基于正交匹配追蹤算法的語(yǔ)音信號(hào)重構(gòu)研究

陳 益，李文鈞

(杭州電子科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

上世紀(jì)以來(lái)，奈奎斯特采樣定理[1]支配著所有的信息傳輸、處理及存儲(chǔ)。若要不失真地重構(gòu)出原信號(hào)，采樣頻率必須不小于奈奎斯特頻率的兩倍[2]。但由于采樣頻率越來(lái)越高，計(jì)算量越來(lái)越大，導(dǎo)致硬件的處理速度難以滿(mǎn)足現(xiàn)代人對(duì)信息處理的要求。

2006年美國(guó)斯坦福大學(xué)的Donoho和Candes從信號(hào)的分解和逼近理論提出了壓縮感知(Compressed Sensing,CS)[3]。壓縮感知理論認(rèn)為：若信號(hào)在某一個(gè)變換域上是可壓縮的或者稀疏的，則可利用一個(gè)與它的變換基不相關(guān)的觀(guān)測(cè)矩陣將其變換而得到的高維度的信號(hào)投影到一個(gè)低維度的空間上，根據(jù)少量的觀(guān)測(cè)值，通過(guò)求解其優(yōu)化性的問(wèn)題，并可從少量的投影中以非常高的概率重構(gòu)出原始信號(hào)。

目前，壓縮感知理論在許多領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用研究，如醫(yī)學(xué)圖像處理、CS雷達(dá)、圖像采集設(shè)備開(kāi)發(fā)等。目前，針對(duì)語(yǔ)音信號(hào)的CS理論研究尚處于剛起步的階段。Gemmeke和Granen利用CS技術(shù)原理對(duì)有噪聲的環(huán)境下的語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行識(shí)別，實(shí)驗(yàn)證明，識(shí)別系統(tǒng)的抗噪聲性能得到很大提高，顯示出CS技術(shù)在語(yǔ)音信號(hào)處理中的巨大前景[4]。進(jìn)一步說(shuō)，如果利用CS技術(shù)進(jìn)行采樣，所需采樣的數(shù)據(jù)量將大為減少，再結(jié)合有損編碼技術(shù)，即可以實(shí)現(xiàn)更低碼率上的高質(zhì)量語(yǔ)音編碼。

本文提出基于正交匹配追蹤算法(OMP)[5]的壓縮感知重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)對(duì)語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，相比于傳統(tǒng)的壓縮感知的重構(gòu)算法，本方法對(duì)含噪語(yǔ)音的去噪效果也會(huì)更好，重構(gòu)語(yǔ)音的效果會(huì)更高。

1 壓縮感知

壓縮感知以信號(hào)的稀疏表示為基礎(chǔ)，通過(guò)求解欠定線(xiàn)性方程組的最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)而來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)重構(gòu)，觀(guān)測(cè)矩陣、稀疏變換基和恢復(fù)算法是其三大要素。壓縮感知是一種新的能夠在采樣的同時(shí)實(shí)現(xiàn)壓縮目的的技術(shù)。其壓縮的采樣過(guò)程可以分成3個(gè)步驟，其理論框圖如圖1所示。

首先，如果一個(gè)信號(hào)X∈RN在某個(gè)正交基上或者是在一個(gè)緊框架ψ上是能夠被壓縮的或者是稀疏的，就可以求出它的變換的系數(shù)θ=ψTX，θ是ψ的等價(jià)或逼近性的稀疏性示[6]；

其次，設(shè)計(jì)構(gòu)造一個(gè)既平穩(wěn)又與變換基ψ不相干的，而且是M×N維度的觀(guān)測(cè)型的矩陣Φ，對(duì)θ進(jìn)行觀(guān)測(cè)可以得到一個(gè)觀(guān)測(cè)矩陣Y=Φθ=ΦψTX，此過(guò)程也可以表示：信號(hào)X通過(guò)矩陣ACS進(jìn)行的非自適應(yīng)性的觀(guān)測(cè)：Y=ACSX，其中ACS=ΦψT，ACS稱(chēng)為CS信息算子[7]；

min‖ψX‖0s.t.ACSX=Y

(1)

圖1 壓縮感知理論框圖

圖1中，第一步、第二步為低速壓縮采樣Y=ACSX。壓縮感知(CS)理論主要涉及以下幾個(gè)關(guān)鍵性的問(wèn)題：(1)對(duì)于信號(hào)X∈RN，怎樣去找到某個(gè)緊框架ψ或者是正交基，使其在變換基ψ上的表示是稀疏性的，即信號(hào)的稀疏性的表示問(wèn)題；(2)構(gòu)造一個(gè)平穩(wěn)且與變換基ψ不相關(guān)的M×N維度的觀(guān)測(cè)矩陣Φ，確保稀疏向量θ從N維降到M維時(shí)，其重要的信息不會(huì)被破壞，即信號(hào)的低速型采樣的問(wèn)題[8]；(3)關(guān)于如何設(shè)計(jì)快速性的重構(gòu)算法，從線(xiàn)性觀(guān)測(cè)Y=ACSX中恢復(fù)信號(hào)，也即信號(hào)的重構(gòu)問(wèn)題。

