī)劃模型的三種數(shù)學(xué)計(jì)算軟件特點(diǎn)與實(shí)例分析

（一）Excel“規(guī)劃求解”工具求解線性規(guī)劃模型

Excel可以進(jìn)行各種數(shù)據(jù)的處理、統(tǒng)計(jì)分析和輔助決策［1］，加載“規(guī)劃求解”功能項(xiàng)的Excel能夠簡(jiǎn)單、方便地用于較小規(guī)模線性規(guī)劃問(wèn)題的求解。

例1.營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該每天至少提供0.075千克的碳水化合物，0.06千克的蛋白質(zhì)，0.06千克的脂肪?，F(xiàn)有兩種食物A、B可提供此三種物質(zhì)，每千克食物A、B分別含有碳水化合物、蛋白質(zhì)、脂肪的數(shù)量及每千克食物A、B的分別費(fèi)用如表1所示。為了滿(mǎn)足營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出的飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，成人每天同時(shí)食用食物A和食物B各為多少？

表1 食物A、B物質(zhì)含量及費(fèi)用數(shù)據(jù)表

解：設(shè)成人每天食用食物A、B的數(shù)量分別為x1千克，x2千克，根據(jù)題意建立如下線性規(guī)劃模型 （1）：

利用Excel2010求解模型（1）的具體過(guò)程如下述表2、圖1所示。

表2 例1求解數(shù)據(jù)表及項(xiàng)目設(shè)定

圖1 規(guī)劃求解過(guò)程參數(shù)及設(shè)定

根據(jù)模型（1），在表2、圖1中設(shè)置好“目標(biāo)”“可變單元格”“約束”，且在圖1中選定“使無(wú)約束變量為非負(fù)數(shù)”及“單純線性規(guī)劃”后，點(diǎn)“求解”即可得求解結(jié)果：決策變量值x1＝0.1429，x2＝0.5714；目標(biāo)函數(shù)值z(mì)＝16.0000。從而得到該線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解與最優(yōu)值，即成人食用食物A、B分別為0.143千克、0.571千克，相應(yīng)的最低花費(fèi)為16元。

利用Excel“規(guī)劃求解”工具求解線性規(guī)劃模型盡管步驟較多，但讀者在熟悉了Excel規(guī)劃求解過(guò)程后，會(huì)感受到其友好的界面，較易理解并掌握其操作過(guò)程，因而Excel規(guī)劃求解工具是求解線性規(guī)劃問(wèn)題較常用的辦法。但從表2、圖1也發(fā)現(xiàn)，當(dāng)決策變量的個(gè)數(shù)較多或者約束條件的個(gè)數(shù)較多時(shí)，求解過(guò)程要輸入的數(shù)據(jù)等各類(lèi)信息量比較大，且在Excel表中占用的空間較大，給求解過(guò)程的操作造成一定麻煩。因此，在線性規(guī)劃模型的規(guī)模較大（變量較多或約束條件較多）時(shí)，考慮利用其他軟件求解模型。

（二）利用Matlab軟件求解線性規(guī)劃模型

Matlab是一種用于科學(xué)計(jì)算的、高效率的高級(jí)計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言［2］，是求解線性規(guī)劃模型常用、高效的計(jì)算軟件。利用Matlab求解線性規(guī)劃模型時(shí)，規(guī)定了線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)定了特定的程序命令。Matlab運(yùn)用中規(guī)定的線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形式為［3］：

其中，f為目標(biāo)函數(shù)中價(jià)值系數(shù)組成的列向量，也稱(chēng)價(jià)值向量；x為決策變量組成的列向量；A是約束不等式的系數(shù)矩陣，Aeq是約束等式的系數(shù)矩陣；b是約束不等式的資源向量，beq是約束等式的資源向量（為列向量）；lb、ub分別為決策變量上、下界組成的列向量。

Matlab中求解線性規(guī)劃模型的命令為：

［x，f val］＝linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub）

在具體的線性規(guī)劃問(wèn)題求解時(shí)，只要根據(jù)模型中目標(biāo)函數(shù)與約束條件的系數(shù)與常數(shù)，對(duì)程序中的數(shù)字進(jìn)行相應(yīng)的更改即可。

例如，求解例1所示線性規(guī)劃問(wèn)題的Matlab程序如下：

其中［］表示所求解的模型無(wú)對(duì)應(yīng)的限制項(xiàng)。

由此程序解得模型（1）最優(yōu)解為：x1＝0.1429，x2＝0.5714；對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值z(mì)＝16.0000。因此，例1的線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)決策方案是：成人每天食用食物A、B的數(shù)量分別為0.1429千克，0.5714千克；相應(yīng)的最少費(fèi)用為16元。

上述求解例1的程序是求解線性規(guī)劃問(wèn)題的通用程序，在其它具體的線性規(guī)劃模型求解時(shí)只需把各矩陣（向量）的值進(jìn)行重新輸入即可。由上述程序可知：求解線性規(guī)劃問(wèn)題的Matlab程序可讀性強(qiáng)，直觀明了，且占用空間少，此優(yōu)點(diǎn)使其更適合于求解規(guī)模較大（決策變量多或約束條件多）的線性規(guī)劃問(wèn)題；若出現(xiàn)程序錯(cuò)誤，會(huì)準(zhǔn)確顯示錯(cuò)誤的位置，利于程序錯(cuò)誤的糾正或模型錯(cuò)誤的糾正，此特點(diǎn)也更有利于其運(yùn)用于大規(guī)模線性規(guī)劃問(wèn)題的求解；在利用Matlab進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以創(chuàng)建新文件或打開(kāi)一個(gè)已存在的M文件，利用文件編輯器對(duì)文件進(jìn)行編輯和修改，在已有的M文件上進(jìn)行編輯和修改可使每次輸入的工作量大大減少，這也是利用Matlab求解線性規(guī)劃模型的突出優(yōu)勢(shì)。

