基于關(guān)聯(lián)的“斐波那契數(shù)列”教學(xué)設(shè)計(jì)*

☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 李懷軍

☉河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 侯學(xué)萍 賈蕙宇

2016年9月發(fā)布的《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》將“實(shí)踐創(chuàng)新”素養(yǎng)提到了一個(gè)十分顯著的位置.該素養(yǎng)的培養(yǎng)最終需要依靠學(xué)科來(lái)幫助學(xué)生形成創(chuàng)新意識(shí).不過(guò)，這一教育目標(biāo)得以真正實(shí)現(xiàn)，其前提條件之一是數(shù)學(xué)教師必須有創(chuàng)新的意識(shí)和觀念.而教育部和日本東芝公司自2008年開(kāi)始合作舉辦的“東芝杯”中國(guó)師范大學(xué)理科師范生教學(xué)技能創(chuàng)新大賽（以下簡(jiǎn)稱“東芝杯創(chuàng)新大賽”），就在促進(jìn)中國(guó)師范生教學(xué)技能創(chuàng)新能力、中國(guó)教師自主創(chuàng)新能力的提高起到一定的輻射和引領(lǐng)作用.該大賽最為突出的亮點(diǎn)是創(chuàng)新獎(jiǎng)的設(shè)置，以獎(jiǎng)勵(lì)參賽的所有學(xué)科中在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)形式與教學(xué)手段諸多方面富有創(chuàng)新和模擬授課表現(xiàn)突出的選手.在第七屆“東芝杯創(chuàng)新大賽”中，基于關(guān)聯(lián)視角設(shè)計(jì)的“斐波那契數(shù)列”一課有幸獲得創(chuàng)新獎(jiǎng).

一、“斐波那契數(shù)列”教學(xué)設(shè)計(jì)的總體思考

“斐波那契數(shù)列”是人教A版高中數(shù)學(xué)必修5第二章“數(shù)列”第1節(jié)“數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法”課后的閱讀材料，在“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”兩節(jié)之前.教材按照背景知識(shí)、遞推公式、在自然界中的呈現(xiàn)、《斐波那契季刊》的順序進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹，也呈現(xiàn)出一定的知識(shí)性、趣味性、科學(xué)性與教育性，但略顯不足.加上閱讀材料欄目未被“課標(biāo)”列入教學(xué)內(nèi)容，所以“斐波那契數(shù)列”這節(jié)內(nèi)容并沒(méi)有引起大多數(shù)一線老師的關(guān)注.

教學(xué)設(shè)計(jì)能力是教師專業(yè)水平和教學(xué)能力的關(guān)鍵，其本質(zhì)是“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”［1］的水平和能力.如果考據(jù)斐波那契數(shù)列本身，以及把它放在數(shù)列章節(jié)的總體框架中，可以發(fā)現(xiàn)幾個(gè)被人所忽略的問(wèn)題：

其一，斐波那契數(shù)列遞推公式的出現(xiàn)略顯突兀.某種程度上，這可能會(huì)造成該知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中所蘊(yùn)含的遞推思想被輕視.

其二，盡管學(xué)習(xí)了“數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單的表示方法”，但一部分學(xué)生對(duì)數(shù)列的本質(zhì)和遞推思想的理解并不完全到位.斐波那契數(shù)列這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“再創(chuàng)造”教學(xué)有助于化解這一問(wèn)題，也利于學(xué)生快速把握后續(xù)“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”知識(shí)的本質(zhì).

其三，能否以遞推公式為內(nèi)容主線、邏輯推理為邏輯主線，從知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)視角組織材料.

其四，以斐波那契數(shù)列為背景的試題在近些年較為頻繁地出現(xiàn)在高考試題中，所以學(xué)習(xí)“斐波那契數(shù)列”也很有必要.

最后，斐波那契數(shù)列作為一個(gè)既古老又被代代數(shù)學(xué)家探究新性質(zhì)，并且具有相當(dāng)難度的數(shù)列，蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值和美學(xué)意義.是否有必要考慮學(xué)生的生活環(huán)境，在教材和教學(xué)中彰顯斐波那契數(shù)列的時(shí)代特征？

正如徐文彬所說(shuō)：“學(xué)習(xí)就是因關(guān)聯(lián)而存在的，而教學(xué)則是為關(guān)聯(lián)而存在的.”［2］基于以上分析，對(duì)于“斐波那契數(shù)列”的教學(xué)，給出如下的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐.

