二維非凸孔型單相聲子晶體帶隙研究

許衛(wèi)鍇，張 蒙，寧金英(沈陽航空航天大學 航空航天工程學部(院)，沈陽 110136)

近年來，聲波和彈性波在周期性復合材料中的傳播越來越受到關注。相比光子晶體[1]，聲子晶體是由一種彈性常數(shù)及密度周期分布的新型功能材料，當彈性波在聲子晶體內部傳播時,受其周期性結構的影響,在一定頻率范圍(禁帶)內，彈性波會被禁止傳播，而在其他頻率范圍(通帶)內，彈性波可以無損耗地傳播[2]。因此，在噪聲隔離和振動控制等方面聲子晶體具有潛在的應用前景，尤其在隔振方面，它可以完成常規(guī)阻尼難以完成的任務，為超精加工、精密儀器等在一定頻率范圍內提供無振動的環(huán)境。因此，在Kushwaha等人[3]提出了聲子晶體的概念后，研究人員開始廣泛關注這種周期性介質對波的傳播行為的影響[4-7]，隨后出現(xiàn)了許多新型的人造結構的聲子晶體[8-10]。此外，在國防工業(yè)方面它也有巨大的應用潛力[11-12]。

到目前為止，聲子晶體產生帶隙的機理大體分為兩種:Bragg 散射型和局域共振型。在Bragg 散射型聲子晶體中，帶隙主要與結構的物理參數(shù)、周期性等結構參數(shù)有關[13]，當入射彈性波的波長與聲子晶體的晶格尺寸相近時彈性波將受到結構強烈的散射作用，使得帶隙頻率對應的波長與晶格尺寸處于同一數(shù)量級；而在局域共振型聲子晶體中，雖然結構的物理參數(shù)也有一定影響，但帶隙主要由晶體中散射體的共振產生。2000年，劉正猷等[14]首次提出了局域共振型聲子晶體的概念，他們在環(huán)氧樹脂的基體中嵌入以硅橡膠包裹的鉛球的共振單元并對此進行了相應的實驗。由于引進了共振單元，第一帶隙頻率大大降低，比同樣晶格尺寸的 Bragg 散射型聲子晶體產生的帶隙低了兩個數(shù)量級，但大部分的共振型聲子晶體只能在低頻范圍內產生較窄的帶隙。因此，為了在低頻范圍內獲得較寬的帶隙，許多研究人員開始提出板狀、梁狀等結構形式的聲子晶體,如三明治板的板狀體系[15]含有共振體梁的梁式體系[16]。周期性孔型聲子晶體具有質量較輕且制作簡單的優(yōu)點，在近年來受到了越來越多的關注。本文研究了一種含非凸型孔的二維單相聲子晶體，并討論了結構幾何參數(shù)對帶隙的影響，這些結果為聲子晶體的設計提供了一定的參考依據(jù)。

1 理論方法

對于線彈性、小變形、各向異性、無阻尼且無源的非均勻介質，角頻率為ω的諧振彈性波在其中的傳播行為可以用以下波動方程描述[17-18]

-ρ(r)ω2u(r)=·(C(r):u(r))

(1)

-ρ(r)ω2ui=T·[C44(r)Tui]+T·uT]+[(C11(r)-2C44(r))TuT],i=x,y

(2)

-ρ(r)ω2uz=·(C44(r)uz)

(3)

根據(jù)Bloch定理，聲子晶體的中位移場u(r)可以表示成

u(r)=ei(k·r)uk(r)

(4)

其中，uk(r)是單胞內的位移場，與結構有相同的周期性，k=(kx,ky)被限定在第一布里淵區(qū)內。利用有限元軟件求解時，可以在一個單胞內進行，單胞內離散形式的特征方程為

(K-ω2M)U=0

(5)

其中，U是節(jié)點位移，K與M分別是剛度矩陣和質量矩陣。

當單胞邊界滿足Bloch周期條件時，則結構內的每個點都將滿足Bloch條件[19]。將Bloch定理沿著周期方向施加在單胞邊界上時，單胞邊界條件變?yōu)?/p>

