金屬板復合材料單面膠接補強結構的狀態(tài)空間法

穆志韜,牛 勇，劉 濤,顏光耀(.海軍航空大學 航空機械系，山東 青島 6604;.93部隊，山東 煙臺 64037)

近年來，纖維增強復合材料以其比強度和比剛度高、性能可設計、環(huán)境耐久性強等諸多優(yōu)異特性，廣泛應用于各個工程領域，如航空航天、汽車工業(yè)及建筑領域等[1]。其中一項重要應用是利用膠粘的方法，將復合材料補片貼補到金屬結構的外表面，以此達到改善局部區(qū)域受力狀況的目的[2-6]。膠層及復合材料補片的界面性能對補強效果有重要影響[7-12]。文獻[13]建立了考慮彎曲變形單面修補結構力學分析模型,推導出了金屬板復合材料單面補強結構中膠層面內剪切應力以及面外剝離應力的解析解，并對膠層主導的破壞模式進行了分析。文獻[13]利用TOM理論對Rose LRF分析方法進行了改進，認為膠層剪切應力沿膠層厚度方向上呈線性分布，并得到了復合材料雙面修復結構中膠層剪切應力的解析解。文獻[14]利用有限元方法,研究了復合材料粘接修理結構中膠層的彈性模量對其應力分布的影響。分析了膠層出現(xiàn)屈服和未屈服兩種情況下,膠層的第1主應力,剝離應力和xy面剪切應力的分布隨膠層彈性模量的變化情況。從以往研究中發(fā)現(xiàn)，對補強結構力學性能的研究大部分集中在膠層應力分布及破壞的研究上，較少研究復合材料補片的力學行為和失效機制。其中一個重要原因是補強結構涉及多種材料，其對應的邊界條件也較為復雜，在傳統(tǒng)的板殼理論中，難以找到合適的解函數(shù)滿足其邊界條件，得到補片中應力分布的顯式解析解[15-18]。但補片破壞是除膠層破壞以外的另一種重要破壞形式，對其應力分布的研究同樣具有重要意義。

針對上述問題，本文采用狀態(tài)空間法(SSM)，從彈性力學基本方程出發(fā)，通過消去平面應力分量，僅保留各層之間相互協(xié)調所需要的力學量的方法，建立金屬板復合材料單面膠接補強結構的理論分析模型，并利用三角級數(shù)及階躍函數(shù)對各類邊界條件進行了描述，得到了復合材料補片中應力分布的解析解。同時，利用有限元方法驗證理論分析模型的有效性，并簡要分析復合材料補片及膠層的破壞模式與失效機制。

1 復合材料單面補強結構力學模型

圖1為完好的金屬板復合材料單面膠接補強結構的典型示意圖，補片采用與金屬板等寬度的矩形補片。其中，L和l分別為金屬板及復合材料補片的長度，B為二者寬度，利用膠粘劑實現(xiàn)二者之間的載荷傳遞。

根據(jù)補強結構的特點，做如下基本假設：

(1)金屬板在x=0及x=l兩處簡支；

(2)結構在板寬方向上處于平面應變狀態(tài)；

(3)膠層完好，不存在缺陷，結合面位移函數(shù)保持連續(xù)[15]。

圖1 金屬板復合材料單面補強結構俯視圖

圖2為補強結構拆解圖，其中tp和ts分別為補片和金屬板的厚度，第k層為金屬板，第k-1層為膠層，第k-1以上為復合材料補片各分層。

圖2 金屬結構復合材料單面補強結構拆解

1.1 復合材料補片及膠層狀態(tài)方程

由于復合材料補片及膠層受力狀態(tài)相同，在1～k-1層中的各分層中，任取一單層r，建立局部坐標系，取坐標x軸與層頂層軸線重合，z軸與左側邊緣重合，考察其中任意點的應力狀態(tài)。

根據(jù)單元應力狀態(tài)，力平衡方程為

(1)

由廣義Hooke定律及幾何方程可得

(2)

從式(1)及式(2)中消去平面應力分量σx，使得方程中僅保留各層之間相互協(xié)調所需要的力學量，可得第r層的狀態(tài)方程

(3)

將平面應力分量σx方程應力單獨列出，即

(4)

方程(3)中右側系數(shù)矩陣為非常數(shù)陣，求解方程需將系數(shù)矩陣化為非常數(shù)矩陣，為此將式(3)中4個未知量展開成級數(shù)形式

(5)

將式(5)代入式(3)、(4)整理得

(6)

(7)

將狀態(tài)方程組(6)寫成如下形式

(8)

其中Kn為方程組(6)的系數(shù)矩陣，式(8)為線性常系數(shù)齊次狀態(tài)方程，采用矩陣指數(shù)法對其進行求解，可得

(9)

式(9)建立了復合材料補片各分層及膠層中不同位置處應力與位移分量與其頂層的關系。令

(10)

則式(10)簡化為

Rn(z)=Dn(z)·Rn(0)

(11)

1.2 金屬板狀態(tài)方程

由于金屬基板與補片及膠層受力狀態(tài)不同，需單獨進行分析，如圖(1)所示，金屬基板兩端分別受遠端應力σ作用，為此，引入階躍函數(shù)H(x)和H(x-l)

