幾類非線性壓縮映射的不動點定理

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,山西 太原 030031)

1 預(yù)備知識

泛函分析——近代數(shù)學(xué)較新的一門數(shù)學(xué)分支,以其在微積分方程、動力系統(tǒng)、工程力學(xué)等各個領(lǐng)域應(yīng)用的廣泛性,在近代數(shù)學(xué)中占有非常凸出的地位．其中,針對壓縮性映射的不動點理論研究尤其突出．并且在Banach不動點定理的基礎(chǔ)上,不動點理論的研究內(nèi)容及方式日漸豐富,新的成果也不斷呈現(xiàn),應(yīng)用范圍不斷得到拓展．究其本源,不動點研究即為討論算子方程Ty=y的內(nèi)容,判斷算子方程解的存在以及唯一性．伴隨著非線性微積分方程、逼近理論和隨機(jī)算子理論等的不斷發(fā)展,不動點理論的應(yīng)用進(jìn)一步得到拓展,各種類型的非線性壓縮映射的不動點討論也逐漸增多,如文獻(xiàn)[1-10]．本文主要針對幾類新型的且更一般的非線性壓縮映射,討論其相應(yīng)的不動點的存在性與唯一性,同時還給出了相應(yīng)的誤差估計不等式,并且使得定理的應(yīng)用范圍得到進(jìn)一步的拓展．

定義1.1[1]設(shè)X是一個非空集．X叫做度量空間,是指在X上定義了一個雙變量的實值函數(shù)g(u,v),并滿足條件:

(H1)g(u,v)≥0,并且g(u,v)=0當(dāng)且僅當(dāng)u=v;

(H2)g(u,v)=g(v,u);

(H3)g(u,w)≤g(u,v)+g(v,w)(?u,v,w∈X)．

那么g叫做X上的一個距離;以g為距離的度量空間X記做(X,g)．

定義1.2[1]已知度量空間(X,g),點列{un}是空間上的基本列(Cauchy列),是指滿足:

g(un,um)→0(n,m→∞)．

定義1.3[1]若度量空間(X,g)中所有的基本列(Cauchy列)均收斂,則稱此空間是完備的．

定義1.4[1]設(shè)映射T:(X,g)→(X,g),若對?u,v∈X,均存在0<α<1,滿足不等式

g(Tu,Tv)≤αg(u,v)成立．則稱映射T是一個壓縮映射．

Banach不動點定理[1]若(X,g)是一個完備的度量空間,映射T:(X,g)→(X,g)是一個壓縮映射,則T在空間X上存在唯一的不動點．即,存在唯一的u′∈X滿足u′=Tu′．

2 主要結(jié)論

定理2.1 已知(X,g)是一個完備的度量空間,映射T:X→X滿足:對?u,v∈X,?k∈(0,1)使得不等式g(Tu,Tv)≤kmax{g(u,Tu),g(v,Tv),g(u,v)}成立．則:

g(un,un+1)=g(Tun-1,Tun)≤kmax{g(un-1,un),g(un,un+1),g(un-1,un)}

=kmax{g(un-1,un),g(un,un+1)}

(1)

假設(shè)g(un,un+1)>g(un-1,un),由式(1)知g(un,un+1)≤kg(un,un+1),與0

g(un,un+1)≤kg(un-1,un)≤k2g(un-2,un-1)≤…≤kng(u0,u1)

(2)

對?n,m∈z+,由定義1.1,

g(un,un+m)≤g(un,un+1)+…+g(un+m-1,un+m)

≤(kn+kn+1+…+kn+m-1)g(u0,u1)

(3)

從而知{un}是X中的Cauchy列．又由X的完備性知,設(shè)un→u*∈X．

現(xiàn)證u*是T在X中的不動點．事實上

0≤g(u*,Tu*)≤g(u*,un)+g(un,Tu*)

≤g(u*,un)+kmax{g(un-1,un),g(u*,Tu*),g(un-1,u*)}

≤g(u*,un)+k[g(un-1,un)+g(u*,Tu*)+g(un-1,u*)]

其次,利用反證法證明u*的唯一性．

若?v*∈X(v*≠u*),同時滿足v*=Tv*,則有

0≤g(u*,v*)=g(Tu*,Tv*)

≤kmax{g(u*,Tu*),g(v*,Tv*),g(u*,v*)}=kg(u*,v*)

由0

定理2.2 設(shè)(X,g)是一個完備的度量空間,映射T:X→X滿足:對?u,v∈X,?k∈(0,1) 使得不等式

(A1)T有唯一不動點u*∈X;

證明 對?u0∈X,定義序列un=Tnu0,n=0,1,2,…．則由條件不等式知

(4)

假設(shè)g(un-1,un)≤g(un,un+1),則由(4)式有

(5)

與0

g(un-1,un)>g(un,un+1).

(6)

進(jìn)而得g(un,un+1)≤kg(un-1,un)

(7)

得序列{g(un,un+1)}單調(diào)遞減．并滿足,

g(un,un+1)≤kg(un-1,un)≤k2g(un-2,un-1)≤…≤kng(u0,u1)

(8)

(9)

即{un}是X中的Cauchy列．設(shè)un→u*,由X的完備性知u*∈X．

現(xiàn)證u*是T在X中的唯一不動點．

事實上,首先

進(jìn)而知

g(u*,Tu*)+g(u*,un)+g(un-1,u*)+g(u*,Tu*)]}

整理并結(jié)合(8)式有

(10)

令n→+∞,由0

故u*=Tu*．其次,證明u*的唯一性．

若?v*(≠u*)∈X滿足v*=Tv*,有

整理得 0≤g(u*,v*)≤kg(u*,v*),與0

針對(9)式,令m→+∞可得結(jié)論(A3)．證畢．

注 定理1.1,1.2與主要參考文獻(xiàn)[2]中的主要定理2相比,本文定理中到自身的映射T并不要求其滿足連續(xù)性;另外,本文對算子T的壓縮映射條件較文獻(xiàn)[2]的壓縮條件d(Tx,Ty)≤f(ρ(x,y))ρ(x,Tx)+g(ρ(x,y))ρ(y,Ty)+h(ρ(x,y))ρ(x,y)(其中,f(t)、g(t)、h(t)單調(diào)遞減可微,并滿足f(t)+g(t)+h(t)<1)相比較,條件更簡單,更便于應(yīng)用．同時還給出了對應(yīng)誤差估計不等式．

推論 設(shè)(X,g)是一個完備的度量空間．若存在非負(fù)二元函數(shù)a,b,c滿足不等式sup{a(u,v)+2b(u,v)+2c(u,v)}≤k<1．設(shè)映射T:X→X,對?u,v∈X,?k∈(0,1) 滿足g(Tu,Tv)≤a(u,v)g(u,v)+b(u,v)[g(u,Tu)+g(v,Tv)]+c(u,v)[g(u,Tv)+g(v,Tu)]．

則:(B1)T有唯一不動點u*∈X;

證明 對?u,v∈X,由sup{a(u,v)+2b(u,v)+2c(u,v)}≤k<1及映射T所滿足條件知

由定理2.2的條件即知本推論的結(jié)論成立．證畢．