U(r+a)=ei(k·a)U(r)

(6)

其中，a為聲子晶體的格矢基矢量。將波矢k沿著結構的不可約布里淵區(qū)的高對稱邊界掃描，通過求解特征值即可得到能帶結構。

本文采用有限元軟件Comsol Multiphysics5.2a對一種新型的二維非凸孔型聲子晶體進行仿真計算，其中平面混合模態(tài)和剪切模態(tài)可分別采用固體力學模塊和壓力聲學模塊進行求解[18]。通過施加Floquet周期邊界條件，計算能帶結構的問題就轉化為一個特征值問題。

2 數(shù)值計算與分析

2.1 計算模型

研究表明，對于由均勻固體周期開孔得到的多孔型聲子晶體，孔的形狀幾乎是唯一可以調控帶隙的參數(shù)[18]，因此研究開孔形狀及其尺寸對系統(tǒng)帶隙特性的影響具有十分重要的意義。一般來說，含非凸型截面孔的聲子晶體較凸型孔更容易在較低頻率產生較寬的完全帶隙[18]。例如，甄妮等人[20]研究了含正方形、三角形以及六角蜂窩結構的周期多孔材料，結果表明僅存在方向帶隙而無完全帶隙。Su等人[21]討論了含圓形孔、旋轉方孔和六角形孔聲子晶體的帶隙特性，結果表明不同形狀的孔具有不同的帶隙特性。圖1(a)和1(b)分別顯示了方形孔和圓形孔的能帶圖，其中b為方形孔邊長，R為圓形孔半徑?？梢钥闯?，方形孔并不存在完全帶隙，而圓形孔可以產生相對較窄的禁帶。在方形邊框上附加半圓形凸起時，此時孔的形狀將變?yōu)橐粋€類似“X”變形體的非凸型截面，如圖2(a)所示，其中晶格常數(shù)為a，邊框寬度為t，半圓的半徑為r。對于方形晶格來說，其不可約布里淵區(qū)的高對稱邊界為Γ-Χ-Μ-Γ，如圖2(b)所示。當選取合適的尺寸參數(shù)時，單元將會發(fā)生局域共振并產生較大的帶隙，如圖1(c)所示。

圖1 不同形狀的聲子晶體能帶結構

圖2 非凸型單相聲子晶體示意圖

本文采用鋁為基體材料，晶格常數(shù)a為0.01 m，其材料屬性中密度ρ=2 700 kg/m3，楊氏模量E=20 GPa，泊松比υ=0.25。計算得到結構的能帶如圖3所示，縱坐標采用歸一化頻率Ω=fa/ct，其中f為頻率，ct=1 721 m/s為基體的橫波波速，圖中實線和虛線分別表示聲子晶體的混合模態(tài)和剪切模態(tài)。

