小波域Wiener濾波和Perona-Malik融合去噪的新算法*

尹 芳，付自如，于曉洋

1.哈爾濱理工大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150080

2.哈爾濱理工大學(xué) 儀器科學(xué)與技術(shù)博士后科研流動站，哈爾濱 150080

1 引言

去噪是圖像預(yù)處理的一個重要課題。由于小波變換具有多分辨率和局部時頻分化的特性，從而能夠做到高頻處時間細(xì)化，低頻處頻率細(xì)分，并且小波變換還能夠直接處理一些圖像特征，便于靈活地搭建各種數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得到廣泛的應(yīng)用。維納濾波是一種基于最小均方誤差準(zhǔn)則，對噪聲敏感的最佳線性濾波器。傳統(tǒng)的小波域維納濾波去噪就是兩種算法融合的一種應(yīng)用，但是該算法的去噪效果不理想，并且存在Gibbs偽影。針對此問題，許多改進(jìn)的去噪算法被研究者提出。文獻(xiàn)[1]提出一種基于小波變換的圖像去噪算法，其思想是利用脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（pulse coupled neural network，PCNN）的同步脈沖特性對圖像小波系數(shù)進(jìn)行局部加窗、加權(quán)處理，結(jié)合維納濾波進(jìn)行局部去噪，并且對每個像素的連接系數(shù)β進(jìn)行修正，以保護(hù)圖像邊緣和細(xì)節(jié)信息，提高圖像質(zhì)量，但是PCNN模型中參數(shù)都需要根據(jù)不同的圖像由經(jīng)驗而定。文獻(xiàn)[2]提出一種基于維納濾波空間域噪聲方差自適應(yīng)的圖像濾波算法，其思想是利用Canny算子把圖像分成平滑區(qū)和邊緣區(qū)，計算各平滑區(qū)域的噪聲方差，并將求得平均值作為平滑區(qū)域的噪聲估計值，進(jìn)行維納濾波去噪處理。該算法只對平滑區(qū)域進(jìn)行去噪，忽略邊緣區(qū)域的噪聲影響，因此僅對邊緣細(xì)節(jié)少的圖像有較好的去噪效果。文獻(xiàn)[3]提出一種模糊濾波器和維納濾波器結(jié)合去噪的方案，其思想是首先由小波變換提取圖像的4個子帶系數(shù)矩陣，然后利用維納濾波器對逼近子帶的小波系數(shù)進(jìn)行去噪，水平、垂直、對角方向的子帶系數(shù)則由模糊濾波器處理。該算法雖然圖像質(zhì)量得到提升，但是小波系數(shù)不連續(xù)，圖像的低頻區(qū)仍存在Gibbs偽影。文獻(xiàn)[4]將含噪圖像進(jìn)行小波分解，利用改進(jìn)的維納濾波窗口對高頻小波分量去噪，使用綜合的偏微分方程模型對處理后的圖像進(jìn)行二次去噪，去除Gibbs偽影，但該算法計算復(fù)雜，且偏微分方程迭代次數(shù)過多，造成圖像部分呈現(xiàn)階梯效應(yīng)。文獻(xiàn)[5]提出基于雙樹復(fù)小波變換的維納濾波收縮去噪技術(shù)，其思想是把雙樹復(fù)小波變換的強方向、多尺度平移不變性同維納濾波的局部強處理能力融合進(jìn)行去噪。該算法雖然可避免圖像產(chǎn)生Gibbs偽影，使得圖像質(zhì)量得到提高，但是由于雙樹復(fù)小波變換去噪會得到大量冗余信息，造成該算法的時間性能差。文獻(xiàn)[6]利用小波在單尺度上的平移不變性，采用軟硬閾值收縮小波系數(shù)后重構(gòu)新的信號，其思想是通過周期性的變換-去噪-變換方式獲得大量小波系數(shù)，使其平均值作為最終的小波系數(shù)。雖然小波基之間的關(guān)聯(lián)性得到減弱，但是該算法僅對一維信號的去噪效果有明顯作用，而對二維多尺度圖像的去噪效果就不明顯。文獻(xiàn)[7]在小波域采用局部維納濾波器平滑該區(qū)域的塊效應(yīng)，并根據(jù)領(lǐng)域方差大小自適應(yīng)調(diào)整像素的處理方式以達(dá)到保護(hù)細(xì)節(jié)的目的。雖然塊效應(yīng)與偽Gibbs效應(yīng)都是因小波系數(shù)不連續(xù)造成圖像重構(gòu)產(chǎn)生的偽影，但在Gibbs偽影抑制方面得不到理想的效果。上述去噪算法各有千秋和不足，在圖像去噪領(lǐng)域提供了新的思路。