二、“斐波那契數(shù)列”的教學(xué)簡(jiǎn)錄

教學(xué)過(guò)程主要包含情境創(chuàng)設(shè)、問(wèn)題探究、規(guī)律探究、拓展探究四個(gè)依次進(jìn)行的環(huán)節(jié).

（一）趣味游戲，創(chuàng)設(shè)情境

師生一起做“挑戰(zhàn)不可能”數(shù)字游戲：對(duì)于1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610……這列數(shù)，任意選取連續(xù)十項(xiàng)，借助計(jì)算器，在5秒鐘之內(nèi)（設(shè)置“倒計(jì)時(shí)”提醒）求其和.

教學(xué)反饋1 創(chuàng)設(shè)的游戲情境平中見(jiàn)奇：融入央視大型原創(chuàng)勵(lì)志節(jié)目——“挑戰(zhàn)不可能”元素，富有時(shí)代特色；“倒計(jì)時(shí)”所營(yíng)造的氛圍使學(xué)生迅速進(jìn)入課堂狀態(tài)，引發(fā)好奇或懷疑.

（二）提出問(wèn)題，探究發(fā)現(xiàn)

簡(jiǎn)要介紹斐波那契的出生年代、著作等背景知識(shí)，引出一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱兔子問(wèn)題），并指出后人正是通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的逐步探究得到了斐波那契數(shù)列.

【兔子問(wèn)題】如果一對(duì)大兔子（具有繁殖能力）每月能生1對(duì)小兔子（一雄一雌），而每一對(duì)小兔子在它出生后的第三個(gè)月里，又能生1對(duì)小兔.假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對(duì)初生的小兔子開(kāi)始，50個(gè)月后有多少對(duì)兔子？

1.合作探究，遞推公式

該問(wèn)題的解決就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是對(duì)兔子繁殖規(guī)律——每一對(duì)小兔在它出生后的第三個(gè)月里，又能生下1對(duì)小兔——進(jìn)行數(shù)學(xué)化理解和表示，即抽象概括出它的數(shù)學(xué)本質(zhì).

為便于學(xué)生理解和分析，在PPT上分別用灰色和黃色的兔子圖形表示一對(duì)新生小兔和一對(duì)成熟大兔，并用表格動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)各個(gè)月兔子的總對(duì)數(shù)、成熟大兔個(gè)數(shù)以及新生小兔的個(gè)數(shù).

首先從簡(jiǎn)單情況下手，逐月分析前5個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)，并填寫表格，按相應(yīng)順序播放PPT，顯示漸增的兔子對(duì)數(shù)，以幫助學(xué)生形成初步的感性認(rèn)識(shí).再以第4個(gè)月為例專門進(jìn)行分析以發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

師：4月的兔子分為幾類？各是什么？

生1：兩類，一類是（成熟）大兔，一類是（新生）小兔.

師：4月的大兔個(gè)數(shù)等于哪個(gè)月兔子總數(shù)？

生2：三月份兔子總數(shù).

師：那4月的小兔個(gè)數(shù)呢？

生3：等于二月份兔子數(shù).

師：也即四月份兔子總數(shù)等于三月份與二月份兔子數(shù)之和.那5月份呢？是不是也有這個(gè)規(guī)律？

大家回答“是”.

師：同樣，五月份兔子總數(shù)等于四月份與三月份兔子數(shù)之和.你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

停頓一會(huì)兒，學(xué)生思考.

師：每個(gè)月兔子數(shù)等于……？

全體學(xué)生回答前兩個(gè)月兔子數(shù)之和.

師：第50個(gè)月呢？

生4：等于第48個(gè)月與第49個(gè)月兔子數(shù)之和.

師：如果用Fn表示第n個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)，那Fn呢？

學(xué)生答Fn+2=Fn+1+Fn，或者Fn=Fn-1+Fn-2等.