2.2 半圓半徑影響

圖3顯示了當邊框寬度t為0.000 3 m時，不同的半圓半徑對帶隙分布的影響?？梢园l(fā)現(xiàn)，當取半圓半徑r為0.001 m時，在歸一化頻率0.82、1.4和1.65附近存在三條較明顯的帶隙，并在頻率1.17處存在一條極細的帶隙，更低的頻率則不存在完全帶隙；調整半圓的半徑r為0.001 5 m時剪切模態(tài)的第7條能帶下降，使得原來1.6<Ω<1.7范圍的帶隙切割為兩條，且?guī)捿^之前有所增加;同時，由于混合模態(tài)的第11條能帶大幅上升，原來0.82頻率處的帶寬大幅增加，位于1.17處的極細帶隙的帶寬也大幅增加，在更低的頻率0.5和0.61范圍處也打開兩條帶隙；當半徑r為0.002 m時在頻率為1.9的位置出現(xiàn)一條帶隙，同時，由于剪切模態(tài)的第7、8條能帶繼續(xù)下降，第6能帶則上升，使得原來頻率1.6處的兩條帶隙中較寬一條變得極細，而原本較細的一條則完全消失，由于混合模態(tài)第7-12條能帶上升，使得1.2處的帶隙消失，0.8<Ω<0.98處的帶隙上升至1<Ω<1.7，而0.83<Ω<0.97處出現(xiàn)另一條新帶隙，頻率0.6處的帶隙也上升至0.7處。另外，由于混合模態(tài)第6條能帶下降，原本0.5處的帶隙增大為0.4<Ω<0.61的寬帶隙；當半圓的半徑r為0.002 5 m時，由于混合模態(tài)第7-12條能帶繼續(xù)上升，且第13條能帶下降，以及剪切模態(tài)第3條能帶上升，第4能帶下降，原本1<Ω<1.7和0.83<Ω<0.97處的兩條帶隙有小幅度上升，且?guī)捦瑫r變小，頻率1.58處也出現(xiàn)一條帶隙。另外，由于混合模態(tài)第6條能帶繼續(xù)下降，0.4<Ω<0.61處的帶隙進一步增大為0.38<Ω<0.79；當半圓的半徑r為0.003 m時，由于混合模態(tài)第7-12條能帶大幅上升，且第13條能帶大幅下降，原本1<Ω<1.7和0.83<Ω<0.97處的兩條帶隙消失，而在頻率為1.36和1.39處出現(xiàn)兩條極細帶隙，在頻率為1.7處出現(xiàn)一條稍寬帶隙，另外，由于混合模態(tài)的第6能帶小幅下降，剪切模態(tài)的第3條能帶小幅上升，使得0.38<Ω<0.79處的帶隙增大為0.36<Ω<0.81。

圖3 不同半徑的能帶結構實線和虛線分別代表混合模態(tài)和剪切模態(tài)

圖4 低頻帶隙邊界隨半圓半徑變化情況

另一方面，由圖3可知，低頻帶隙一般出現(xiàn)在混合模態(tài)的第6、7條能帶與剪切模態(tài)的第2、3條能帶之間，因此我們著重討論這四條能帶隨半圓半徑變化情況。圖4顯示了低頻帶隙的邊界隨半圓半徑的變化情況，其中，混合模態(tài)與剪切模態(tài)分別用“○”和“*”標記，實線為混合模態(tài)第7(或剪切模態(tài)第3)能帶的下邊界，虛線為混合模態(tài)第6(或剪切模態(tài)第2)能帶的上邊界。只有高階能帶的下邊界高于低階能帶的上邊界時才會產生帶隙。從圖4可以看出，當半圓半徑取0.001 m時，由于混合模態(tài)第6條能帶的上邊界高于在第7條能帶的下邊界，因此并未產生完全帶隙，這也與圖3(a)的結果相吻合。當半圓半徑增大到0.001 5 m時開始出現(xiàn)完全帶隙，隨著半圓半徑繼續(xù)增大，低頻完全帶隙也逐漸變寬，如圖4中陰影部分所示。

為了更好地觀察構型尺寸對帶隙寬度及位置的影響，本文引入低頻相對帶寬[18]和總體絕對帶寬[22]兩種指標對構型進行評價。其中，低頻相對帶寬考慮第一個禁帶帶寬盡可能大的情況下頻率盡可能低，總體絕對帶寬則考慮在一定頻率范圍內所有禁帶的總體寬度。低頻相對帶寬和總體絕對帶寬的目標函數(shù)如式(7)和式(8)所示。

(7)

(8)

