淺談初中數(shù)學(xué)的圖形運動問題

施小洋

摘 要：隨著近幾年課程標(biāo)準(zhǔn)實施的影響，使得中學(xué)數(shù)學(xué)命題改革幅度相應(yīng)增大。以浙教版數(shù)學(xué)為例，在教材中刪去了部分原有的知識，更多地增加了圖形運動的內(nèi)容；而且其重點變?yōu)榱藞D形運動的基本定義與理解，以及在坐標(biāo)中圖形的運動。

關(guān)鍵詞：圖形；平移變換；圖形的運動

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“形以數(shù)而入微，數(shù)以形而直觀”。這是將數(shù)與圖形結(jié)合后的精辟總結(jié)。因此，在新的課程標(biāo)準(zhǔn)實施后，初中數(shù)學(xué)課本內(nèi)容更加貼近生活，相應(yīng)的使得其解題方法也更加靈活多變。通過數(shù)與形之間的聯(lián)系來思考并解決問題的思路，我們將其稱之為數(shù)形結(jié)合思想，而教材中加重圖形運動內(nèi)容的比重正是對數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn)。我們就以浙教版初中數(shù)學(xué)的圖形運動為例，淺談其中數(shù)形結(jié)合問題中的精髓。在圖形的運動變換中，平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是最為基礎(chǔ)的；圖形的運動變換無疑是以確定的法則為依據(jù)對已有圖形（或其中一部分）加以位置變化，然后在變換前后的兩個圖形中理清它們之間的關(guān)系。具體如下：

一、平面中圖形的平移變換

由一個圖形改變?yōu)榱硪粋€圖形，在改變過程中，原圖形上的所有點都向同一個方向運動，且運動相等的距離，這樣的圖形變化叫做圖形的平移變換，簡稱平移；移動的方向叫做平移方向，移動的距離叫做移動距離。

根據(jù)圖形平移的定義，我們能夠很容易得到：在圖形平移后，其圖形上每一點都沿著一個方向移動的距離都相同，因此圖形的形狀和大小在平移前后一定不會改變。而且，如果我們將一個圖形在方格紙上進行平移變換后，能夠很直觀地看到這樣的規(guī)律：

圖形上移動前后的點所連成的線段是平行且相等的（或者說是在同一條直線上），而且圖形移動前后對應(yīng)的線段也是平行且相等的（或者說是在同一條直線上），其對應(yīng)角也相等。這一點我們可以從下面這個例題中看到：

例1.怎樣平移半圓P，使它的像與半圓Q組成一個圓。

解析：由圖形平移的特性：圖形在經(jīng)過平移變換之后，其形狀、大小、方向并不會改變，所以我們可以將整個半圓的移動看成是點P到點Q的移動（只有點P與點Q重合，兩者才能組合成一個完整的圓），那么從P點到Q點就應(yīng)先向右平移4個方格再向上平移2個方格。

二、圖形的旋轉(zhuǎn)規(guī)律

在教材中這樣定義圖形的旋轉(zhuǎn)：一般的，一個圖形變?yōu)榱硪粋€圖形，在運動的過程中，原圖形上的所有點都繞一個固定的點，往同一個方向轉(zhuǎn)變同一個角度，圖形的這種變化運動，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，而這個圍繞固定位置轉(zhuǎn)動的點叫做旋轉(zhuǎn)中心。

從定義上，我們可以提取到圖形旋轉(zhuǎn)的三要素：（1）旋轉(zhuǎn)的方向。（2）旋轉(zhuǎn)的中心。（3）旋轉(zhuǎn)的角度。因此在進行教學(xué)時，應(yīng)該提醒學(xué)生解題時注意這三要素。

例2.在Rt△ABC中，斜邊AB=4，∠B=60°，將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)60°，頂點C運動的路線長是多少？

解析：Rt△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)60°的過程，線段BC掃過的圖形是一個圓心角為60°、半徑為2的扇形，點C運動的路線就是一條弧，弧長為π。

對于圖形的旋轉(zhuǎn)，我們同樣可以通過在方格紙中畫出圖形再根據(jù)其定義得其相應(yīng)旋轉(zhuǎn)后的圖形之后，觀察前后圖像的變化與相似之處，此舉非常直觀地表現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)的一些特性：

1.圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的圖形與原圖形全等。

2.對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

3.旋轉(zhuǎn)的角度就是任何一對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角度。

除此之外，還有一個比較具有特質(zhì)的定義是：如果一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個旋轉(zhuǎn)的點的位置叫做對稱中心。