近年來偏微分方程去噪算法得到迅速發(fā)展，它通常對采樣信號進(jìn)行局部熱擴散，經(jīng)過多次迭代運算后逼近得到去噪的圖像，從而該算法具有良好地光滑信號的作用，對Gibbs偽影有很好的抑制能力，但若圖像去噪迭代次數(shù)過多，則會產(chǎn)生階梯效應(yīng)。本文將小波域維納濾波作為圖像去噪的迭代基，迭代過程中加入自適應(yīng)的噪聲權(quán)系數(shù)η以保護(hù)圖像信息不遭受過多損失，并修正去噪量的大小。由于閾值收縮去噪的圖像去除小值小波系數(shù)后，圖像在重構(gòu)時易在邊緣等奇異處引起震蕩從而產(chǎn)生Gibbs偽影，最后使用Perona-Malik[8]算法作為本文算法的后處理階段去除偽Gibbs效應(yīng)。

2 偏微分方程去噪算法

Perona-Malik[8]是由Perona和Malik基于偏微分方程各向同性擴散提出來的各向異性擴散模型，其迭代表達(dá)式為：

其中，?y為梯度，值為；div表示擴散算子；g是與梯度成反比的函數(shù)，稱為擴散系數(shù)。g在0處等于1，而在無窮處等于0，由于圖像邊緣的梯度很大，此時g很小，則擴散較弱；圖像同質(zhì)區(qū)域的梯度較小，此時g很大，則擴散較強。該算法可以實現(xiàn)在同質(zhì)區(qū)域圖像被平滑，而在邊緣區(qū)域圖像細(xì)節(jié)保持不變，但其在同質(zhì)區(qū)域處又有可能把噪聲當(dāng)作邊緣而造成階梯偽影，降低了圖像的主觀質(zhì)量。因此偏微分方程對閾值收縮去噪產(chǎn)生的Gibbs偽影有很好的抑制作用，但若去噪中迭代次數(shù)過多則很大可能產(chǎn)生階梯效應(yīng)。

3 小波域維納濾波去噪算法

圖1去噪方程可表示為y=y0-h，其中：y0為原含噪圖像，h表示方差為?2的零均值高斯噪聲。令W為小波變換中的變換矩陣，由小波正交性變換可得Y=Y0-H，其中Y=Wy，Y0=Wy0，H=Wh，H表示小波域上方差為?2的零均值高斯噪聲。由小波變換原理可知，H與Y0是互為不相關(guān)的，因此小波域上的維納濾波系數(shù)的形式可簡化為標(biāo)量關(guān)系，如式（2）：

