功能梯度材料Timoshenko型剪切梁的自由振動(dòng)分析

，，，

(1.中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051； 2.同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

1 引 言

功能梯度材料作為一種材料設(shè)計(jì)的概念是日本材料學(xué)家新野正之(Mayuhi NINO)、平井敏雄(Toshio HIRA)和渡邊龍三(Ryuzo WATANBE)等在1987年首先提出來(lái)的[1]，主要思想是在材料的制備過(guò)程中，連續(xù)地控制陶瓷和金屬的體積含量分布，使宏觀材料特性在空間位置上按特定梯度函數(shù)連續(xù)變化，材料內(nèi)部不存在明顯的性能分界面，以達(dá)到優(yōu)化在高溫使用環(huán)境下材料內(nèi)部熱應(yīng)力分布及最大限度合理使用材料性能的目的。隨著功能梯度材料的研究和開(kāi)發(fā)，其結(jié)構(gòu)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)械工程、核能工程、土木工程等諸多學(xué)科及工程領(lǐng)域。

梁、板、殼是功能梯度材料構(gòu)成結(jié)構(gòu)的幾種常見(jiàn)形式，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者已逐漸將其力學(xué)性能作為一個(gè)重要研究方向[2]。Zhong 和Yu[3]采用應(yīng)力函數(shù)法獲得了功能梯度懸臂梁彎曲問(wèn)題解析解。Ding等[4]分析了不同邊界條件下各向異性功能梯度梁彎曲問(wèn)題的彈性解。Nie等[5]采用位移函數(shù)法獲得了具有任意梯度材料特性的功能梯度梁的解析解。Li等[6]根據(jù)歐拉-伯努利梁與Timoshenko梁控制方程之間數(shù)學(xué)相似性和荷載等效性，推導(dǎo)了功能梯度材料Timoshenko梁彎曲問(wèn)題的彈性解。Tang等[7]假設(shè)材料彈性常數(shù)和密度沿厚度方向呈指數(shù)梯度變化，研究了功能梯度Timoshenko梁自由振動(dòng)問(wèn)題。陳熹，薛春霞[8]分析了電壓激勵(lì)下四邊簡(jiǎn)支壓電層合板的振動(dòng)問(wèn)題。熊玲華等[9]利用攝動(dòng)微分求積法研究復(fù)合材料層合板非線性振動(dòng)。張國(guó)兵等[10]對(duì)熱壓燒結(jié)SiC/C功能梯度材料微觀結(jié)構(gòu)及熱震性能進(jìn)行了研究。吳曉和羅佑新[11]采用Timoshenko梁修正理論研究了功能梯度材料梁的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。Adamek等[12]假設(shè)材料彈性常數(shù)和密度沿著厚度方向變化，獲得了簡(jiǎn)支功能梯度材料梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析解。但關(guān)于彈性模量按照任意梯度函數(shù)分布的各向異性功能梯度Timoshenko型剪切梁自由振動(dòng)的研究還未見(jiàn)報(bào)道。

本文推導(dǎo)出兩端簡(jiǎn)支的功能梯度材料Timoshenko型剪切梁自由振動(dòng)的特征方程，假設(shè)材料常數(shù)沿梁厚度方向呈同一函數(shù)梯度變化，求得梁自由振動(dòng)的固有頻率。給出算例，討論了不同的梯度變化對(duì)材料結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響。

2 問(wèn)題描述與基本方程

考慮如圖1所示的功能梯度梁，邊界條件為兩端簡(jiǎn)支，截面長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為b，高度為h。

圖1 功能梯度Timoshenko型剪切梁示意圖Fig.1 Schematic of functionally graded Timoshenko shear beam

由Timoshenko梁理論[13]，其位移方程為：

(1)

式中：U、V、W分別是x軸、y軸和z軸方向的位移函數(shù)；φ(x)和ψ(x)分別是考慮橫截面不垂直于軸線后，繞z軸和y軸所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；u、v、w分別是軸線上某一點(diǎn)的位移。

幾何方程為：

(2)

這里近似地忽略應(yīng)力分量σy、σz和τyz的影響，而只考慮σx、τzx和τxy，于是廣義虎克定律可寫(xiě)成：

(3)

