線性代數(shù)幺半群中極大子群的Weyl群結(jié)構(gòu)

李 軍

(廣州大學 數(shù)學與信息科學學院 廣東 廣州 510006)

0 引言

代數(shù)幺半群理論主要是由Putcha和Renner在近三十多年來系統(tǒng)的建立和發(fā)展起來的一個重要且獨立的數(shù)學分支[1-2]．一個線性代數(shù)幺半群是指一個具有含幺半群結(jié)構(gòu)，且乘法映射是代數(shù)簇之態(tài)射的仿射代數(shù)簇．文獻[3]證明了一個線性代數(shù)幺半群的核(即極小理想)一定存在．文獻[4-6]系統(tǒng)地研究了核的結(jié)構(gòu)問題．文獻[7]利用代數(shù)幺半群中非單位元部分的信息來研究這個代數(shù)幺半群的單位群的結(jié)構(gòu)信息，得到了單位群可解的充分必要條件及Weyl群的結(jié)構(gòu)刻畫．文獻[8]針對帶零元素的不可約代數(shù)幺半群，利用冪等元的左(或右)中心化子構(gòu)造了一類可解代數(shù)子群．對于有限群，文獻[9]將子群的θ-完備的條件互相結(jié)合,研究了有限群的可解性.

為了進一步探索代數(shù)幺半群中極大子群的可解性，需深入研究相應的Weyl群的階的刻畫．本文在文獻[7]的思想基礎(chǔ)上，利用半群理論的格林關(guān)系及冪等元的權(quán)重，研究了代數(shù)閉域上的不可約線性代數(shù)幺半群中核的極大子群的可解性對整體結(jié)構(gòu)的影響，給出了線性代數(shù)Weyl群的階的特征刻畫．所得結(jié)論對文獻[8]中相應定理進行了推廣．

1 預備知識

給定E(M)的一條鏈Γ，那么對于任意的e∈Γ，令

若N為M的代數(shù)子幺半群，Nc表示N的單位分支，G(N)表示N的單位群．令G=G(M)表示M的單位群，則：

以下為本文證明中需用到的基本引理．

引理2[1]設(shè)φ：G→G′是一個不可約代數(shù)群的滿同態(tài)，N=(Ker(φ))c．那么

|W(G)|=|W(N)|·|W(G′)|．

引理3[1]設(shè)M為一個不可約代數(shù)幺半群，G為它的單位群，T是G中的一個極大環(huán)面，那么對于任意的e∈E(M)，有

|W(G)|=|wM(e)|·|W(CG(e))|．

引理4設(shè)M為一個不可約代數(shù)幺半群，G為它的單位群，Γ是E(M)的一條極大鏈，?！?Γ{1}，e為?！渲械臉O大元．那么:

2 極大子群中Weyl群的階關(guān)系

定理1設(shè)M為一個不可約代數(shù)幺半群，G為它的單位群，Γ是E(M)中的一條極大鏈．對于任意的e∈E(M)，Γe為E(eMe)的一條極大鏈．那么

特別地，

其中f為M的任意極小冪等元．

令Mi=eiMei，Gi=G(Mi)=Hei，Γi={em

由于em是M的極小冪等元，有emMem=Gm=Hem，從而

根據(jù)定理1，可以直接得到下面的推論．

推論1設(shè)M為一個不可約代數(shù)幺半群，G為它的單位群．那么對于E(M)中任意一條極大鏈Γ，以下條件等價：

(5)Hf是可解的，其中f是M中的一個極小冪等元．

下面，我們利用冪等元的權(quán)重，給出了代數(shù)幺半群M中單位群G的Weyl群階的刻畫．

定理2設(shè)M為一個不可約代數(shù)幺半群，G為它的單位群，T是G中的一個極大環(huán)面．令Γ={em

|W(G)|=wM(e1)·we1Me1(e2)·…·wem-1Mem-1(em)·|W(Hem)|，

其中：weiMei(ei+1)為冪等元ei+1在幺半群eiMei中的權(quán)重．特別地，若M含有零元素，則

|W(G)|=wM(e1)·we1Me1(e2)·…·wem-1Mem-1(em)．

|W(CG(e1))|=|W(He1)|·|W(Ge1)|=|W(He1)|．

由引理3，得

|W(G)|=|wM(e1)|·|W(CG(e1))|=|wM(e1)|·|W(He1)|，

容易驗證，在M與e1Me1中包含e2的極大子群是相等的．因此考慮代數(shù)幺半群e1Me1，其單位群為He1，類似可得

|W(He1)|=|we1Me1(e2)|·|W(He2)|．

重復以上過程，即有結(jié)論

|W(G)|=wM(e1)·we1Me1(e2)·…·wem-1Mem-1(em)·|W(Hem)|，

若M含有零元素0，則em=0，W(Hem)={0}．因此，

W(G)=wM(e1)·we1Me1(e2)·…·wem-1Mem-1(em)．

例1令M=M4(K)，那么G=GL4(K)為M的單位群，所有的4階可逆對角矩陣全體構(gòu)成了G的極大環(huán)面．令

那么Γ={0

因此，

所以|W(G)|=wM(f1)·wf1Mf1(f2)·wf2Mf2(f3)·wf3Mf3(f4)=4×3×2×1=24．

[1] PUTCHA M S．Linear algebraic monoids[M]．London：Cambridge University Press，1988．

[2] RENNER L E．Linear algebraic monoids[M]．New York：Springer，2005．

[3] PUTCHA M S．On linear algebraic semigroups[J]．Transactions of the American mathematical society，1980，259(2)：471-491．

[4] HUANG W X．The kernel of a linear algebraic semigroup[J]．Forum mathematicum，2005，17(5)：851-869．

[5] HUANG W X． Kernels，regularity and unipotent radicals in linear algebraic monoids[J]．Forum mathematicum，2011，23(4)：803-834．

[6] HUANG W X．The structure of affine algebraic monoids in terms of kernel data[C]//The International Workshop on Algebraic Monoids，Group Embeddings，and Algebraic Combinatorics．Toronto，2014，71：119-140．

[7] PUTCHA M S．The group of units of a connected algebraic monoid[J]．Linear and multilinear algebra，1982，12(12)：37-50．

[8] PUTCHA M S．A semigroup approach to linear algebraic groups[J]．Journal of algebra，1983，80(1)：164-185．

[9] 高輝，高勝哲，尹麗．關(guān)于有限群子群的θ-完備[J]．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(2)：11-13．