Fig.1 Denoising process of wavelet domain Wiener filter圖1 小波域維納濾波去噪的過程

E可利用及其領(lǐng)域值估計得到，不失一般性，可以利用一個(2R+1)×(2R+1)方形窗中的平均值求得：

即將qi,j作為的近似估計值，把qi,j代入式（3）可得：

維納濾波的系數(shù)可由式（5）代入到式（2）中得到：

4 融合去噪新方案

4.1 小波域維納濾波和Perona-Malik融合算法

本文將對含噪圖像y0做連續(xù)的迭代，小波域維納濾波被視為一種擴散迭代基（即在每個迭代階段采用不同的小波系數(shù)，以使圖像得到不同尺度的處理），迭代中噪聲權(quán)系數(shù)η起到修正?2大小及保護(hù)圖像信息的作用，最后迭代得到的圖像yn再由Perona-Malik[8]算法進(jìn)行二次去噪，平滑偽Gibbs效應(yīng)。本文將此算法稱為小波域維納濾波和Perona-Malik融合算法（wavelet-domain Wiener withPerona-Malikfusion，WWPM），其算法流程如圖2所示。

圖2中A算法為迭代的小波域維納濾波，ηi(i=0,1,…)為迭代階段的噪聲權(quán)系數(shù)，它是由η權(quán)值生成器產(chǎn)生的。式（7）是本文算法給出的圖像去噪方程：

式中，η表示噪聲權(quán)系數(shù)。將圖像關(guān)系式（7）變換到小波域上的迭代方程為：

Fig.2 Process of this paper algorithm圖2 本文算法流程圖

x表示(i,j)像素點處的第m層小波分解，這里記為x(m:i,j)；k表示第k次迭代。根據(jù)小波變換的正交性原理可知，在各次迭代中方差為的零均值高斯噪聲經(jīng)小波變換到小波域里仍是方差為的零均值高斯噪聲；因小波變換具有去相關(guān)性，可假設(shè)信號成分(Yk)i,j(x)(k=0，1,…)相互獨立。

小波域上的維納濾波系數(shù)的形式簡化為標(biāo)量關(guān)系如下：

從而維納濾波各系數(shù)可由式（12）代入式（9）中得：

將ei,j帶入式（10）可重構(gòu)去噪圖像，如此迭代n次得到的最后重構(gòu)圖像極有可能產(chǎn)生偽Gibbs效應(yīng)。由于Gibbs偽影是一種明顯的振動不光滑信號，可由Perona-Malik[8]算法進(jìn)行二次去噪，去除Gibbs偽影。

4.2 噪聲權(quán)系數(shù)的產(chǎn)生

由式（6）可知，信號方差的估算對局部維納濾波性能有很大的影響作用。然而，由于噪聲的影響，這種估算必然不精確。從整體來看，圖像的高斯白噪聲均值雖然為0，但是決不能由此得出局部窗內(nèi)高斯白噪聲的均值也為0。而式（5）是假定局部窗內(nèi)噪聲均值為0的，這顯然不能很好地符合事實，于是在式（6）中，局部維納濾波中引入修正因子是很有必要的。

噪聲權(quán)系數(shù)η的確定是根據(jù)本次得到的重構(gòu)圖像領(lǐng)域的內(nèi)子帶的邊緣標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值DMAP與前一次迭代的最佳估計值Dopt進(jìn)行比較得到的。參數(shù)η能夠起到保護(hù)細(xì)節(jié)和對噪聲方差?2修正的作用，η越小，保護(hù)細(xì)節(jié)的能力就越強，但是抑噪能力就越弱，反之η越大，抑噪能力就越強，但是保護(hù)細(xì)節(jié)的能力就越弱。由式（7）和（8）可知，若使yk+1圖像信息更加真實，Hk和η值的確定就顯得尤為重要。小波域中噪聲權(quán)系數(shù)定義公式為：

其中，η0表示η的初始給定值；ηv表示控制η增大速度的參數(shù)；t表示η的優(yōu)化次數(shù)。

η值的確定思想：分別計算本次迭代得到的重構(gòu)圖像領(lǐng)域的內(nèi)子帶的邊緣標(biāo)準(zhǔn)差估計值的后驗概率和前一次迭代的最佳估計值的后驗概率Popt：