式中，aij為彈性材料的柔度系數(shù)。由于功能梯度材料的材料常數(shù)在梁厚度方向上連續(xù)變化，因此柔度系數(shù)是坐標(biāo)y的連續(xù)函數(shù)，假設(shè)上述材料常數(shù)沿梁厚度方向按同一梯度函數(shù)變化：

(4)

將式(2)代入式(3)中，然后對(duì)等式兩邊在功能梯度梁橫截面區(qū)域上進(jìn)行曲面雙重積分；分別在等式兩邊同時(shí)乘以y，然后再進(jìn)行曲面雙重積分，則得到下列方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

由(5)～(7)式可以得到：

(9)

(10)

(11)

(12)

假定剪應(yīng)力τxz和τxy的分布是關(guān)于y、z軸對(duì)稱的，則由(8)、(9)式可得：

(13)

梁運(yùn)動(dòng)的基本方程：

(14)

(15)

將式(12)、(13)代入基本方程式(14)、(15)中，可得功能梯度材料Timoshenko型剪切梁彎曲微分方程組式(16)、(17)：

(16)

(17)

式中的系數(shù)c綜合表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量效應(yīng)。如果忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可取c=0，而考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則取c=1。

3 梁的自由振動(dòng)

令：

v(x,t)=Y(ξ)eiwt

(18)

φ(x,t)=φ(ξ)eiwt

(19)

式中：ξ為梁的無(wú)量綱坐標(biāo)，即

(20)

將式(18)、(19)代入式(16)、(17)中，在外荷載qy=0的情況下，并取c=1，消去eiwt，可以得到：

(21)

(22)

式中：

(23)

(24)

(25)

Y(ξ)=C1Ch(bαξ)+C2Sh(bαξ)+

C3Cos(bβξ)+C4Sin(bβξ)

(26)

(27)

式中，

(28)

Y(ξ)=C1Cos(bα′ξ)+C2Sin(bα′ξ)+

C3Cos(bβ′ξ)+C4Sin(bβ′ξ)

(29)

(30)

式中：

(31)

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的邊界條件：

當(dāng)x=0,L時(shí)：

v=0

(32)

當(dāng)x=0,L時(shí)：

(33)

求得特征方程為：

Sin(bβ)=0

(34)

4 算例分析

功能梯度簡(jiǎn)支梁(l=1m，h=0.2m，b=1m)的自由振動(dòng)，假定梯度變化函數(shù)為：

F(y)=eky/h

(35)

其中：k代表材料的梯度變化指數(shù)，在這里分別取k為-3、-1、0、1、3。在y=0處的材料常數(shù)為石墨/環(huán)氧(T)型材料的相應(yīng)數(shù)據(jù)為[14]：

假定功能梯度材料的密度是常數(shù)。

圖2給出了梁前五階固有頻率隨梯度變化指數(shù)k的變化情況，從中可以看到，梁的各階自振頻率是關(guān)于k=0時(shí)對(duì)稱的，即當(dāng)k=±1,k=±3時(shí)，頻率分別互相相等，則梯度函數(shù)按照指數(shù)形式變化時(shí)，可只考慮梯度指標(biāo)k的絕對(duì)值的大小，所得到的梁的動(dòng)力特性是相同的。橫向比較各階頻率在不同k值時(shí)的變化趨勢(shì)，隨著k絕對(duì)值的增大，各階頻率有加速增高的現(xiàn)象出現(xiàn)，說(shuō)明功能梯度梁的動(dòng)力特性對(duì)高梯度變化指數(shù)更為敏感，在較高梯度變化指數(shù)分布下，梁有加速變“剛”的趨勢(shì)。圖3～圖7為k=-1時(shí)梁的前五階模態(tài)圖，圖中包含了梁振動(dòng)時(shí)所有的廣義位移分量。

圖2 梁自振頻率隨梯度變化指數(shù)k的變化Fig.2 Variations in the natural frequencies of the beam with the gradient index k