(12)

對式(12)求導有

(13)

其中δ(x)為Dirac函數(shù)，x∈[0,l]，令

(14)

將式(14)代入靜力平衡方程(1)得

(15)

在金屬板中σz、w和τxz三項與式(5)相同，令

(16)

(17)

(18)

求解方程(17)得

(19)

參照式(10)、(11)將狀態(tài)方程式(19)寫成如下形式

Rn(hk)=Dn(hk)·Rn(0k)+Bn(hk)

(20)

其中Bn(hk)為式(19)最右側的常數(shù)矩陣，是狀態(tài)方程的輸入控制矩陣。

2 邊界條件及狀態(tài)方程的解

由于上述狀態(tài)方程均采用了局部坐標系，根據(jù)層間的應力和位移連續(xù)條件，上一層底層應力和位移狀態(tài)為相臨下一層頂層的初始邊界條件，逐層類推，最后可以把整個結構的上、下表面的力學量聯(lián)結起來，以第一層和第二層為例，第一層的層底為第二層頂層的邊界條件，即

(21)

式(21)中，h1和h2分別表示第1層和第2層的厚度，01表示第一層頂層位置。

依次類推，整個修復結構組合后的狀態(tài)方程為

(22)

在整體狀態(tài)方程(22)中令

(23)

將式(23)展開成如下形式

(24)

由于金屬板在x=0及x=l兩處簡支，由受力分析可得補強結構的邊界條件為

復合材料補片頂面

(25)

金屬板底面

(26)

將邊界條件按三角極數(shù)展開后得

(27)

(28)

將式(27)及(28)代入式(24)取方程組的第2、4方程化簡得如下方程組

(29)

3 數(shù)值驗證與分析

為檢驗本文方法的有效性，利用Matlab軟件對補強結構整體狀態(tài)方程進行編程求解。結構尺寸如圖2所示，其中修補區(qū)域長度l=80 mm。金屬基板為飛機常用的LY12CZ鋁合金，膠粘劑選用J150型環(huán)氧樹脂膠粘劑，補片選用T300/E51碳/環(huán)氧復合材料，并且讓0°纖維方向與最大主應力方向(x方向)一致。材料力學性能見表1。計算中取n=1,3,…,199時各力學量收斂較好。

表1 LY12CZ、T300/E51和J150的材料屬性

用abaqus6.12建立補強結構的有限元模型，由結構的對稱性，取其1/2進行建模，布全局種子，種子間距為0.5 mm，根據(jù)假設條件，各部分均采用8節(jié)點平面應變單元(CPE8)，通過Tie約束保證各界面節(jié)點間的位移協(xié)調，單元網格劃分及邊界條件如圖3所示。

圖3 T300/E51金屬板復合材料單面補強結構網格劃分及邊界條件

圖4為在端部應力為40 MPa時結構撓度分布規(guī)律，由于金屬板在x=0及x=l兩處簡支，在受拉應力時，由于補片的存在，傳載路徑出現(xiàn)偏心，致使結構產生凹向下的彎曲變形，理論解析解與有限元數(shù)值解吻合較好。

圖5為膠層剝離應力及剪切應力的理論解析解與有限元數(shù)值解在遠端應力為40 MPa時的分布曲線，理論解析解與有限元數(shù)值解吻合較好，說明解析解正確合理。膠層剝離應力及剪切應力在靠近端部位置處均顯著增大，所以對于膠層剝離及剪切主導的破壞模式最先發(fā)生失效的位置在補片端部。

圖4 T300/E51金屬板復合材料單面補強結構撓度分布

圖5 膠層剝離應力及剪應力分布

根據(jù)推導出的解析模型研究補強結構中補片的力學行為，圖6為不同位置處補片層間剪應力分布情況的理論解析解，括號內的數(shù)值表示所取位置的坐標值與總長的比值。從圖6中可以看出，相同兩層間的層間剪力隨著坐標值與總長的比值的增大而增大，且第五層與第六層之間的層間剪力最大，說明這兩層層間最易發(fā)生層間剪切為主導的破壞模式。

圖6 補片層間剪力在厚度方向上的分布

圖7為不同位置處纖維沿方向應力在補片厚度上的分布的理論解析解，從圖7中可以看出，各位置處應力呈線性變化，且靠近端部位置處直線的斜率小于遠離端部位置處的斜率，說明靠近端部位置處的應力在不同鋪層間的應力分配差別較大，對于同一層而言，越靠近端部位置應力值也越大，說明補片端部更易出現(xiàn)纖維斷裂為主導的破壞模式。

圖7 補片面內應力在厚度方向上的分布

4 結論

(1)利用SSM建立了補強結構的狀態(tài)方程，推導出了金屬板復合材料單面補強結構任意一點處的應力、應變理論解析解;

(2)通過與有限元計算結果的對比表明，結構撓度、膠層剝離應力及剪切應力均與理論解析解吻合較好，理論解析模型正確、合理;

(3)利用解析模型研究了補強結構中補片的力學行為，結果表明，補片自由端易產生應力集中，補片層間剪力和面內應力均在自由端處取得了最大值，對于補片分層及纖維斷裂主導的破壞模式均易發(fā)生在補片端部位置。

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