式中，w為真實小波系數(shù)；P(w)為小波系數(shù)w的先驗分布；P(D(t))為第t次優(yōu)化后的當(dāng)前邊緣標(biāo)準(zhǔn)差的概率，若P(D?(t)/w)＞ηPopt，則t.加1，否則就保持不變，由此可以優(yōu)化計算出參數(shù)η。

Fig.3 Optimization of?MAP圖3 ?MAP的優(yōu)化

該算法的優(yōu)化示意圖如圖3所示，領(lǐng)域內(nèi)子帶的邊緣標(biāo)準(zhǔn)差估計值是利用上述思想求得η的關(guān)鍵。求解值的估計思想為：大量自然圖像的小波系數(shù)具有非高斯特性，各細(xì)節(jié)子帶的小波系數(shù)都基本在0附近對稱分布，這種分布可近似由拉布拉斯描述[9-11]，因此本文將子帶內(nèi)小波系數(shù)視為不同邊緣標(biāo)準(zhǔn)差的拉普拉斯分布，而邊緣標(biāo)準(zhǔn)差又假設(shè)為其強局部相關(guān)的隨機變量，從而以當(dāng)前系數(shù)為中心，可利用其鄰域窗口中的小波系數(shù)來估計當(dāng)前系數(shù)的邊緣標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而可得有局部特性的MAP估計值。計算局部系數(shù)邊緣標(biāo)準(zhǔn)差MAP估計值D?MAP步驟如下。

步驟1設(shè)噪聲h（高斯噪聲）概率密度分布為：

步驟2要計算出邊緣標(biāo)準(zhǔn)差的值，首先須對小波系數(shù)w做MAP估計，而在給定小波觀測系數(shù)y的情況下，可計算出使后驗概率密度Pw|y(w|y)最大時的w估計值：

步驟3每一個含噪觀測子帶的方差估計可采用最大似然估計方法得到：

式中，N表示窗口中小波系數(shù)的個數(shù)；M(i)表示y的領(lǐng)域窗口。則當(dāng)前系數(shù)的邊緣標(biāo)準(zhǔn)差估計為：

式中，可采用Donoho提出的魯棒性中值估計[12]。已知噪聲方差?h為:

模型邊緣標(biāo)準(zhǔn)差以子帶為單位進(jìn)行估計，則拉普拉斯分布的邊緣標(biāo)準(zhǔn)差?計算如下：

5 仿真實驗

5.1 實驗重要部分說明

為驗證本文方法的有效性設(shè)計實驗如下：以圖4中的加噪圖像降噪處理為例進(jìn)行Matlab仿真實驗，實驗采用大小均為512×512像素的圖像。在實驗中的小波域維納濾波去噪階段，設(shè)n=5，即圖2中yn為y5，小波域維納濾波共迭代5次，各個迭代階段依次選取的小波基為sym9、sym7、sym5及sym3、sym1，而在每次小波變換中圖像又被分解5層，本文使用F1=[7,7,5,5,3]來表示第一次迭代中的各層正方形卷積窗口，其中7、7、5、5、3依次為第一層、第二層、第三層、第四層、第五層窗口的大小。同樣記法，則第二、三、四、五次迭代各層中的窗口大小可依次記為F2=[7,5,5,3,3]、F3=[5,5,3,3,3]、F4=[5,3,3,3,3]、F5=[3,3,3,3,3]。鑒于η值主要受優(yōu)化次數(shù)t的影響，則η值確定的時間復(fù)雜度是O(n2)；考慮到ηv可任意取值的情況，t可能會使得的比較結(jié)束之后過大，不易控制，這里取ηv=1.5η0，增強其可操作性，以便降低實驗的復(fù)雜性，保證其時間性能。在小波域維納濾波去噪階段結(jié)束后，采用Perona-Malik[8]算法對圖像yn進(jìn)行二次去噪，由經(jīng)驗驗證該算法只需采取3次迭代。

