向量數(shù)量積解題的幾種審視視角
——基于核心素養(yǎng)視角下向量數(shù)量積運(yùn)算的思考

☉甘肅天水市第一中學(xué) 宮前長(zhǎng)

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)詮釋

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面，完全包容了數(shù)學(xué)視角下對(duì)世界的觀察與認(rèn)識(shí)，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述世界的方方面面.

在向量數(shù)量積的教學(xué)中，一定要弄清數(shù)量積概念所涵蓋的核心視角，力求讓數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)在學(xué)習(xí)數(shù)量積的不同層面得到滲透，凸顯出重視核心素養(yǎng)的價(jià)值取向.

向量數(shù)量積運(yùn)算是向量的一種重要運(yùn)算方式.向量是集代數(shù)和幾何的統(tǒng)一體，其數(shù)量積結(jié)果既可以用代數(shù)的形式表征，也可以用幾何意義的形式展示，還可以用其他形式的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.深刻理解向量數(shù)量積的定義及其幾何意義，解題時(shí)才能夠更好地應(yīng)用數(shù)量積，從不同的審視視角審題和解題，為學(xué)生提高數(shù)學(xué)運(yùn)算（解題）能力提供了平臺(tái)和空間.

二、數(shù)量積的教學(xué)狀態(tài)與探究方向

數(shù)量積的教學(xué)大多數(shù)老師是由物理模型“功”的概念引出的一個(gè)量，自然給向量的數(shù)量積賦予了特定的、豐富的幾何特征和物理意義.常常局限于向量模與其夾角等范疇內(nèi)的計(jì)算，思維的發(fā)展往往得不到拓展和提升.大家知道，向量的數(shù)量積運(yùn)算是向量的核心與重點(diǎn)，從數(shù)學(xué)的邏輯地位看是屬于高級(jí)的一種運(yùn)算，要充分地理解數(shù)量積的外延特征，同時(shí)也要從問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，探究操作層面的方法和思路，更要弄清數(shù)量積形成的過(guò)程、思想和方法.

向量是溝通代數(shù)、幾何的橋梁和重要工具，基于向量獨(dú)有的數(shù)、形雙面性，蘊(yùn)含著獨(dú)特的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)量積的理解一定要從代數(shù)、幾何兩個(gè)方面洞察其本質(zhì)特征.因此，從下面幾個(gè)思維視角進(jìn)行探究：

1.向量數(shù)量積的代數(shù)視角

人教A版《數(shù)學(xué)4》（必修）向量給出向量數(shù)量積的定義，要求兩個(gè)非零向量a、b的向量數(shù)量積（內(nèi)積或點(diǎn)積）用a·b表示，向量數(shù)量積定義強(qiáng)調(diào)數(shù)量|a|、|b|、cos〈a，b〉積的數(shù)學(xué)運(yùn)算，充分體現(xiàn)了代數(shù)（三個(gè)數(shù)量：兩模|a|和|b|；一函數(shù)cos〈a，b〉）視角下的計(jì)算，其中〈a，b〉表示非零向量a、b的夾角.注意：向量0與任何向量的數(shù)量積為0；計(jì)算數(shù)量積時(shí)弄清向量a、b的起點(diǎn)或終點(diǎn)位置關(guān)系，才能正確確定向量夾角〈a，b〉是銳角或鈍角.

利用向量數(shù)量積的代數(shù)視角解題時(shí)，要充分發(fā)揮代數(shù)運(yùn)算的特征.審題時(shí)要從三個(gè)量（兩模一函數(shù)）出發(fā)，尋找代數(shù)意義的量.