2 基于正交匹配追蹤算法的語(yǔ)音信號(hào)處理

2.1 語(yǔ)音信號(hào)的Matlab生成及其稀疏表示

本文先以原始語(yǔ)音信號(hào)為例，如圖2所示。通過(guò)Matlab實(shí)現(xiàn)了生成用于算例的語(yǔ)音觀(guān)測(cè)信號(hào)圖，圖3所示為基于Matlab的壓縮感知算法實(shí)現(xiàn)的原測(cè)試信號(hào)觀(guān)測(cè)結(jié)果圖。線(xiàn)性預(yù)測(cè)(Linear Prodiction，LP)分析是語(yǔ)音信號(hào)處理的核心技術(shù)之一。在語(yǔ)音編碼、識(shí)別以及合成等語(yǔ)音處理領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。在AR(Autog Ressive)模型中，由于有語(yǔ)音樣點(diǎn)之間存在相關(guān)性的原因，所以一個(gè)語(yǔ)音信號(hào)的抽樣值x(n)可以用過(guò)去的p個(gè)取樣值的線(xiàn)性組合來(lái)逼近

(2)

其中，ai是預(yù)測(cè)系數(shù)；e(n)是自回歸濾波器的激勵(lì)。通過(guò)最小均方誤差(Least Mean Square，LMS)準(zhǔn)則，可以使得語(yǔ)音信號(hào)采樣值與線(xiàn)性預(yù)測(cè)值最小，也可以確定唯一的一組線(xiàn)的預(yù)測(cè)系數(shù){ai}。由上式可以得到LP分析殘差e(n)為

(3)

可以將殘差寫(xiě)成向量的形式e=Tx。其中

(4)

由上述LP分析可知，濁音殘差信號(hào)e是以基音周期為周期重復(fù)的單位脈沖的序列，也即殘差信號(hào)僅在基音周期的整數(shù)倍的位置上才會(huì)有較大的幅值。這進(jìn)一步說(shuō)明了，矩陣T確實(shí)是去除了語(yǔ)音信號(hào)x在相鄰樣點(diǎn)之間的相關(guān)性，所以此時(shí)將矩陣T稱(chēng)為分析矩陣。語(yǔ)音信號(hào)也可近似的表示為

x=R-1e=He

(5)

其中，H為分析矩陣T的逆矩陣T-1，將殘差信號(hào)e映射到語(yǔ)音信號(hào)域進(jìn)而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重構(gòu)，所以將H矩陣稱(chēng)為合成矩陣。本文語(yǔ)音信號(hào)具有較好的稀疏性，而清音信號(hào)卻不具有稀疏性。這是因?yàn)榍逡魩臍埐钚盘?hào)確是一個(gè)高斯白噪聲序列，如圖2所示。

圖2 一維語(yǔ)音信號(hào)的原始波形

圖3 原測(cè)試信號(hào)觀(guān)測(cè)結(jié)果圖

圖3中的每幀語(yǔ)音是以26次觀(guān)測(cè)為例。因?yàn)檎Z(yǔ)音的絕大部分能量都集中在濁音部分，而清音的能量比較小，因此，清音幀的非稀疏性對(duì)語(yǔ)音信號(hào)在H上的壓縮感知的性能的影響并不大。而基于Matlab的壓縮感知算法可以進(jìn)而實(shí)現(xiàn)原測(cè)試信號(hào)所對(duì)應(yīng)稀疏信號(hào)稀疏度圖，如圖4所示。

圖4 對(duì)應(yīng)稀疏信號(hào)稀疏度圖

利用FFT稀疏化方法對(duì)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)(1001～1005)稀疏化表示，圖5為稀疏化表示圖。再基于DCT稀疏化方法對(duì)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)(1001～1005)稀疏化表示，得到圖6稀疏化表示示意圖。

圖5 FFT基對(duì)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)稀疏化表示圖

圖6 DCT基對(duì)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)稀疏化表示圖

2.2 語(yǔ)音信號(hào)的壓縮與重構(gòu)

Candes在其2006年發(fā)表的論文中證明了，只要信號(hào)是可壓縮的或在某個(gè)變換域是稀疏的，就能以非常低的頻率即M?N的采樣信號(hào)近乎無(wú)損地重構(gòu)出原信號(hào)。基于線(xiàn)性預(yù)測(cè)(LP)分析的語(yǔ)音信號(hào)的壓縮感知模型如圖7所示。

圖7 算法原理

對(duì)經(jīng)漢明窗和矩形窗分幀的語(yǔ)音信號(hào)，分別利用LP分析的技術(shù)和CS技術(shù)，提取線(xiàn)性預(yù)測(cè)系數(shù)向量α和觀(guān)測(cè)向量y。語(yǔ)音信號(hào)的重構(gòu)可以以線(xiàn)性預(yù)測(cè)系數(shù)向量α和觀(guān)測(cè)向量y為已知的條件，利用解優(yōu)化問(wèn)題的方法來(lái)進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音信號(hào)在H域上的信號(hào)重構(gòu)[9]。