針對圖4中所有仿真圖像的類型特點及去噪難度進(jìn)行如下說明：Angle、House等圖像具有平滑區(qū)域多，邊緣、細(xì)節(jié)少的特點，此類圖像的信號易于噪聲區(qū)別，去噪過程應(yīng)該主要進(jìn)行低通濾波；Lena、Agriculture、Chili等圖像具有平滑區(qū)和邊緣區(qū)較多，細(xì)節(jié)、紋理較少的特點，此類圖像的信號與噪聲較易區(qū)別，去噪相對容易；Hair、Boat、Racetrack、Barbara、Orangutan等圖像具有豐富的細(xì)節(jié)、紋理特點，此類圖像去噪比較難，這是因為去噪時細(xì)節(jié)很容易和噪聲混淆，造成圖像信息損失。

5.2 實驗中η的確定

由4.2節(jié)可知，若η初值較大就會失去其優(yōu)化噪聲量的意義，甚至對圖像信息造成損失，因此實驗中η0的確定思路是：鑒于η0與η呈正相關(guān)，則首先給定參數(shù)η0一個較小值，然后η0以步長d0=0.2增大。實驗中取得的部分峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）如表1所示，處理后相應(yīng)的圖像如圖5所示。實驗的其他數(shù)據(jù)環(huán)境如5.1節(jié)所述，結(jié)合表1與圖5進(jìn)行如下描述：

Fig.4 Original images and noise images圖4 原始圖與加噪圖

（1）從表1中可以看出，在η0逐漸變大的情況下Angle、Boat、Chili和 Hair的序號為 1～3的圖像的PSNR值是不斷增大的，序號為4～5的圖像的PSNR值開始遞減。

Table 1 PSNR values of images byWWPM in the case ofη0表1 在η0給定值下圖像經(jīng)WWPM算法得到的PSNR值

（2）從圖5中各個圖像處理后的主觀效果可看出，Angle、Boat、Chili和Hair的1～3序號圖像的噪聲不斷減少并且Gibbs偽影逐漸變淡，圖像細(xì)節(jié)也不斷地清晰可見，但是序號為4～5的Hair、Boat、Angle圖像，圖像的細(xì)節(jié)清晰度就明顯不如序號為3的圖像。

上述結(jié)果可做如下分析：在η值確認(rèn)階段，D?MAP估計值的優(yōu)化次數(shù)t大于給定的小波系數(shù)觀察值y的個數(shù)，從而使得η值偏小，即η0=0.6時，Angle、Boat、Chili和Hair的PSNR值偏小，而當(dāng)η0=1.4 時，η0的初始值較大，從而η值偏大，使得Angle、Boat、Chili和Hair的PSNR值偏小。由表1可知，η0最佳取值范圍是(0.8,1.2)。

5.3 實驗結(jié)果展示

Fig.5 Images of optimal PSNR value by WWPM with different parameters in Table 1圖5 WWPM算法在表1中不同參數(shù)下最佳PSNR值時的圖像

本文與其他參考文獻(xiàn)的算法分別對含有不同零均值方差的高斯噪聲的兩組圖像去噪：含有方差為25 dB的Angle、Hair、House、Lena圖像組和含有方差為20 dB的Chili、Agriculture、Racetrack、Orangutan圖像組。圖6中（a）、（b）、（c）、（d）、（e）為兩組中含噪圖像被不同算法處理后取得表2中最佳峰值信噪比（PSNR）時的圖像組。其中圖組（a）是由小波域維納濾波去噪算法（文獻(xiàn)[13]）處理后的圖像組；圖組（b）是由Perona-Malik[8]算法去噪后的圖像組；圖組（c）是本文算法去噪后的圖像組（參數(shù)為η0=0.85,ηv≈1.27，t=28，其他數(shù)據(jù)環(huán)境如5.1節(jié)所述）；圖組（d）是 ProbShrink[14]算法處理后的圖像組；圖組（e）是文獻(xiàn)[15]算法去噪后的圖像組。去噪后圖像的主觀效應(yīng)有以下三點可述：