（三）利用Lingo軟件解線性規(guī)劃模型

Lingo是一套專(zhuān)門(mén)求解最優(yōu)化問(wèn)題的軟件包［2］。Lingo用于求解線性規(guī)劃這一類(lèi)最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)執(zhí)行速度快；Lingo含有與其它數(shù)據(jù)文件的接口，因此在輸入、求解和分析大規(guī)模最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)較為方便；Lingo本身就是最優(yōu)化問(wèn)題的建模語(yǔ)言，軟件可以將模型建立語(yǔ)言與求解引擎整合起來(lái)闡述和求解線性規(guī)劃等最優(yōu)化模型，很多時(shí)候均是“模型即程序”，因此利用Lingo建立和求解線性規(guī)劃模型具有快捷、簡(jiǎn)單、高效等特點(diǎn)［2］。

由于Lingo本身就是線性規(guī)劃問(wèn)題等最優(yōu)化問(wèn)題的建模語(yǔ)言，因此，利用Lingo編寫(xiě)線性規(guī)劃模型仍包含目標(biāo)函數(shù)、決策變量、約束條件三個(gè)要素。例如，求解線性規(guī)劃模型（1）的Lingo程序命令（為后續(xù)比較研究，此處稱(chēng)其為L(zhǎng)ingo程序1（簡(jiǎn)易程序）如下：

在Lingo中沒(méi)有嚴(yán)格的不等號(hào)，比如“＞”仍表示大于等于。上述模型（1）的Lingo程序1的輸入是一種比較直接的輸入方式，基本上和模型的書(shū)寫(xiě)一樣。如果線性規(guī)劃模型的規(guī)模不大（決策變量較少且約束條件較少），則對(duì)應(yīng)的程序不大，這時(shí)使用程序1的輸入方式最簡(jiǎn)便、直觀。但同時(shí)，從Lingo程序1觀察可知，這種方式的程序輸入需要將每個(gè)變量列出，如果模型規(guī)模較大，對(duì)應(yīng)的程序較大，則這種方式的輸入就很麻煩，這時(shí)可利用改進(jìn)的Lingo程序即如下列所示的Lingo程序2來(lái)求解線性規(guī)劃模型（1）。程序2是采用矩陣生成器編寫(xiě)程序［3］。

由Lingo程序1、程序2均可得到線性規(guī)劃模型（1）的最優(yōu)解為：x1＝0.1429，x2＝0.5714；最優(yōu)值z(mì)＝16.0000.

Lingo程序2將不等式約束全部轉(zhuǎn)化為小于等于約束，從而可以在一個(gè)循環(huán)語(yǔ)句中實(shí)現(xiàn)。如果程序中還有等式約束，可以再引入一個(gè)循環(huán)語(yǔ)句來(lái)控制。Lingo程序2模式用來(lái)處理大規(guī)模線性規(guī)劃模型輸入特別方便且求解速度快。

三、總結(jié)與展望

求解線性規(guī)劃模型所運(yùn)用的Excel規(guī)劃求解工具、Matlab軟件、Lingo軟件等各有特點(diǎn)，適用性不同?？傮w來(lái)講：（1）Excel規(guī)劃求解工具、Lingo程序1模式表達(dá)直觀、可讀性較強(qiáng)、便于理解與應(yīng)用，求解過(guò)程操作方便、直接，適合于規(guī)模較小（決策變量個(gè)數(shù)較少且約束條件個(gè)數(shù)較少）的線性規(guī)劃模型，同時(shí)也是初學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件的讀者較易掌握的方法；（2）Matlab軟件、Lingo軟件的程序2模式含有與其它數(shù)據(jù)文件的接口，在輸入、求解和分析大規(guī)模線性規(guī)劃問(wèn)題方面較為便捷；（3）Matlab軟件、Lingo軟件在點(diǎn)擊運(yùn)行后如果輸入有錯(cuò)會(huì)彈出錯(cuò)誤提示，可根據(jù)提示對(duì)程序或模型做針對(duì)性的修改，對(duì)高效求解與模型的修正和完善非常有利；（4）Matlab軟件的安裝目前對(duì)于很多非專(zhuān)業(yè)使用人士而言有一定困難，不同Matlab版本在不同配置的計(jì)算機(jī)上的安裝操作也不同，相對(duì)Matlab軟件而言，具有免安裝版本的Lingo軟件使用更為便捷。

在生產(chǎn)、生活實(shí)際中遇到的線性規(guī)劃問(wèn)題，是否能夠找到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件高效地求解相應(yīng)的線性規(guī)劃模型從很大程度上決定了線性規(guī)劃理論是否能得到廣泛應(yīng)用。研究數(shù)學(xué)計(jì)算軟件在求解線性規(guī)劃模型中的多用與妙用，為線性規(guī)劃理論的廣泛應(yīng)用提供了便捷、高效計(jì)算的保障。在理解線性規(guī)劃等最優(yōu)化決策問(wèn)題理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，多了解各種數(shù)學(xué)計(jì)算軟件的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，可以更巧妙地運(yùn)用好數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，方便地解決生產(chǎn)、生活中的線性規(guī)劃等各種最優(yōu)決策問(wèn)題，使得數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用范圍越來(lái)越廣。

［1］黃少玲.探析Excel函數(shù)在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用［J］.電腦編程技巧與維護(hù)，2017（5）.

［2］汪曉銀，周保平，侯志敏.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第三版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2015：1，34，36.

［3］司守奎，孫璽菁.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2016：2，3.