圖3 第一階模態(tài)圖Fig.3 First order mode of the beam

圖4 第二階模態(tài)圖Fig.4 Second order mode of the beam

圖5 第三階模態(tài)圖Fig.5 Third order mode of the beam

圖6 第四階模態(tài)圖Fig.6 Fourth order mode of the beam

圖7 第五階模態(tài)圖Fig.7 Fifth order mode of the beam

綜上可看出，不同的梯度變化可大大改變功能梯度材料結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，因此可根據(jù)不同的荷載及環(huán)境使用情況，精心設(shè)計(jì)功能梯度函數(shù)變化形式，從而最大限度、最合理地利用材料性能，體現(xiàn)了功能梯度材料相比均質(zhì)材料的卓越性能優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié) 論

本文基于一階剪切理論，假設(shè)彈性模量沿梁厚度方向按同一函數(shù)分布，給出各向異性功能梯度Timoshenko型剪切梁的自由振動(dòng)特征方程，得到了兩端簡(jiǎn)支Timoshenko梁自由振動(dòng)的固有頻率，所得到的解對(duì)于任意梯度函數(shù)都成立。通過(guò)算例分析，給出彈性模量按指數(shù)函數(shù)梯度變化Timoshenko梁的自由振動(dòng)頻率和模態(tài)圖，結(jié)果表明，材料的梯度指標(biāo)對(duì)于梁的動(dòng)力響應(yīng)有很大的影響，對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義。

[ 1] M.Niino,T. Hirai, R. Watanabe. Functionally Gradient Materials as Thermal Barrier for space Plane[J]. Jpn. Soc. Comp. Mater., 1987, 2 (2): 257～264.

[ 2] 徐 華,李世榮. 一階剪切理論下功能梯度梁與均勻梁靜態(tài)解之間的相似關(guān)系[J].工程力學(xué),2012,29(4):161～167.

[ 3] Z. Zhong, T. Yu. Analytical Solution of Cantilever Functionally Graded Beam[J]. Compos. Sci. Technol, 2007, 67: 481～488.

[ 4] H.-J. Ding, D.-J. Huang, W.-Q. Chen, Elastic Solution for Plane Anisotropic Functionally Graded Beams[J], Int. J. Solids Struct., 2007, 44: 176～196.

[ 5] Nie, G.J., Zhong, Z., Chen, S.P. Analytical Solution for a Functionally Graded Beam with Arbitrary Graded Material Properties[J]. Compos. Part B-Eng., 2013, 44:274～282.

[ 6] Shi-Rong Li, Da-Fu Cao, Ze-Qing Wan. Bending Solutions of FGM Timoshenko Beams from Those of the Homogenous Euler-Bernoulli Beams[J]. Applied Mathematical Modelling, 2013, 37: 7077～7085.

[ 7] A.-Y. Tang, J.-X. Wu, X.-F. Li, K.Y. Lee. Exact Frequency Equations of Free Vibration of Exponentially Non-uniform Functionally Graded Timoshenko Beams[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 89: 1～11.

[ 8] 陳熹，薛春霞. 電壓激勵(lì)下四邊簡(jiǎn)支壓電層合板的振動(dòng)分析[J]. 材料科學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2015, 33(5): 759～765.

[ 9] 熊玲華,彭建設(shè),王璠.攝動(dòng)微分求積法解復(fù)合材料層合板非線性振動(dòng)[J]. 材料科學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2010, 28(6): 852～856.

[10] 張國(guó)兵,郭全貴,等.熱壓燒結(jié)Sic/C功能梯度材料微觀結(jié)構(gòu)及熱震性能研究[J]. 材料科學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2007, 25(1): 9～13.

[11] 吳曉,羅佑新.用Timoshenko梁修正理論研究功能梯度材料梁的動(dòng)力響應(yīng)[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2011, 30 (10): 245～248.

[12] V. Adamek, F. Vales. Analytical Solution for a Heterogeneous Timoshenko Beam Subjected to an Arbitrary Dynamic Transverse Load[J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2015, 49: 373～381.

[13] Timoshenko S. Gere J. Mechanics[M]. Nostrand: Reinhold Company, 1972.

[14] 沈觀林. 復(fù)合材料力學(xué)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1996.