基于數(shù)學(xué)軟件的阿基米德螺線切線計(jì)算與分析

邵一恒

摘 要：通過運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件，按照中學(xué)課程中導(dǎo)數(shù)求解的思路，簡(jiǎn)便實(shí)現(xiàn)阿基米德螺線切線的計(jì)算，并對(duì)驗(yàn)證結(jié)果進(jìn)行分析得出結(jié)論，為拓展中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法提供參考。

關(guān)鍵詞：阿基米德螺線；導(dǎo)數(shù)；數(shù)學(xué)教學(xué)；Mathematica；交互

一、阿基米德螺線的描述與公式

阿基米德螺線是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的一種螺旋曲線，它的描述形式為：一個(gè)點(diǎn)勻速離開一個(gè)固定點(diǎn)的同時(shí)又以固定的角速度繞該固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡。阿基米德螺線簡(jiǎn)化后的極坐標(biāo)方程式為r=a*θ。

其中r表示的是動(dòng)點(diǎn)距圓心的距離，a表示的是每旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)過的距離，θ表示射線旋轉(zhuǎn)過的角度。

想要得到指定θ角度的切線方程，分析多個(gè)周期間切線的位置關(guān)系，這樣的問題就屬于典型的極坐標(biāo)曲線求切線的問題，通過導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法可以簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)。

二、極坐標(biāo)曲線切線計(jì)算的步驟和方法

極坐標(biāo)曲線的切線計(jì)算可以按照下面的步驟來進(jìn)行：

1.將極坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系公式：x=a*θ*Cos（θ）；y= a*θ*Sin（θ）。

2.分別對(duì)x（θ）、y（θ）函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到x′（θ）、y′（θ），二者相除可以得到切線的斜率公式：k=y′（θ）/x′（θ）。

3.按照指定的角度θ0代入直角坐標(biāo)公式和斜率公式組成切線方程：

y-a*θ0*Cos（θ0）=k*（x-a*θ0*Sin（θ0））

函數(shù)求導(dǎo)和切線方程的建立是整個(gè)計(jì)算中的難點(diǎn)，但通過引入數(shù)學(xué)軟件，以上問題都可以很好地得到解決。

三、Mathematica軟件的基本用法

Mathematica是一款非常專業(yè)的科學(xué)計(jì)算軟件，具有非常強(qiáng)大的數(shù)值和符號(hào)計(jì)算功能，它與MATLAB和Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。Mathematica軟件簡(jiǎn)便易用，它的書寫形式更接近于自然語(yǔ)言，適合進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)與驗(yàn)證。

在Mathematica中對(duì)公式求導(dǎo)是通過D[ ]函數(shù)來實(shí)現(xiàn)[1]，以阿基米德螺線切線斜率的計(jì)算為例，通過以下的代碼即可實(shí)現(xiàn)斜率公式的推導(dǎo)：

Clear[r，a，θ，k，t，x]

r=a*θ；（*阿基米德螺線公式*）

dx=D[r*Cos[θ]，θ]；

dy=D[*Sin[θ]，θ]；

k=dy/dx（*切線斜率*）

t=k*（x-r*Cos[θ]）+r*Sin[θ]（*切線公式*）

運(yùn)行以上代碼可以得到斜率及切線的公式：

out[574]=阿基米德螺紅切線公式

直線的顯示可以用Plot[ ]函數(shù)，曲線的顯示使用ParametricPlot[ ]函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。

Mathematica中的坐標(biāo)系和日常教學(xué)中的坐標(biāo)系是完全一致的，角度是按逆時(shí)針方向增長(zhǎng)，函數(shù)中的角度值均按弧度值來取值。由于在x軸正方向上，每旋轉(zhuǎn)一周，動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)2*Pi*a的距離，若將a取值為50/Pi，則曲線與正向x坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是100的整數(shù)倍。

在切線公式代碼的基礎(chǔ)上，添加以下代碼進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)試：

a=50/Pi；θ=1*Pi；k，t，f1=Plot[t，{x，-30a，30a}]；

θ=2*Pi；k，t，f2=Plot[t，{x，-30a，30a}]；

Aspiral=ParametricPlot[{a*x*Cos[x]，a*x*Sin[x]}，{x，0，6Pi}]；

Show[Aspiral，f1，f2]

Mathematica軟件會(huì)將運(yùn)行過的計(jì)算公式保存在內(nèi)存中，對(duì)變量直接賦值，直接引用公式項(xiàng)，如上圖中的k項(xiàng)和t項(xiàng)，則可以輸出計(jì)算結(jié)果。

四、計(jì)算結(jié)果的分析

通過設(shè)定不同的θ角度值，執(zhí)行代碼，可以看到不同的運(yùn)算結(jié)果。

θ角度值為零時(shí)，切線與x軸重合，這符合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的初始設(shè)定，即動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)開始向x軸正方向勻速移動(dòng)，同時(shí)按照逆時(shí)針方向（角度增大的方向）旋轉(zhuǎn)，最后形成阿基米德螺線的軌跡。

在以上的實(shí)驗(yàn)中，θ角按照Pi為間隔進(jìn)行測(cè)試，斜率k的值“恰好”等于θ角度值。若以Pi/2為間隔，可以得到更具普遍性的結(jié)論：k值的變化不是均勻的，與θ值沒有直接的對(duì)等關(guān)系，k值的正負(fù)值變化能很好地說明這一點(diǎn)。

在阿基米德“論螺線”的命題18，19中提到，當(dāng)旋轉(zhuǎn)完一個(gè)完整周期時(shí)（θ=2Pi），繪制的切線與y軸的交點(diǎn)距原點(diǎn)的距離等于以動(dòng)點(diǎn)到圓心距離為半徑的圓弧的周長(zhǎng)。并且以后每個(gè)完整周期都符合這個(gè)規(guī)律。

按照實(shí)驗(yàn)中的參數(shù)來看，第一圈的半徑等于100，圓周長(zhǎng)為200Pi，與y軸的交點(diǎn)為（0，-200Pi），距離原點(diǎn)距離符合命題中的結(jié)論。x軸方向距離成倍增加時(shí)，y軸負(fù)方向距離也成倍增加，因此證明命題18，19是準(zhǔn)確的。

若θ角度值不是2Pi的整數(shù)倍，則可以很容易地發(fā)現(xiàn)命題18，19中的規(guī)律是不適用的。比如當(dāng)θ角度為3Pi時(shí)，實(shí)驗(yàn)中的切線公式為y=3Pi（150+x），很顯然（x軸距離的2Pi倍）150*2Pi不等于（y軸距離）3Pi*150。因此，“論螺線”的命題18，19僅適用于θ角度值為2Pi整數(shù)倍的情況。

通過間隔為2Pi的切線斜率可以看到，每增加一個(gè)周期，斜率也會(huì)同步增加，因此，各條切線之間是不平行的，因此在大多數(shù)情況下x軸與y軸交點(diǎn)間的距離沒有固定的比例關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

章美月，劉海媛，金花.Mathematica數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].徐州：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2013.

編輯 李博寧