基于快速匹配追蹤的混合域地震稀疏反演方法

李 坤, 印興耀, 宗兆云, 彪芳書

(1.中國(guó)石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島 266580;2.海洋國(guó)家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)與探測(cè)技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室,山東青島 266580)

由于地震數(shù)據(jù)頻帶特征表現(xiàn)為帶限支撐,地層反射系數(shù)稀疏性假設(shè)作為重要先驗(yàn)信息約束,可以緩解反演算法的不穩(wěn)定性和多解性。針對(duì)稀疏性先驗(yàn)約束方面,目前主要存在正則化方法和經(jīng)典貝葉斯估計(jì)框架[1-3]。貝葉斯模型先驗(yàn)概率密度信息旨在壓制弱小反射突出非弱小反射系數(shù)序列,其預(yù)測(cè)的地層彈性參數(shù)并非為絕對(duì)稀疏序列[4-8],而稀疏正則化手段則可有效獲取絕對(duì)稀疏的模型參數(shù)[2-3],稀疏反射序列突出地層邊界變化,相比連續(xù)變化預(yù)測(cè)結(jié)果具有更高的頻帶寬度和分辨能力[9]。匹配追蹤算法在地震資料處理和解釋領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,如非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)頻分解[10-15]、地震數(shù)據(jù)規(guī)則化和插值[16-19]、高分辨率反射率反演[20-22]、強(qiáng)反射屏蔽去除[23-26]、地震去噪[27]及偏移成像處理等[28-29]。Mallat等[12]采用Gabor函數(shù)構(gòu)建超完備冗余字典,率先將任意信號(hào)表示為最優(yōu)原子的線性組合。?zbek等[16]利用匹配追蹤地震信號(hào)自適應(yīng)分解的思想,提出不規(guī)則采樣地震數(shù)據(jù)的正則化和迭代插值技術(shù)。Nguyen等[9]將貪婪匹配追蹤算法引入地震高分辨率反射系數(shù)反演中,相比于常規(guī)最小二乘反演方法有更高的抗噪能力。Li等[15]結(jié)合匹配追蹤譜分解算法和疊前AVO(amplitude variation with offsets，振幅隨著偏移距變化)直接反演理論,提出了高分辨率頻變AVO(F-AVO, frequency dependent AVO)流體檢測(cè)方法。Wen等[20]將奇偶反射系數(shù)分解策略引進(jìn)貪婪匹配追蹤反射系數(shù)反演中,發(fā)展了相對(duì)縱波阻抗的塊化估計(jì)技術(shù)。然而,經(jīng)典匹配追蹤反演在每次迭代過程中僅恢復(fù)單一反射系數(shù),存在計(jì)算效率低和收斂速度慢的問題。筆者借鑒快速匹配追蹤算法的思想,提出基于多原子快速匹配追蹤的混合域地震稀疏反演方法,通過將Margrave混合域褶積[30]和縱波阻抗低頻約束相結(jié)合,構(gòu)建混合域稀疏正則化目標(biāo)泛函。

1 基于快速匹配追蹤的混合域地震反演原理

1.1 混合域地震反演原理

Margrave等[30]在考慮地震波受到地下介質(zhì)固有Q值衰減效應(yīng)時(shí),推導(dǎo)了平穩(wěn)地震褶積模型的時(shí)間域、頻率域以及混合域等表達(dá)形式。為了更好地約束地震反演中待反演模型參數(shù)且獲得高分辨率反演結(jié)果[1,9,31],本文中采用平穩(wěn)地震混合域褶積模型作為正演方程:

(1)

式中,f為頻率;S(f)為實(shí)際地震頻譜響應(yīng);W(f)表示地震子波的頻率域形式;r(t)為地層界面時(shí)間域反射系數(shù);No(f)為隨機(jī)噪聲頻譜。將式(1)中地震頻譜S(f)和反射系數(shù)r(τ)的關(guān)系利用映射核矩陣表示:

(2)

式中,fk為選取的部分頻率成分;S為輸入地震頻譜;W為地震子波頻譜。式(1)中待反演模型參數(shù)(映射前向量)R和傅里葉算子C可表示為

(3)

式中,r(τM)為地下介質(zhì)M個(gè)反射系數(shù)。聯(lián)合式(2)和式(3)且令映射核矩陣G=WC,則式(1)中平穩(wěn)褶積混合域表達(dá)式可表示為

S=GR+No.