這種看似平淡的“對(duì)話”，卻利于學(xué)生真正發(fā)現(xiàn)兔子繁殖規(guī)律所蘊(yùn)含的遞推關(guān)系.由此，根據(jù)起始兩個(gè)月的兔子總數(shù)就可以推算出各月（含第50個(gè)月）兔子的總對(duì)數(shù)，從而形成一列有序的數(shù)，即斐波那契數(shù)列.其中每一個(gè)數(shù)被稱為斐波那契數(shù).以下是它的遞推公式：

教學(xué)反饋2 通過(guò)對(duì)每個(gè)月兔子來(lái)源的分類討論，發(fā)現(xiàn)兔子繁殖規(guī)律的數(shù)學(xué)本質(zhì)是一種特殊的遞推關(guān)系.這個(gè)“再創(chuàng)造”過(guò)程，有助于學(xué)生形成遞推意識(shí)、運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行正確表征.

（三）美之欣賞，神奇呈現(xiàn)

看起來(lái)非常普通的斐波那契數(shù)列，卻在自然界中有著非常廣泛的呈現(xiàn)（PPT展示）：吊竹梅、梅花、飛燕草這些花花瓣的數(shù)量恰好都是斐波那契數(shù)；向日葵的螺旋、松果種子的排列、菠蘿表面的突起也都對(duì)應(yīng)著某個(gè)斐波那契數(shù).

（四）揭曉答案，探究規(guī)律

斐波那契數(shù)列不僅具有神秘的自然之美，還有非常豐富的數(shù)學(xué)之美（其他有趣的性質(zhì)）.

1.數(shù)學(xué)之美，游戲揭秘

首先，揭開(kāi)剛上課時(shí)教師挑戰(zhàn)游戲成功的秘密：實(shí)際上是根據(jù)斐波那契數(shù)列這個(gè)性質(zhì)：

【性質(zhì)2】任意連續(xù)10項(xiàng)之和必等于第7項(xiàng)的11倍，即Fn+1+Fn+2+…+Fn+10=11Fn+7，用第7個(gè)數(shù)乘以11得到結(jié)果.

教學(xué)反饋3 這一設(shè)計(jì)與創(chuàng)設(shè)的情境構(gòu)成相扣一環(huán).學(xué)生久久未能得以解決的一個(gè)困惑終于有了一個(gè)明確的回應(yīng)，利于培養(yǎng)學(xué)生求真的理性精神.

2.類比推理，性質(zhì)探究

對(duì)于斐波那契數(shù)列而言，連續(xù)兩項(xiàng)之和（相加）可以得到下一項(xiàng).這不禁會(huì)引發(fā)類比猜想：連續(xù)兩項(xiàng)進(jìn)行其他什么運(yùn)算，又會(huì)得到什么有意思的結(jié)果？經(jīng)過(guò)思考和討論，學(xué)生認(rèn)為連續(xù)兩項(xiàng)之商可能會(huì)有意義.于是教師借助PPT——計(jì)算一個(gè)比值，閃爍出一個(gè)紅點(diǎn)——進(jìn)行快速、動(dòng)態(tài)演示，如圖1所示：

1÷2=0.5 2÷3≈0.666 7

3÷5=0.6 5÷8=0.625

8÷13≈0.615 4 13÷21≈0.619 0

21÷34≈0.617 7 34÷55≈0.618 2

55÷89≈0.618 0 89÷144≈0.618 0

圖1 取值的動(dòng)態(tài)變化圖

【性質(zhì)3】斐波那契數(shù)列每一項(xiàng)與其后一項(xiàng)之比越來(lái)越趨近于一個(gè)常數(shù)0.618！

教學(xué)反饋4 在類比中猜想新命題，通過(guò)演示進(jìn)一步驗(yàn)證該命題的可靠性.這種類比與實(shí)驗(yàn)的方法有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出命題，建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，提高合情推理能力.

（四）數(shù)列變形，拓展探究

以上討論的均是數(shù)列本身的性質(zhì).接下來(lái)對(duì)其進(jìn)行變換——對(duì)其各項(xiàng)平方，探討所形成的新數(shù)列1，1，4，9，25……的性質(zhì)；之前是從數(shù)的角度，現(xiàn)在換成從形的角度來(lái)探究.

