一類非自治具有垂直和接觸傳染的傳染病模型正周期解

鄭 航，許淑嫻，蘭 玲

（1.武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300;2.武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 武夷山 354300）

近年來(lái)，傳染病模型是生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一目前已有許多工作關(guān)于傳染病模型[1-5].而傳染可分為垂直傳染和接觸 （水平）傳染，Michael、Fine、Busenberg和Cook[6-9]等研究了垂直傳染流行病模型，分析了其模型的穩(wěn)定性等動(dòng)力學(xué)行為.之后，孟新柱和陳蘭蓀[10]，劉開(kāi)源等[11]都提出在垂直傳染模型中考慮脈沖和時(shí)滯因素，更加符合實(shí)際情況.另一方面，韓麗濤[12]討論了兩種群相互競(jìng)爭(zhēng)的SIRS傳染病模型的穩(wěn)定性.付景超等[13]研究了具垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種的SIRS傳染病模型，并分析了其穩(wěn)定性.傅金波和陳蘭蓀[14]提出一類垂直傳染和接觸傳染的傳染病模型，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)來(lái)研究模型的全局穩(wěn)定性條件.然而在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，很多因素是隨時(shí)間發(fā)生周期性的變化，模型的系數(shù)應(yīng)該是隨時(shí)間變化的.因此有必要研究非自治情況，但目前非自治傳染病模型的正周期解研究較少.夏米西努爾和騰志東[15]研究了一類非自治SIRS傳染病模型的持久性，韓怡茹和吳事良[16]構(gòu)造Lyapunov函數(shù)得出一類非自治SIRS傳染病模型的全局穩(wěn)定性，并應(yīng)用比較原理獲得模型的持久性的充分條件.陳文斌[17]應(yīng)用重合度理論討論了一類具有時(shí)滯的非自治SIR傳染病模型周期解存在性的充分條件.因此受傅[14]和陳[17]的啟發(fā)，本文考慮參考文[14]中的模型，將其改進(jìn)為非自治新系統(tǒng)，研究一類非自治具有垂直和接觸傳染的傳染病模型，模型如下：

其中 N（t）為 t時(shí)刻生物種群的總數(shù)，I（t）表示為 t時(shí)刻該種群的染病類.其他參數(shù)的生物學(xué)意義見(jiàn)表1.

表1 參數(shù)表Table 1 Parameters

并假設(shè)所有參數(shù)均為具有w＞0周期的正數(shù)，且初值 N（0）＞0，I（0）＞0.

1 正周期解

本文應(yīng)用重合度理論中的Mawhin連續(xù)定理來(lái)證明系統(tǒng)（1）周期解的存在性。并記一個(gè)連續(xù)周期函數(shù)f（x）周期為 w，引入下列記號(hào)：

引理1.1（Mawhin連續(xù)定理[17]）：設(shè)?X是一個(gè)有界開(kāi)集，L：Dom L?X→Y是一個(gè)指標(biāo)為零的Fred-holm算子，N：X→Z為上的L-緊的，假設(shè)：

（A1）對(duì)?λ∈（0，1），Lx=λNx 的任意解滿足 x??Ω；

（A2） 對(duì)?x∈Ω∩ker L，QNx≠0，且 deg｛JQN,Ω∩ker L｝≠0；

定理1.2如果系統(tǒng)（1）滿足以下三個(gè)條件：

則系統(tǒng)（1）至少存在一個(gè)周期解.

記：

則容易證得X和Y都是Banach空間.

又定義 L：Dom l?X→Y

N：X→Z，進(jìn)而得：

又令

則有

故lm L是Y中的閉子集，又由于dim ker L=codim lm L=2＜+∞，故L是指標(biāo)為零的Fred-holm算子，定義連續(xù)投影算子P,Q且滿足：lm P=ker L，lm L=ker Q=lm（I-Q），因此 L 存在逆映射 Kp：lm L→Dom L∩ker P，具體為：

從而得：

由Lebesgue收斂定理，易知QN與Kp（1-Q）N是連續(xù)的.再根據(jù)Arzela-Ascoli定理，對(duì)于X中的任意有界開(kāi)集 Ω，QN（）和 Kp（1-Q）N（）是相對(duì)緊的.故N為的L-緊算子.對(duì)應(yīng)的算子方程Lx=Nx，λ∈（0，1）有：

對(duì)（3）系統(tǒng)兩邊在[0，w]上積分得：

因此由（4），（5）得：

由（5）第一個(gè)方程和（7）得：

故有

再由（6），所以

同理，由（5）第一個(gè)方程和（8）得：

進(jìn)而得

不同濃度 L-阿拉伯糖對(duì)秀麗隱桿線蟲(chóng)子代數(shù)目的影響結(jié)果如圖 3所示，當(dāng) L-阿拉伯糖濃度為 2.5 mmol/L時(shí)，子代數(shù)目最多，相對(duì)于對(duì)照組增加了1.43%；但隨著 L-阿拉伯糖濃度的增加，秀麗隱桿線蟲(chóng)的子代數(shù)目沒(méi)有顯著性的增加或減少（p＜0.05，p＜0.01），維持在一個(gè)較為穩(wěn)定的水平，表明在現(xiàn)有濃度作用下，L-阿拉伯糖對(duì)秀麗隱桿線蟲(chóng)子代數(shù)目無(wú)顯著影響。

又根據(jù)（6），因此

另一方面，由（5）第二個(gè)方程和（8）得：

故有

又由（6），因此

由（5）第二個(gè)方程，（7）、（8）得：

進(jìn)而得

因此，再由（6）得

綜上，由式（9）～（12）得

顯然，K1，K2取值與 λ 無(wú)關(guān)，令,K=K1+K2+K3其中 K3＞0.

為驗(yàn)證滿足引理1.1中（A2）條件，構(gòu)造代數(shù)方程：易得（13）有唯一正解（N*,I*）∈R2.當(dāng)?Ω∩ker L=?Ω∩R2時(shí)，是R2的一個(gè)常值向量，且，則

綜上，J取為同構(gòu)映射，故可直接計(jì)算得

因此Ω滿足引理1.1條件（A2）.故Lx=Nx在Dom L∩上至少存在一個(gè)解，從而系統(tǒng)（1）至少存在一個(gè)周期解，定理1.2證畢.

2 數(shù)值模擬

考慮如下非自治系統(tǒng)：

其中，r（t）=20+sin2t，d（t）=2+cos2t，k（t）=2，μ（t）=3+cos2t，p（t）=0.58，β（t）=13-sin2t.由于，顯然滿足定理 1.2的（B1）-（B3）條件，系統(tǒng)（14）至少存在一個(gè)周期解，并用matlab數(shù)值仿真，結(jié)果見(jiàn)圖1.

圖1 周期解圖（初值）Figure 1 Periodic Solution（Initial Value）