計算結果如表1所示。結合圖3、圖4可以看出，當改變半圓的半徑時，無論是混合模態(tài)還是剪切模態(tài)，其能帶變化都較為明顯。從總體絕對帶隙來看，當半徑為0.001 m時禁帶帶寬較小僅為12.3%，但增大半徑到0.001 5 m后總體絕對帶寬迅速增大到31.7%。盡管進一步增大半徑并不能帶來絕對帶隙的擴寬，但會導致帶隙的頻率下移，從而使得低頻相對帶寬逐漸增大，因此，較大的半圓半徑成為更優(yōu)的選擇。然而，由于繼續(xù)增大半圓半徑在系統(tǒng)發(fā)生振動變形時內部半圓會發(fā)生擠壓，因此在本文下一部分中取半徑為0.003 m進行分析。

2.3 邊框寬度影響

圖5顯示了半徑r為0.003 m時不同的邊框寬度對帶隙分布的影響。可以看出，對比邊框寬度t為0.000 5 m的情況，取t為0.000 4 m時,混合模態(tài)的第6條能帶略有下降，剪切模態(tài)的第3條能帶略有上升，使得第一條帶隙寬度略微增大；當取t為0.000 3 m時混合模態(tài)的第6條能帶下降較明顯，剪切模態(tài)的第3條能帶依然有部分上升，使得第一條帶隙寬度擴大為0.32<Ω<0.8；當取t為0.000 2 m時,混合模態(tài)的第6能帶繼續(xù)下降，剪切模態(tài)的第3條能帶則繼續(xù)上升，第一條帶隙寬度擴大為0.28<Ω<0.82；當取t為0.000 1 m時，混合模態(tài)的第6能帶雖然有大幅下降，但第7條能帶則有更大幅度下降，第8、9、10條能帶也有較大幅度下降，因此，第一條帶隙被切割為兩條完全帶隙，兩條帶隙寬度分別為0.21<Ω<0.51和0.54<Ω<0.77。同時，在高頻范圍內也出現(xiàn)兩條新的完全帶隙，其寬度分別為0.99<Ω<1.2和1.27<Ω<1.38，但帶隙寬度較小。

表1 半圓半徑對帶隙寬度及位置的影響情況

圖5 不同邊框寬度的能帶結構(注：實線和虛線分別代表混合模態(tài)和剪切模態(tài))

圖6顯示了低頻帶隙的邊界隨邊框寬度的變化情況，同樣，混合模態(tài)與剪切模態(tài)分別用“○”和“*”標記，實線為混合模態(tài)第7(或剪切模態(tài)第3)能帶的下邊界，虛線為混合模態(tài)第6(或剪切模態(tài)第2)能帶的上邊界?？梢钥闯?，隨著邊框寬度的減小，低頻完全帶隙逐漸增大，并在0.000 2 m附近時取得最大。當邊框寬度進一步減小到0.000 1 m時低頻完全帶隙再次減小，如陰影部分所示。

圖6 低頻帶隙邊界隨邊框寬度變化情況

同樣的，我們分別計算了不同邊框寬度下的低頻相對帶寬和總體絕對帶寬，如表2所示?？梢钥闯觯S著寬度的不斷減小混合模態(tài)的能帶依然受到較大影響，低頻相對帶寬呈逐漸增大趨勢，當框架厚度為0.000 1 m時低頻相對帶寬率減小，這是由于混合模態(tài)第7條能帶下降過快，低頻帶隙被切割為兩條相對較窄的完全帶隙造成的，但總體絕對帶寬則一直呈現(xiàn)逐漸增大趨勢，由于繼續(xù)減小框架寬度會在材料制備上存在一定難度，因此不再繼續(xù)減小框架寬度。

表2 邊框寬度對帶隙寬度及位置的影響情況

3 結論

本文基于局域共振型聲子晶體結構，對一種新型的二維含非凸型孔聲子晶體構型的帶隙特性進行了分析和研究，并討論了結構幾何參數(shù)對帶隙性質的影響。結果表明，結構幾何參數(shù)對系統(tǒng)的帶隙特性具有顯著的影響，而合理確定幾何參數(shù)可使該新型聲子晶體在低頻范圍內打開相對較寬的完全帶隙，這為聲子晶體的帶隙設計提供了一定的理論依據(jù)。

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