1.以形助數(shù)，以數(shù)解（釋）形

教師用自制的正方形磁性教具演示：12，22分別看成邊長(zhǎng)為1、2的正方形的面積，并引出問(wèn)題：從形的角度入手探究這個(gè)新數(shù)列有什么性質(zhì).

師：每個(gè)組都有1，1，2，3，5，8這些以斐波那契數(shù)為邊的正方形（磁性教具），請(qǐng)同學(xué)們嘗試著把前2個(gè)正方形拼在一起，前3個(gè)、前4個(gè)分別拼在一起，看看依次能拼得什么圖形？觀察拼得后的圖形的面積用它的邊長(zhǎng)應(yīng)該怎么表示？

學(xué)生以小組為單位動(dòng)手操作、合作探究，教師做個(gè)別指導(dǎo).給予充分的時(shí)間，學(xué)生拼出圖2左側(cè)的若干組合，也有部分小組利用所有的正方形磁性教具得到圖2右側(cè)的拼接方式.

圖2 學(xué)生所拼接的圖形

圖3 學(xué)生所列的對(duì)應(yīng)的等式

師：大部分學(xué)生都能拼出圖2中的幾個(gè)圖形，并相應(yīng)列出圖3各個(gè)等式，每個(gè)等式右端的這些數(shù)都是斐波那契數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)乘積.這樣我們就可以歸納出前n項(xiàng)的平方和等于？

生5：Fn×Fn+1.

師：這樣就得到了斐波那契數(shù)列這一性質(zhì)：

教學(xué)反饋5 在探討性質(zhì)4的過(guò)程中，學(xué)生直觀想象，利用磁性教具，以形助數(shù)，嘗試發(fā)現(xiàn)規(guī)律：以斐波那契數(shù)為邊的前n個(gè)正方形的面積和等于第n個(gè)斐波那契數(shù)與第n+1個(gè)斐波那契數(shù)的乘積；以數(shù)解（釋）形，用符號(hào)正確表述規(guī)律.這利于學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)直覺(jué)，提升數(shù)形結(jié)合的能力，從而更好理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律.

2.數(shù)列升華，實(shí)例應(yīng)用

“借題發(fā)揮”：觀察黑板上組合圖形的拼接特征——邊長(zhǎng)為1的正方形放在了中間，緩慢演示：在這些正方形里面畫一個(gè)90°的扇形，由里到外連接起來(lái)就形成一條弧線——斐波那契螺旋線.

“升華數(shù)列”：斐波那契螺旋線可以讓整個(gè)畫面呈現(xiàn)出一種美感.因?yàn)閺膱D中的主體作為起點(diǎn)，按照螺旋線進(jìn)行構(gòu)圖，可以創(chuàng)造出引人注目的視覺(jué)體驗(yàn).這種構(gòu)圖方式應(yīng)用非常廣泛.同時(shí)播放自制的微視頻：藝術(shù)繪畫（達(dá)芬奇的名畫《蒙娜麗莎》、徐悲鴻的名畫《馬》）影視作品（熱播劇《瑯琊榜》）和工業(yè)設(shè)計(jì)（蘋果手機(jī)logo）進(jìn)行感受和欣賞.

“數(shù)列應(yīng)用”：一位美國(guó)少年根據(jù)斐波那契數(shù)列制作了一棵太陽(yáng)能樹，其能源效率據(jù)說(shuō)比普通光伏電池板高出20%～50%.

教學(xué)反饋6 于學(xué)生“典型”的拼接圖形之處深入挖掘，借助現(xiàn)代信息技術(shù)，將奇妙的斐波那契螺旋線與貼切的文化和時(shí)代元素進(jìn)行整合，有機(jī)融入到微視頻中.加上對(duì)美國(guó)少年根據(jù)斐波那契數(shù)列制作太陽(yáng)樹的介紹，使得數(shù)列變形這部分的探究在人文價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和審美情趣上得以升華.

三、進(jìn)一步的思考

本教學(xué)設(shè)計(jì)以問(wèn)題為線索，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，突出合情推理；以遞推公式為內(nèi)容主線、以邏輯推理為邏輯主線，關(guān)注知識(shí)間內(nèi)在的關(guān)聯(lián)；以有助于學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考、判斷、轉(zhuǎn)化和應(yīng)用的理念引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的思想，較好地詮釋了數(shù)學(xué)作為一門研究自然規(guī)律的科學(xué)的本質(zhì).

