淺談數(shù)學(xué)思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張卿

摘 要：數(shù)學(xué)在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生活中的應(yīng)用越來越廣。數(shù)學(xué)對人的理性思維和智力的發(fā)展起著舉足輕重的作用，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，也是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，因此，高等數(shù)學(xué)教育不僅要重視知識(shí)的傳播，更要注重?cái)?shù)學(xué)思想、方法的介紹，在教學(xué)中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想 高等數(shù)學(xué) 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）12（b）-0-02

1 問題的提出

隨著高校連續(xù)擴(kuò)招，高等教育從精英型向大眾化轉(zhuǎn)變，在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中聽到學(xué)生說到最多的一句話是：“學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用”？的確，大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容大部分還是18、19世紀(jì)的數(shù)學(xué)，課程內(nèi)容強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的連續(xù)性和嚴(yán)密的邏輯推理，但形式化和嚴(yán)格化的知識(shí)體系不是我們要教給學(xué)生的最本質(zhì)的東西，最本質(zhì)的應(yīng)該是數(shù)學(xué)的思想，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)和應(yīng)用技能。著名數(shù)學(xué)教育家、學(xué)者米山國藏曾說：“不論是科學(xué)專家、技術(shù)人員還是從事數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，數(shù)學(xué)最高的追求是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)知識(shí)只是次要的”[1]。因此，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中既要重視知識(shí)的傳授，更要重視數(shù)學(xué)思想的滲透。

2 數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵

邵光華教授認(rèn)為：“從數(shù)學(xué)教育方面來講，數(shù)學(xué)思想應(yīng)被理解為更高層次的理性認(rèn)識(shí)，那就是對于數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法進(jìn)一步的抽象和概括”[2]。而所謂數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想，換言之，數(shù)學(xué)思想是人們認(rèn)識(shí)、理解、掌握數(shù)學(xué)的意識(shí)，它主要包括函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與分步思想、歸納類比思想、轉(zhuǎn)化歸納思想、概率統(tǒng)計(jì)思想等數(shù)學(xué)思想。這些思想在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它們的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的探索精神和唯物辯證、創(chuàng)新進(jìn)取精神。

3 數(shù)學(xué)思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 注重類比思想的運(yùn)用，讓學(xué)生掌握知識(shí)間的聯(lián)系

類比思想是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，推知它們在其他方面也可能相似或相同的一種思想方法[3]。它為人們的思維過程提供了廣闊的天地，是一種常見的數(shù)學(xué)思想。比如高等數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容是微積分，主要是一元微積分與多元微積分，相對于一元函數(shù)微積分，多元微積分的內(nèi)容有與之相似之處，因此，授課中注意復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)，多使用類比的數(shù)學(xué)思想，降低難度。比如講到鄰域、多元函數(shù)的概念、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、積分等概念時(shí)，形式上與一元相似，因此授課過程先復(fù)習(xí)一元的相關(guān)知識(shí)，通過類比得到多元函數(shù)的相關(guān)概念，這樣既復(fù)習(xí)了已學(xué)知識(shí)，又便于掌握新知識(shí)，會(huì)收到事半功倍的效果。由于多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣和發(fā)展，又會(huì)多出一些新的問題，內(nèi)容上更為抽象和復(fù)雜，授課中多對比，復(fù)習(xí)一元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系，再類比多元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)、可導(dǎo)（偏導(dǎo)存在）、可微的關(guān)系，通過類比發(fā)現(xiàn)它們的相似與不同，從而更好的掌握所學(xué)知識(shí)。

