具有時滯量及阻尼項的非線性雙曲方程的振動性

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(1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,山西 太原 030008；2.山西北方機(jī)械制造有限責(zé)任公司,山西 太原 030009)

近年來,具有時滯量與阻尼項的微分方程振動理論在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用背景,進(jìn)而,該類方程的振動理論取得了長足的進(jìn)展[1～4].對于此類問題,通常采用Philos方法或Riccati變換進(jìn)行研究,這樣判定條件中需引入滿足條件的H函數(shù)或待定函數(shù)φ(x)∈C1([t0,+∞),R+)研究方程的振動性,從而對方程振動性的判定增加了一定難度.本文利用微分不等式方法及微積分技巧討論一類具有連續(xù)時滯量及阻尼項的非線性雙曲方程

(x,t)∈Ω×R+≡G,R+=[0,+∞)

(1)

(2)

1 預(yù)備知識

(A3)m(t)∈C(R+,R+);

(A8)σ(ξ)∈([a,c],R)是非減函數(shù)且(1)中的積分為Stieltjes積分;

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)微分不等式

(3)

無最終正解,則邊值問題(1) (2)的所有解在G內(nèi)是振動的.

利用條件(A2)(A7)可知,總存在t≥t1>μ,使得w(t,ξ)≥μ,τi(t)≥μ,ρj(t)≥μ,則u(x,w(t,ξ))>0,(x,t,ξ)∈Ω×[t1,+∞)×[a,c];u(x,τi(t))>0,u(x,ρj(t))>0,(x,t)∈Ω×[t1,+∞)

在區(qū)域Ω上對方程(1)兩邊關(guān)于x積分得

(4)

由Green公式及邊值條件(2)得

(5)

(6)

利用條件(A3)-(A6)及Jensen′s不等式可得

(7)

(8)

(9)

將(5)-(8)式代入(4)式中并結(jié)合(9)知,當(dāng)t≥t1時有

(10)

由(9)式易知U(t)是微分不等式(3)的一個正解,這恰與定理1矛盾,證畢.

定理2 對于方程(1)(2),假設(shè)條件(A1)-(A8)成立,若滿足

(11)

(12)

則方程(1)(2)的每個解在G內(nèi)是振動的,其中

(13)

(14)

則(13)式可寫為:

(15)

(16)

由(15)(16)式可得

(17)

因此易知V′(t)≤0.

下證,當(dāng)t≥t1>0時,V(t)≥0,Y′(t)≥0.

假若V(t)<0,當(dāng)T≥t1>0時,必有V(T)=a<0

(18)

對(18)式從T到t上關(guān)于t積分可得

(19)

對(19)式取極限并結(jié)合(11)式可知

這與Y(t)≥0矛盾,因此V(t)≥0,從而Y′(t)≥0.

由(14)式與條件(A2)及Y′(t)≥0可知

U(τi(w(t,ξ)))≤Y(τi(w(t,ξ)))≤Y(w(t,ξ))

(20)

(21)

將(21)式代入(17)式得

(22)

(23)

由條件(A7)及Y′(t)≥0易知Y(w(t,ξ))≥Y(w(t,a))

利用上式并結(jié)合(23)式可得

(24)

將(24)式代入(22)式可得

(25)

對(25)式在[T,t]上關(guān)于t積分,可得

(26)

對(26)式取極限并結(jié)合條件(12)有

這與V(t)≥0矛盾,定理2得證.

3 結(jié)束語

本文利用微分不等式方法及微積分技巧給出了一類含有連續(xù)時滯量及阻尼項的非線性雙曲方程振動的兩個充分性判定定理,定理2表明方程的振動性與時滯量τi(t),bi(t),w(t,a)及阻尼項系數(shù)m(t)有關(guān),為某些工程領(lǐng)域的應(yīng)用提供了一定的理論參考,同時,本文的判定定理中無需待定函數(shù)或滿足條件的H函數(shù),條件中出現(xiàn)的量均是方程中的已知參數(shù)或函數(shù),方便非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專業(yè)人員使用.