1.建立數(shù)列本章基本知識(shí)以及數(shù)列與其他章節(jié)之間的關(guān)聯(lián)

教師要使學(xué)生學(xué)會(huì)在先前學(xué)的概念和技巧與將要學(xué)的內(nèi)容之間建立聯(lián)系.比如，斐波那契數(shù)列遞推公式概念的理解與掌握，既是對(duì)上一節(jié)所學(xué)遞推公式概念的運(yùn)用，又有利于學(xué)生深刻理解等差與等比數(shù)列的概念；性質(zhì)1的學(xué)習(xí)，有助于發(fā)現(xiàn)性質(zhì)3；借助磁性教具溝通了數(shù)列與幾何領(lǐng)域的關(guān)聯(lián).總之，“使各個(gè)部分的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，形成有機(jī)整體，融會(huì)貫通后將其運(yùn)用到數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中.”［3］

2.建立知識(shí)的“再創(chuàng)造”與學(xué)生基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)聯(lián)

弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造’”［4］.換言之，“數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)在于引導(dǎo)學(xué)生重新發(fā)現(xiàn)概念與原理，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系.”［5］在教師引導(dǎo)下，學(xué)生從自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)從發(fā)，經(jīng)歷“兔子問(wèn)題”的提出、聚焦、數(shù)學(xué)化，到斐波那契數(shù)列概念的獲得；通過(guò)“直觀想象、動(dòng)手操作、數(shù)形轉(zhuǎn)換、合理猜想”等學(xué)習(xí)方式，學(xué)生探究出性質(zhì)4.通過(guò)系列探究活動(dòng)，學(xué)生將“遞推思想”順應(yīng)于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中.以上的“再創(chuàng)造”過(guò)程，其核心是“學(xué)生的主動(dòng)探究……在其中，學(xué)生必將積累大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”［6］

3.建立數(shù)學(xué)與文化及其他領(lǐng)域之間的關(guān)聯(lián)

“數(shù)學(xué)文化是一個(gè)開(kāi)放、多元、動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)……也包括數(shù)學(xué)與其他人類文化的互動(dòng)關(guān)系.”［7］對(duì)于這個(gè)既古老又被代代數(shù)學(xué)家探究新性質(zhì)，并且具有相當(dāng)難度的斐波那契數(shù)列，以獨(dú)特的情境，貼近學(xué)生生活實(shí)際的方式——藝術(shù)繪畫，影視作品，產(chǎn)品設(shè)計(jì)，太陽(yáng)能樹——藝術(shù)性地呈現(xiàn)出來(lái)，使剛接觸數(shù)列概念的高中生能夠很好地理解并學(xué)以致用，真切感受到“數(shù)學(xué)是自然與社會(huì)相互聯(lián)系的一種工具”［8］.

4.建立教學(xué)環(huán)節(jié)之間的關(guān)聯(lián)

游戲情境創(chuàng)設(shè)與游戲揭密前后呼應(yīng)；動(dòng)手操作、合作探究發(fā)現(xiàn)性質(zhì)4，與欣賞斐波那契螺旋線前后關(guān)聯(lián)……這些安排都有助于改善教與學(xué)的方式，使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高教學(xué)質(zhì)量.

1.章建躍.全面深化數(shù)學(xué)課改的幾個(gè)關(guān)鍵［J］.課程·教材·教法，2016（5）.

2.徐文彬.關(guān)聯(lián)與想象是學(xué)習(xí)與教學(xué)的實(shí)質(zhì)［J］.江蘇教育：小學(xué)教學(xué)，2013（9）.

3.范文貴.美國(guó)關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)課程研究及啟示［J］.外國(guó)中小學(xué)教育，2009（3）.

4.弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.陳昌平譯.上海：上海教育出版社，1999.

5.曹廣福，張蜀青.論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評(píng)價(jià)的核心要素——以高中倒數(shù)概念課為例［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（4）.

6.顧繼玲.聚焦“基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，（1）.

7.張維忠.數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化［M］.上海：上海教育出版社，2011.

8.張維忠.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程［M］.上海：上海教育出版社，1999.