2.向量數(shù)量積的幾何投影視角

人教A版《數(shù)學(xué)4》（必修）向量給出向量數(shù)量積的定義，要求兩個(gè)非零向量a、b的向量的數(shù)量積（內(nèi)積或點(diǎn)積）用a·b表示，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉，其中|b|cos〈a，b〉表示向量b在向量a方向上的投影，即|b|cos〈a，b〉=|a|cos〈a，b〉表示向量a在向量b方向上的投影，即|a|cos〈a，b〉=因此，向量數(shù)量積的公式a·b=|a［||b|cos〈a，b〉］=|b［||a|cos〈a，b〉］就具備幾何意義（兩個(gè)數(shù)量：一是模|a|或|b|；一是投影|b|cos〈a，b〉＝或|a|cos〈a，b〉＝.其中向量a、b的夾角〈a，b〉的取值范圍是［0，π］，因此投影具有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零之分.

利用向量數(shù)量積的幾何視角解題時(shí)，要充分發(fā)揮數(shù)量積的幾何意義，強(qiáng)調(diào)了數(shù)量積中的數(shù)學(xué)建模，即數(shù)量積就是“一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在該向量上的投影之積”的模型特征.審題時(shí)要從兩個(gè)量（一模一投影）出發(fā)，尋找?guī)缀魏x所對(duì)應(yīng)的量.

3.向量數(shù)量積的三角形視角

圖1

如圖1所示的三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊為a、b、c，則由三角形的余弦定理可知a2=b2+c2-2bccosA，變形得此等式的左邊bccosA恰好是向量的數(shù)量積，即得向量數(shù)量積的等式不妨將此式稱為向量數(shù)量積的三角式，還有另外兩個(gè)向量數(shù)量積的等式解題時(shí)如果知道兩個(gè)非零向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)后形成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，利用上述的數(shù)量積的三角式，就可以計(jì)算出這兩個(gè)非零向量的數(shù)量積的大小.

4.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算視角

基于平面（或空間）向量基本定理，與數(shù)學(xué)工具平面（或空間）直角坐標(biāo)系結(jié)合，向量坐標(biāo)化.即建立直角坐標(biāo)系，向量坐標(biāo)化，促成向量的模長(zhǎng)與夾角的運(yùn)算進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而凸顯了向量代數(shù)特征，即有“向量的運(yùn)算就是實(shí)數(shù)的運(yùn)算”的理念.

5.向量數(shù)量積的幾何變換視角

根據(jù)人教A版《必修4》第109頁(yè)的例題1可知，用向量的概念、運(yùn)算及數(shù)量積證得結(jié)論“平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍”外，還從向量等式（a+b）2=a2+2a·b+b2，（a-b）2=a2-2a·b+b2，將兩式相減得向量恒等式4a·b=（a+b）2-（a-b）2，此恒等式的特征：兩個(gè)非零向量a、b的和、差和數(shù)量積集于一式（向量極化恒等式），顯得特別重要.從幾何視角理解：涉及平行四邊形中的一個(gè)三角形邊長(zhǎng)問(wèn)題；問(wèn)題從代數(shù)視角理解：a·b是兩個(gè)非零向量a、b的和（a+b）、差（a-b）的平方差的四分之一.

圖2

例1 已知非零向量a、b，單位向量e，滿足a·e=1，e·b=2，a2+b2=2（1+a·b），求a·b的最小值.

解析：條件中說(shuō)明了非零向量a、b和單位向量e，向量恒等式a2+b2=2（1+a·b）可以變形為（a-b）2=2，由條件a·e=1，e·b=2，可以得到a·e+e·b=3，即有3=e·（a+b）≤|a+b|，根據(jù)向量恒等式得a·b=［（a+b）2-（a-b）2］≥-1=故a·b的最小值是

6.向量數(shù)量積的不等視角

向量的數(shù)量積公式a·b=|a||b|cos〈a，b〉，由于余弦函數(shù)的有界性，可得不等式|a·b|≤|a||b|，在解題時(shí)能夠啟迪思維，明白此不等式可以研究代數(shù)問(wèn)題.即由|a·b|≤|a||b|，容易得到柯西不等式（a1a2+b1b2）2≤（a1+a2）2（b1+b2）2.