（1）圖組（b）中Angle、Hair、House、Lena、Barbara、Agriculture、Racetrack、Orangutan圖像有明顯的細(xì)節(jié)丟失現(xiàn)象；圖組（a）、（d）、（e）中Hair、Racetrack、Barbara圖像在細(xì)節(jié)保護(hù)方面基本相當(dāng)，且細(xì)節(jié)明顯比圖組（b）的圖像豐富，沒有明顯丟失現(xiàn)象，但在Orangutan圖像的眼睛和胡須周圍有明顯丟失少許細(xì)節(jié)的現(xiàn)象，這是由于噪聲與眼睛和胡須周圍的微小細(xì)節(jié)混淆而造成細(xì)節(jié)丟失；而圖組（c）全體圖像細(xì)節(jié)保存得相對較好。

（2）圖組（b）、（c）中全體圖像基本上去除Gibbs偽影；而圖組（a）中Angle、Hair、Lena、Barbara、Orangutan圖像仍有較為明顯的偽Gibbs效應(yīng)，這是由于小的維納濾波系數(shù)被直接歸零造成小波重構(gòu)后產(chǎn)生偽Gibbs效應(yīng)；圖組（d）、（e）中Hair、Barbara、Orangutan圖像均有輕微的Gibbs偽影。

（3）根據(jù)表2中圖像處理后的PSNR數(shù)值對比表明，本文算法在圖像質(zhì)量提升方面優(yōu)于另外4種算法，即從主客觀上都能夠說明本文算法具有良好的去噪和抑制偽Gibbs效應(yīng)的能力。

Fig.6 Images of optimal PSNR value of each method in Table 2圖6 表2中各算法的最佳PSNR值時的圖像

Table 2 Comparison of optimal PSNR and MSE values by difference methods表2 各種算法下的最佳PSNR和MSE值對比

Table 3 Denoising time of difference methods表3 不同算法下的去噪時間

表3是不同算法在同一臺計算機上運行所花費的CPU時間。根據(jù)表中Average可以看出，文獻(xiàn)[13]算法（即小波域維納濾波）所花費的時間最少，平均時間為0.214 1 s，但是該算法的去噪效果很差。在其余方法中，Perona-Malik[8]算法花費的平均時間最長，為5.518 8 s，這是因為所測試的圖像中包含細(xì)節(jié)信號的圖像要多一些，使得在細(xì)節(jié)系數(shù)估計上花費更多的時間。對于本文算法、ProbShrink算法[14]、文獻(xiàn)[15]算法而言，盡管本文算法運行時間比ProbShrink算法[14]、文獻(xiàn)[15]算法多一點，但是其處理的圖像效果卻比較好，這點花費是值得的。

6 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)的小波域維納濾波去噪效果不理想，并存在Gibbs偽影的問題，提出以小波域維納濾波為迭代基，迭代過程中又通過噪聲權(quán)系數(shù)自動修正去噪量，最后使用3次Perona-Malik[8]算法平滑小波重構(gòu)后產(chǎn)生的Gibbs偽影的方案。實驗結(jié)果表明本文算法既能去除高斯噪聲，又能有效地去除因小波重構(gòu)后產(chǎn)生的偽Gibbs效應(yīng)，很好地保護(hù)了圖像細(xì)節(jié)和邊緣信息，得到高質(zhì)量的圖像視覺效果。雖然本文算法在時間性能上不是很好，但是在圖像處理效果方面比小波域維納濾波[13]、Perona-Malik[8]、ProbShrink[14]和文獻(xiàn)[15]算法等優(yōu)越不少。本文算法對于噪聲是廣義平穩(wěn)隨機過程的圖像有良好的去噪效果，應(yīng)用到磁共振取像中能很好地保持圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)信息。

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