三、圖形的翻折

在新課標(biāo)的教材中，翻折被定義為：把一個圖形按某一條直線翻折180°后所形成的新的圖形變化就是翻折。

在解決這類問題的時候，只需注意這幾點：（1）在翻折前后兩個圖形是完全一樣的。（2）對應(yīng)點所連線段的垂直平分線就是它們的對稱軸。在中考考查三大圖形的運動時，掌握其特性是解題的秘訣。

例3.在圓柱形紙杯外側(cè)有一只小昆蟲，從A點到杯內(nèi)B點去吃食物，而從A點沿母線到杯口C的長度為5厘米，且B點沿母線到杯口D的長度為3厘米，C、D兩點之間的杯口弧長為6厘米，如果小昆蟲想要以最快的速度吃到食物，請問小昆蟲爬行的路程是多遠(yuǎn)？

解析：在這一題中我們需要將圓柱形杯側(cè)面展開，作如上圖所示的CD=6cm，且作點B關(guān)于杯口的對稱點F，則DF=DB=3cm，通過延長AC到E，使得CE=3cm，則AE=5+3=8cm。

又由線段公理可知，A到B的最短距離為AF的長。由勾股定理得，AF=10cm。在這一題中充分體現(xiàn)了其對稱圖形特性掌握的重要性，不論在平時的圖形運動中，還是在幾何圖形問題的考試中，無疑是一個重要的思路。

四、坐標(biāo)中圖形的運動

一般而言，在解決幾何問題時，只需要將圖形間的關(guān)系理清，然后運用相應(yīng)的幾何定理就能把幾何問題輕松解決。但有時我們會發(fā)現(xiàn)在一些特殊的幾何問題，只通過幾何定理來思考解決問題是冗長甚至無從下手，這時候我們就應(yīng)該運用另一種數(shù)形結(jié)合的方法——坐標(biāo)，將幾何問題放到坐標(biāo)中往往能夠化繁為簡，輕松地解決問題。

那么，如何將圖形與坐標(biāo)結(jié)合？這就需要一個媒介——直角坐標(biāo)系。

什么叫做直角坐標(biāo)系呢？浙教版教材中是這樣定義的：平面直角坐標(biāo)系是由在同一個平面上互相垂直且又有公共原點的兩條數(shù)軸組成的，我們稱其為直角坐標(biāo)系。一般來說，兩條數(shù)軸，一條位于水平位置，另一條位于垂直位置，同時我們一般會取向右或向上的方向作為兩條數(shù)軸的正方向。位于水平位置的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，位于垂直位置的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，x軸y軸合起來就叫做坐標(biāo)軸，它們重合部分的原點O就稱為直角坐標(biāo)系的原點，而以點O為原點的平面直角坐標(biāo)系記為平面直角坐標(biāo)系

xOy。而且坐標(biāo)軸有著這樣的幾個特性：（1）兩條坐標(biāo)軸是互相垂直的。（2）兩條坐標(biāo)軸的原點（O）重合于一點。（3）一般取坐標(biāo)軸的向右、向上為正方向標(biāo)上數(shù)字。（4）兩個坐標(biāo)軸之間的單位長度是相同的。

那么在直角坐標(biāo)系中解決圖形運動的問題，就需要圖形在坐標(biāo)系中有“位置”，這個“位置”就是圖形在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。想要將兩者之間的聯(lián)系弄清就需要知道以下這幾點：（1）在直角坐標(biāo)系中，能夠?qū)⒁粋€圖形經(jīng)過坐標(biāo)軸對稱之后，得到新的圖形，并且能夠根據(jù)原圖形的坐標(biāo)寫出對稱之后的圖形的坐標(biāo)，這在坐標(biāo)系中解決幾何問題是很重要的。（2）能夠根據(jù)一個已知的圖形坐標(biāo)將其沿坐標(biāo)軸（x軸或y軸）的方向運動后得到圖形寫出它的坐標(biāo)，并理清前后變化圖形之間的關(guān)系。

無論從教材內(nèi)容上看還是考試中題目的考查，為了使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)有著探索的熱情，初中數(shù)學(xué)教學(xué)的思想就需要不斷創(chuàng)新改變，讓學(xué)生能夠有一個正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，并且找到適合自己的學(xué)習(xí)方法。這更加需要進一步開發(fā)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想，將圖形的運動觀念更好地體現(xiàn)出來，讓教師與學(xué)生有更多的溝通交流，活躍學(xué)生的解題思維，使得學(xué)生有更進一步學(xué)習(xí)的

目標(biāo)。

參考文獻：

[1]陳培培.數(shù)學(xué)實驗，讓課堂更精彩[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016.

[2]徐偉健，吳冬琴.例談生動滲透數(shù)學(xué)思想[J].教學(xué)與管理，2009.

編輯 魯翠紅