向量的概念在1844年被德國(guó)數(shù)學(xué)家格拉斯曼拓寬引入了n維向量，并且定義n維向量的加減、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算，其運(yùn)算法則與平面向量相似，以此建立了數(shù)學(xué)模型.

總之，上述前5個(gè)不同視角通過(guò)下面的一道小題具體詮釋：

例2 （2011年上海文11題）中，A=60°，AB=AC，D是BC邊上的點(diǎn)，AB=4，BD=1，求

分析：根據(jù)上述的幾種不同的視角進(jìn)行思考，尋找解題思路和解法.

解法1：（向量分解視角）根據(jù)題意，可知△ABC是等邊三角形，=16+4×1×）=14.

解法2：（向量三角形視角）根據(jù)題意，可知△ABC是等邊三角形，由勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)可知AD=

解法4：（向量坐標(biāo)視角）根據(jù)題意，可知△ABC是等邊三角形，取BC邊中點(diǎn)O，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，則A，B（-2，0），D（-1，0），由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得

圖3

圖4

圖5

向量的數(shù)量積本身具有形式的簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、對(duì)稱美，以及數(shù)量積內(nèi)部概念的數(shù)學(xué)（代數(shù)、幾何）文化意蘊(yùn)，促使筆者從上述六個(gè)不同的視角進(jìn)行深刻的思考，挖掘數(shù)量積中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)真、善、美.

三、教學(xué)反思

1.剖析數(shù)量積結(jié)構(gòu)，凸顯概念本質(zhì)

平面向量作為運(yùn)算工具，自身具有一定的知識(shí)體系，只要弄清向量的概念、運(yùn)算、性質(zhì)和幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)從中構(gòu)建有關(guān)向量問(wèn)題解決的思維途徑.如數(shù)量積概念的不同視角審視、理解，給我們提供了一個(gè)很好的佐證，也指出了解決向量問(wèn)題的思維價(jià)值取向：圖形（向量的幾何意義）、坐標(biāo)（向量的代數(shù)意義）和基底（向量的代數(shù)和幾何意義的綜合）三個(gè)方向，從中對(duì)相關(guān)的向量信息進(jìn)行整合、歸納，形成簡(jiǎn)捷的解題思路，充分體現(xiàn)了向量集數(shù)、形的自由運(yùn)動(dòng)體.

2.審視數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化理解數(shù)學(xué)

從向量的數(shù)量積概念所處的數(shù)學(xué)地位、教材位置進(jìn)行定位，挖掘其運(yùn)算功能及數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同表征，抓住數(shù)量積的符號(hào)，站在數(shù)學(xué)思想方法的高度審視數(shù)量積，才能夠弄清數(shù)量積的本質(zhì)特征：一個(gè)數(shù)量、具有代數(shù)運(yùn)算（長(zhǎng)度、角度、坐標(biāo)）和幾何意義（投影、三角形），以及數(shù)學(xué)模型（n維數(shù)量積的不等式蘊(yùn)含的柯西不等式），有助于數(shù)學(xué)思維深刻性的培養(yǎng)，更有利于理解數(shù)學(xué).

3.依核心素養(yǎng)拓展，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展

核心素養(yǎng)視角下向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)的核心價(jià)值不在于簡(jiǎn)單的計(jì)算，而是對(duì)向量數(shù)量積的進(jìn)行多層次、多視角的探究，深刻理解概念中所涵蓋的知識(shí)、方法、觀念和價(jià)值，極力將向量的幾何特征與代數(shù)特征融為一體的核心思想.

向量的數(shù)量積概念是向量中的核心概念，應(yīng)該引起高度重視.上述對(duì)向量數(shù)量積通過(guò)六個(gè)視角：代數(shù)、幾何、三角、坐標(biāo)、變換和不等的理解，加深學(xué)生對(duì)向量思維的深度、廣度和靈活度的有意拓展，自然而然地將數(shù)學(xué)思想滲透到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中，促進(jìn)了學(xué)生的思維發(fā)展.

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