4維Novikov代數(shù)的自同構(gòu)

黃忠銑

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300）

Novikov代數(shù)[1]是流體動(dòng)力學(xué)的Poisson括號(hào)，Yang-Baxter方程算子及李群的左不變仿射結(jié)構(gòu)等相關(guān)聯(lián).這種比較新的代數(shù)結(jié)構(gòu),其與眾不同的特征是其左乘算子形成一個(gè)李代數(shù),右乘算子是交換的.Novikov代數(shù)與李代數(shù)在數(shù)學(xué)和物理的許多分支有眾多的應(yīng)用.發(fā)展至今Novikov代數(shù)已獲得了很多重要的成果.Zelmanov[2]指出特征0單有限維Novikov代數(shù)是一維的.徐曉平[3-4]確定了特征代數(shù)閉域上單Novikov代數(shù)的分類.白承銘等人給出了復(fù)數(shù)域上的一維和二維Novikov代數(shù)，以及相應(yīng)自同構(gòu)[5-6].Dietrich Burde和Willem de Graaf[7]指出了復(fù)數(shù)域上的三維和四維Novikov代數(shù)的分類.

本文討論四維Novikov代數(shù)的自同構(gòu).取定一組特定的基，利用每一類四維的Novikov代數(shù)在此基下的特征矩陣，由Novikov代數(shù)的自同構(gòu)的定義，通過計(jì)算確定這類Novikov代數(shù)的自同構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式,以表格的形式給出所有的四維Novikov代數(shù)的自同構(gòu).并由此討論幾何經(jīng)典-矩陣和某些相空間.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)A是數(shù)域F上的向量空間，A上的雙線性乘積（x，y）→xy

則稱A為Novikov代數(shù).如果A中的乘法只滿足方程（1），則稱 A為左對(duì)稱代數(shù).

定義2[6]設(shè)φ∈End（A）,若φ成立

則稱φ為A上的自同構(gòu).

一個(gè)Novikov代數(shù)（或一個(gè)左對(duì)稱代數(shù)）A的交換子

定義了一個(gè)次伴隨李代數(shù) （sub-adjacent Lie algebra）G=G（A）.令 Lx=xy，Rx=yx，?x，y∈A，則左乘算子構(gòu)成一李代數(shù)，右乘算子可交換.

2 4維Novikov代數(shù)的自同構(gòu)

設(shè)A是以e1,e2,e3,e4為基的4維Novikov代數(shù)，稱矩陣

為A的特征矩陣.

應(yīng)用文獻(xiàn)[7]對(duì)4維Novikov代數(shù)的分類，可計(jì)算自同構(gòu)如下.

表1 4維Novikov代數(shù)的自同構(gòu)Table 1 Automorphism of the 4-dimensional Novikov algebra

續(xù)表1

續(xù)表2

續(xù)表3

續(xù)表4

定理14維Novikov代數(shù)的自同構(gòu)見表1.

設(shè)自同構(gòu)φ在基e1,e2,e3,e4下的矩陣為

由自同構(gòu)的定義，首先由 φ（e1e2）=（?+1）φ（e3），可得

由 φ（e2e2）=φ（e1），有

利用已得a21=a23=a41=a43=0，類似上面的過程可得

由（11）式減（8）式有 a22a13=0；由 （12）式減（15）式有a24a13=0；若 a13≠0，則 a22=a24=0，故該方陣的行列式為0，這與φ為自同構(gòu)矛盾.所以a13=0,由 （17）有a24=0.從而 a21=a23=a24=0，所以 a22≠0.同理 a33≠0，由（16）a244=a33，故 a44≠0.由 （14）式減（9）式有 a14a22=0,得 a14=0，代入 （9）有 a42a44=0,得 a42=0,由（4）及 （7）有 a33=a11a22.由 （5）得 a31=（2?+1）a12a22.因此自同構(gòu) φ 在基 e1,e2,e3,e4下的矩陣為

推論14維Novikov代數(shù)的自同構(gòu)群的維數(shù)是大于0的有限數(shù).

3 對(duì)應(yīng)的幾何經(jīng)典-矩陣和相空間的等價(jià)

Novikov代數(shù)具有眾多非結(jié)合代數(shù)所具有的普遍性質(zhì).任一Novikov代數(shù)的自同構(gòu)也是其次-伴隨李代數(shù)的自同構(gòu).Novikov代數(shù)的自同構(gòu)集合構(gòu)成一個(gè)李群，其李代數(shù)恰是Novikov代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù).

設(shè)G是李代數(shù)，令r∈G⊕G，r是G上經(jīng)典Yang-Baxter方程的解當(dāng)且僅當(dāng)r在U（G）滿足下式

且在C[X×X]上滿足幺正條件r+r21=0，則稱r是幾何經(jīng)典r-矩陣[9].

另外，相空間[10]T*G滿足如下條件：（1）T*G=G⊕G*，其中⊕表示向量空間的直和，G*是G的對(duì)偶空間；（2）T*G是滿足如下定義的辛形式的李代數(shù)

該辛形式是T*G上的一個(gè)2-循環(huán)，即

其中CP表示循環(huán)置換.

幾何經(jīng)典r-矩陣與相空間之間的關(guān)系有如下性質(zhì).

引理[6]令G是李代數(shù)，則如下條件等價(jià).

（1）有一個(gè)左對(duì)稱代數(shù)結(jié)構(gòu);

[u1+u1*，u2+u2*]=[u1，u2]+ρ*（u1）u2*-ρ*（u2）u1*，?u1,u2∈G,u1*，u2*∈G*.ρ：G→gl（V）是 G 的表示，且 ρ*：G→gl（V*）是其對(duì)偶表示;

（3）有一幾何經(jīng)典r-矩陣.即有一李代數(shù)G'，且dim G'=dimG，G是G'的表示空間，使得對(duì)在上的經(jīng)典Yang-Baxter方程，在G⊕G*-G*⊕G'有反對(duì)稱解；在上的李代數(shù)由下式確定

定理2 由4維Novikov代數(shù)的自同構(gòu)的分類，可確定相應(yīng)相空間的等價(jià)映射及幾何經(jīng)典r-矩陣的分類.