語(yǔ)音信號(hào)壓縮可以分為兩個(gè)階段：第一階段，對(duì)語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行觀(guān)測(cè)，得到觀(guān)測(cè)向量y；第二階段，通過(guò)線(xiàn)性分析來(lái)獲取每幀語(yǔ)音信號(hào)的p個(gè)線(xiàn)性的預(yù)測(cè)系數(shù)，用于構(gòu)造合成矩陣H[10]。

語(yǔ)音信號(hào)的重構(gòu)就是一個(gè)解優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程，也即通過(guò)求解L1的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)進(jìn)一步獲得語(yǔ)音信號(hào)在稀疏域上的稀疏系數(shù)，利用已經(jīng)合成的矩陣再將稀疏性的系數(shù)投影到語(yǔ)音的信號(hào)域，從而可以達(dá)到實(shí)現(xiàn)信號(hào)的再次重構(gòu)，其原理如式(6)和式(7)所示。

(6)

(7)

本文使用的算例對(duì)象是語(yǔ)音(鈴聲)信息，是以216次觀(guān)測(cè)為例，觀(guān)測(cè)矩陣Φ為M×N的隨機(jī)高斯矩陣。本文主要研究語(yǔ)音信號(hào)在H上的CS性能和不同的變換矩陣上的重構(gòu)語(yǔ)音信號(hào)的信噪比以及分段的信噪比，并且給出了重構(gòu)語(yǔ)音信號(hào)的主觀(guān)性上的評(píng)價(jià)。重構(gòu)語(yǔ)音信號(hào)的質(zhì)量的客觀(guān)評(píng)價(jià)的方法為

其中，M為原始語(yǔ)音信號(hào)的總幀數(shù)。

如圖8所示，除了兩端的重構(gòu)語(yǔ)音與原始語(yǔ)音有一定的誤差外，基本實(shí)現(xiàn)了語(yǔ)音信號(hào)的精確重構(gòu)，這是為進(jìn)一步獲取線(xiàn)性預(yù)測(cè)系數(shù)，引入自相關(guān)函數(shù)時(shí)引起了誤差所導(dǎo)致。為了能夠盡可能多的去降低兩端誤差，在線(xiàn)性預(yù)測(cè)階段使用兩端具有平滑過(guò)渡特性的漢明窗[11]，在壓縮感知(CS)的觀(guān)測(cè)階段使用可以確保語(yǔ)音信號(hào)時(shí)域特性的矩形窗。本文利用DCT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換圖(觀(guān)測(cè)次數(shù)為216次)，如圖9所示。

圖8 利用DCT基時(shí)局部信號(hào)CS恢復(fù)結(jié)果與原信號(hào)比對(duì)圖

圖9 利用DCT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換圖

圖9給出了語(yǔ)音信號(hào)在利用DCT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換圖。從圖中可以看出，語(yǔ)音信號(hào)在利用FFT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換時(shí)，隨著觀(guān)測(cè)次數(shù)增加，信號(hào)的恢復(fù)誤差也在不斷衰減，因此得到的恢復(fù)信號(hào)也更加精確；反之，得到的恢復(fù)信號(hào)會(huì)越來(lái)越差，甚至得不到恢復(fù)信號(hào)。

圖10 利用FFT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換圖

圖10給出了利用FFT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換圖，從圖中可以看出，隨著觀(guān)測(cè)次數(shù)的增加，信號(hào)的恢復(fù)誤差呈階梯型遞減，這表明得到的恢復(fù)信號(hào)精度越來(lái)越高。反之，得到的恢復(fù)信號(hào)會(huì)越來(lái)越差，甚至得不到恢復(fù)信號(hào)。對(duì)比圖9和圖10，可以得到，語(yǔ)音信號(hào)在利用DCT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換，相比于其在利用FFT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換更好，因?yàn)樵谛枰_(dá)到同樣恢復(fù)誤差的情況下，語(yǔ)音信號(hào)在利用DCT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換所需要的感測(cè)次數(shù)，明顯小于語(yǔ)音信號(hào)在利用FFT基時(shí)CS恢復(fù)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)誤差隨觀(guān)測(cè)次數(shù)變換。經(jīng)過(guò)上述處理可以進(jìn)一步得到利用DCT基時(shí)語(yǔ)音信號(hào)局部信號(hào)CS恢復(fù)結(jié)果與原信號(hào)比對(duì)圖，如圖11所示。

圖11 恢復(fù)結(jié)果與原信號(hào)比對(duì)圖

從圖11可以看出，利用DCT基時(shí)的語(yǔ)音信號(hào)的局部恢復(fù)信號(hào)可以近乎無(wú)失真的還原出原語(yǔ)音信號(hào)，效果良好。

3 結(jié)束語(yǔ)

語(yǔ)音信號(hào)重構(gòu)是語(yǔ)音信號(hào)處理的重要內(nèi)容，利用正交匹配追蹤算法(OMP)對(duì)語(yǔ)音信號(hào)重構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，取得較好的效果，具有較高的應(yīng)用價(jià)值，值得進(jìn)一步深入研究。

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