(4)

式中,No為地震隨機(jī)噪音向量。由于方程(4)為混合域復(fù)數(shù)方程組,將其展開為實(shí)部和虛部形式:

(5)

(6)

利用L2范數(shù)描述理論數(shù)據(jù)FR與實(shí)際數(shù)據(jù)Y之間的擬合程度,則最小二乘目標(biāo)泛函Js(R)可表述為

(7)

式(7)旨在利用地震數(shù)據(jù)部分頻譜分量對(duì)地下介質(zhì)模型參數(shù)信息進(jìn)行模擬,然而由于地震激發(fā)、采集和接收系統(tǒng)的限制,帶限特征是實(shí)際地震資料固有的缺陷,因此直接根據(jù)式(7)開展地震反演解釋將會(huì)存在較強(qiáng)的不穩(wěn)定性和不可靠性。

1.2 相對(duì)縱波阻抗模型約束

為了提高混合頻率域地震反演方法的穩(wěn)定性和可靠性,綜合利用相對(duì)縱波阻抗低頻模型約束方法。低頻模型約束ζ往往通過實(shí)際測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)或地質(zhì)先驗(yàn)信息構(gòu)建。常規(guī)的地震反演約束算法可以利用L2范數(shù)來衡量:

(8)

其中

1.3 快速多原子匹配追蹤算法

貪婪匹配追蹤算法是依據(jù)全局最優(yōu)搜索方式,首先建立在過完備原子庫F構(gòu)建的基礎(chǔ)上,并在過完備原子庫中通過逐次迭代策略尋找最優(yōu)匹配原子,最終將非平穩(wěn)地震信號(hào)Y表征為所匹配原子ωi的線性組合形式:

(9)

式中,Y為地震反射道集;ωi為匹配分解的原子;n為原始地震所包含的噪聲;F為完備原子字典;ai為匹配原子相應(yīng)振幅值?？焖倨ヅ渌惴▌t是利用一種批量篩選原子的策略,首先需要設(shè)定每一次匹配過程的硬迭代閾值ε,滿足迭代閾值的內(nèi)積原子將被列為候選匹配集合,具體表述為

|ci|≥α|εmax|,ci=〈ωi,Rs〉.

(10)

式中,ci為第i個(gè)原子與上次迭代殘差的內(nèi)積值;Rs為迭代殘差向量;εmax為每次迭代內(nèi)積向量中的絕對(duì)值最大值;α為迭代硬閾值,一般情況下0?α≤1。假設(shè)地震信號(hào)經(jīng)過N次迭代后,利用所匹配的M(M>N)個(gè)原子形成原子矩陣JN=[ω1,ω2,…,ωM]。然后,通過阻尼最小二乘算法逐次修正匹配原子振幅值,即

aN=[(JN)T(JN)+σ2I]-1(JN)TY.

(11)

式中,aN為第N次迭代修正后的振幅值;IM×M為單位矩陣;σ2為阻尼因子。假設(shè)YN為第N次迭代殘差,可表示為

YN=Y-JNaN.

(12)

因此第N+1次迭代過程將會(huì)在剩余原子字典FN中進(jìn)行,其更新的內(nèi)機(jī)空間IPN可以表述為

IPN=〈YN,ωi〉,ωi∈FN.

(13)

經(jīng)過第N+1次內(nèi)積空間的搜索得到新的映射原子矩陣FN+1,且其下一步原子振幅aN+1的更新過程為

aN+1=[(FN+1)T(FN+1)+σ2I]-1(FN+1)TY.

(14)

稀疏反射系數(shù)地震反演是在常規(guī)反演方法的基礎(chǔ)上,加入模型參數(shù)的稀疏性約束度量。匹配追蹤稀疏反演方法主要是通過控制反射系數(shù)數(shù)量、迭代次數(shù)以及迭代閾值,經(jīng)過有限步迭代搜索即可得到最優(yōu)解。將式(7)、(8)和快速匹配追蹤尋優(yōu)算法聯(lián)合起來,最終稀疏目標(biāo)泛函為

(15)

式中,K為迭代次數(shù);e為硬迭代閾值。值得注意的是,K和e值的設(shè)定會(huì)影響反射系數(shù)反演的稀疏程度,實(shí)際處理過程中K的設(shè)定值可通過地質(zhì)分層先驗(yàn)和測(cè)井曲線獲得。當(dāng)?shù)卣鹳Y料的信噪比較高時(shí),K值的設(shè)定偏大,且e值的設(shè)定偏小,相應(yīng)反演結(jié)果的地層分辨率提高。然而當(dāng)?shù)卣鹳Y料的信噪比降低時(shí),需要降低K值和升高e值。

通過求解式(15)得到相對(duì)反射系數(shù)值,地層的絕對(duì)波阻抗數(shù)值Ip(t)可以通過下面積分方程獲得:

(16)

詳細(xì)快速匹配追蹤稀疏反演算法流程(圖1)如下：

(1)選擇信噪比較高的頻率成分構(gòu)建頻率域核矩陣。

(2)輸入有效頻率成分構(gòu)建的地震數(shù)據(jù)頻譜S。

(3)構(gòu)建相對(duì)縱波阻抗模型約束核矩陣。

(4)重新構(gòu)建基于匹配追蹤稀疏約束目標(biāo)泛函。

(5)求解快速匹配反問題目標(biāo)泛函及預(yù)設(shè)匹配參數(shù)設(shè)置。

(6)計(jì)算內(nèi)積空間,確定滿足迭代條件的第N次匹配原子數(shù)量和位置。

(7)建立所有匹配原子組成的核矩陣,利用阻尼最小二乘確定匹配原子振幅值。

(8)求取第N+1次迭代殘差,構(gòu)建剩余原子字典與更新內(nèi)機(jī)空間。

(9)控制反射系數(shù)數(shù)量、迭代次數(shù)或迭代閾值,滿足條件之一,結(jié)束迭代。

2 數(shù)據(jù)測(cè)試

2.1 一維模型試算

為了驗(yàn)證基于快速匹配追蹤算法的稀疏反射系數(shù)反演方法的有效性,開展了1-D理論模型測(cè)試,采用30 Hz零相位Ricker子波(采樣間隔1 ms)合成地震數(shù)據(jù),如圖2中黑線所示。

圖2 快速匹配追蹤頻率域反演過程分析Fig.2 Analysis of frequency-domain inversion process with fast matching pursuit algorithm

圖2(a)～(d)分別展示了第1次、2次、4次及6次迭代的反演結(jié)果。圖中可見,理論模型中共包含21個(gè)反射系數(shù),逐次迭代修正的反射系數(shù)個(gè)數(shù)超過1個(gè),匹配的反射系數(shù)總個(gè)數(shù)依次為2、3、9及15。由于初始低頻模型在反演過程中相比優(yōu)勢(shì)頻帶所占的比重較小,第1次迭代過程并未匹配出低頻趨勢(shì),第2次迭代過程的低頻成分得到了部分補(bǔ)償,第4次迭代后低頻成分得到了較好的補(bǔ)償,第6次迭代后的稀疏反射系數(shù)基本得到恢復(fù)。圖3(a)、(b)展示了逐次匹配迭代過程中地震與反射系數(shù)頻譜的動(dòng)態(tài)搜索過程。圖3(c) 、(d)展示了地震和反射系數(shù)頻譜的收斂曲線,容易看出,本文中頻率域反演算法的收斂速度明顯高于常規(guī)經(jīng)典頻率域匹配算法。

為了驗(yàn)證反演算法的抗噪能力,分析地震數(shù)據(jù)含不同程度噪聲時(shí)的縱波阻抗恢復(fù)情況。圖4(a)～(d)分別為無噪聲、信噪比RSN=5、RSN=2及RSN=1情況下的縱波阻抗反演結(jié)果(其中黑線為理論含隨機(jī)噪聲地震數(shù)據(jù),紅色虛線為利用反演結(jié)果合成的地震數(shù)據(jù))。圖中可見,經(jīng)過9次匹配搜索過程即可完成21個(gè)反射系數(shù)的有效恢復(fù)。無噪聲情況下的反演結(jié)果基本和理論模型吻合,即使當(dāng)?shù)卣饠?shù)據(jù)受到強(qiáng)噪聲干擾的時(shí)候(RSN=1),匹配追蹤稀疏反演同樣可以恢復(fù)出較可靠的縱波阻抗數(shù)據(jù)。

由于匹配追蹤稀疏反演是建立在地層模型塊化假設(shè)的基礎(chǔ)上展開,因此本文中利用實(shí)際測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)建立漸變地層模型驗(yàn)證該方法的普適性。如圖5所示為漸變地層模型在含不同噪聲情況的快速匹配反演及擬合誤差分析,無噪聲情況下迭代次數(shù)為32次,然而隨著含噪聲程度的不斷增加應(yīng)逐漸減小迭代次數(shù)以及迭代閾值,以此來降低弱小高頻噪聲干擾對(duì)反演過程的影響,該預(yù)測(cè)結(jié)果與漸變地層理論模型吻合較好。

圖3 無噪聲情況下地震與反射系數(shù)頻譜動(dòng)態(tài)匹配搜索過程分析Fig.3 Analysis of dynamic matching pursuit process for seismic and reflection spectrum without noise pollution