3.2 注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，使知識(shí)化難為易

數(shù)學(xué)研究總是圍繞著數(shù)與形來進(jìn)行的。數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對象。所謂數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，其關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在數(shù)學(xué)題目中，為了將問題簡單化，經(jīng)常將數(shù)學(xué)圖形與數(shù)量關(guān)系相互轉(zhuǎn)化。積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容之一，涉及到定積分，重積分、線積分、面積分，利用對稱性來計(jì)算這些積分是一種常用的方法，能大大簡化計(jì)算，而這里的對稱性就是利用其幾何意義結(jié)合積分區(qū)間（區(qū)域）的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性得到的，利用好這點(diǎn)對大大簡化某些積分的計(jì)算，更好地掌握積分的知識(shí)。比如計(jì)算定積分一般情況下通過三角代換求得，比較麻煩，但借助幾何意義可知它表示半徑為的1/4圓的面積，這樣容易求出。再有求拋物線與直線所圍平面圖形的面積，解這種問題關(guān)鍵畫出所圍平面圖形，因此首先解得它們的交點(diǎn)，再畫出圖形，轉(zhuǎn)化為定積分求解。這種結(jié)合交點(diǎn)畫出圖形正體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想，可見運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合思想，可以大大提升解題速度，開闊解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

3.3 注重辨證思想的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀

高等數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵著極其豐富的辨證思想，主要體現(xiàn)在宏觀與微觀、有限與無限、變與不變等。因此在教學(xué)中，教師若注重辨證思想的運(yùn)用，處理好教學(xué)中各種矛盾之間的辨證關(guān)系，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維能力，更重要的是有助于學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)和科學(xué)的世界觀。比如：無窮級(jí)數(shù)在收斂的情況下其和為有限值，曲邊梯形的面積通過以“直”代“曲”求得，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程通過以“不變”代“變”求出等，高等數(shù)學(xué)中這樣的例子比比皆是，體現(xiàn)了有限與無限、直與曲，不變與變等辯證思想。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，注意以辨證法為指導(dǎo)思想，正確處理好教學(xué)中各種矛盾之間的辨證關(guān)系，從而使學(xué)生更好地理解、掌握所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生的辨證思維能力得到訓(xùn)練，提升教學(xué)效果。

3.4 注重概率思想的運(yùn)用，開闊解題思路

概率思想也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，所謂概率思想就是將所研究的問題轉(zhuǎn)化為用概率的知識(shí)解決問題的一種思想方法。有些高等數(shù)學(xué)的問題直接用高等數(shù)學(xué)的計(jì)算方法很難解決，即便能夠計(jì)算出結(jié)果，步驟也相當(dāng)繁瑣，但是如果應(yīng)用概率思想往往使復(fù)雜的問題變得迎刃而解。

比如計(jì)算廣義積分如果按高等數(shù)學(xué)的方法求原函數(shù)的增量的極限很難湊效，但我們知道被積函數(shù)

乘以就為隨機(jī)變量正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，這樣

就可以由密度函數(shù)的規(guī)范性容易求解，正

所謂山重水復(fù)，柳暗花明?？梢姡m時(shí)滲透概率思想，既開闊了解題思路又提高我們的思維品質(zhì)、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

3.5 注重極限思想的運(yùn)用，將復(fù)雜的問題簡單化

極限是研究高等數(shù)學(xué)的一種重要方法，貫穿高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系的始終，也可以說“高等數(shù)學(xué)就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科”。因此，極限思想在高等數(shù)學(xué)中處處可見。所謂極限思想是指用極限概念分析問題和解決問題的一種重要思想。高等數(shù)學(xué)中從數(shù)列極限定義的引入——?jiǎng)⒒盏母顖A術(shù)，到導(dǎo)數(shù)的定義、定積分的定義，級(jí)數(shù)的收斂問題、線面積分、重積分等等無一不留下極限思想的影子，利用極限將看似無法解決的問題轉(zhuǎn)化為能解決的問題。

除了以上談到數(shù)學(xué)思想外，建模思想，化歸思想等也是高等數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，使其在日后的深入學(xué)習(xí)及實(shí)際解題過程當(dāng)中能夠潛移默化地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維方式，提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1] （白）米山國藏，著.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].毛正中，美素華，譯.成都：四川教育出版社，1986：27.

[2] 邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：138-139.

[3] 張友梅.類比思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].開封教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（4）：124-125.