圖4 塊化地層模型不同噪聲情況下反演結(jié)果及擬合誤差Fig.4 Inversion results and fitting errors under the condition of different noise levels by blocky model

圖5 漸變地層模型不同噪聲情況下反演結(jié)果及擬合誤差Fig.5 Inversion results and fitting errors under the condition of different noise levels by continuous model

2.2 二維模型試算

針對(duì)理論Overthrust逆掩斷層模型(圖6(a))展開了反演算法的測(cè)試,該模型共包含641道,采用30 Hz零相位雷克子波合成地震記錄,縱向時(shí)間長(zhǎng)度為720 ms,如圖6(b)所示,其中藍(lán)線為CDP100和CDP480位置處的理論縱波阻抗曲線。圖6(c)、(d)為無噪聲情況反射系數(shù)和縱波阻抗的反演結(jié)果,其中紅色虛線為CDP100和CDP480處的反演結(jié)果。對(duì)比理論模型,可以看出無噪聲情況下反演結(jié)果的預(yù)測(cè)精度較高,即使在河道砂(黑色橢圓)位置的反演結(jié)果同樣保持較高的吻合度。

圖6(e)、(f)為含10%隨機(jī)噪聲情況下的反演結(jié)果。由圖可見,反演結(jié)果受到一定程度的噪音污染,但是整體上仍然保持著與理論模型較高的一致性,微弱異常體同樣可以得到較好的預(yù)測(cè)。通過Overthrust逆掩斷層模型的理論測(cè)試更有力地說明了該方法在地下介質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜的情況下,同樣可以保證較高的地層分辨率。

圖6 Overthrust逆掩模型不同噪聲情況下反演結(jié)果Fig.6 Inversion results of overthrust model under different noise levels with fast matching pursuit algorithm

3 實(shí)際資料處理

為更進(jìn)一步驗(yàn)證快速匹配追蹤頻率域稀疏反射系數(shù)反演的實(shí)用性,從中國(guó)某東部F探區(qū)的勘探實(shí)例中抽取一條測(cè)線,如圖7(a)所示為疊后地震剖面,其中A井位置處為該井的實(shí)測(cè)縱波阻抗變密度顯示。為了得到更加可靠的地下模型參數(shù)信息,首先需要結(jié)合測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)建立初始低頻模型,如圖7(b)所示為利用測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)建立的低頻模型,由于測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)有效頻帶范圍與地震數(shù)據(jù)的頻帶存在較大的差異,因此測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)中包含的高頻成分不應(yīng)該包含在基于地震數(shù)據(jù)的模型參數(shù)反演過程中。

為了說明本方法與常規(guī)地震反演在可靠性與分辨率方面存在的差異,如圖7(c)為常規(guī)貝葉斯時(shí)間域地震反演結(jié)果,圖7(d)為本文快速匹配追蹤頻率域反演得到的高分辨率反射系數(shù)剖面,利用道積分得到縱波阻抗剖面如圖7(e)所示。圖中可見,雖然本方法是逐道進(jìn)行反射系數(shù)反演的,但反演結(jié)果仍然保持著較高的橫向連續(xù)性。值得一提的是,對(duì)比常規(guī)時(shí)間域阻抗反演方法和快速匹配追蹤頻率域稀疏反演的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),快速匹配追蹤頻率域反演在地層分辨率方面要優(yōu)于常規(guī)時(shí)間域地震反演方法,如圖中橢圓和矩形框區(qū)域所示,且本方法的塊化地層剖面相比連續(xù)變化地層剖面更加有利于地層的劃分。反演剖面中顯示的為A井實(shí)測(cè)縱波阻抗的變密度顯示方式,容易看出,反演結(jié)果與測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)保持著較高的一致性,進(jìn)一步說明該方法具有較高的反演可靠性。

圖7 利用不同地震反演方法實(shí)現(xiàn)的縱波阻抗預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.7 Estimated impedance results in one field case with different inversion methods

4 結(jié) 論

(1)混合頻率域褶積算子相比時(shí)間域算子具有頻率選擇自由的優(yōu)點(diǎn),有助于利用高信噪比的頻率成分提高反演的抗噪能力。

(2)相對(duì)縱波阻抗低頻約束可以較好地解決部分頻譜目標(biāo)泛函收斂性和穩(wěn)定性問題,進(jìn)而有效縮小模型參數(shù)最優(yōu)空間。

(3)多原子快速匹配追蹤算法可以提高收斂速度,改善經(jīng)典匹配追蹤反演存在的計(jì)算效率低問題。

(4)多原子逐次匹配搜索比單原子搜索具有更高的收斂精度,避免單原子搜索容易陷入局部極值的問題。

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