昆蟲跳高能力的數(shù)學模型

顏笑飛　高軍暉

摘 要：跳躍是動物（昆蟲）的運動方式之一，考慮到昆蟲的體型比哺乳動物小很多，但是跳高能力與哺乳動物在一個數(shù)量級，因此很多人認為昆蟲的跳躍能力很強。本文簡單論述了昆蟲跳躍的力學與生物學基礎，并對動物的跳高能力建立了簡單的數(shù)學模型，對模型求解發(fā)現(xiàn)，動物的跳躍高度與自身的長度無關，動物之間的跳高能力也基本接近。

關鍵詞：昆蟲 跳躍 高度 數(shù)學模型

中圖分類號：TP242；Q969 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）11（b）-0238-03

跳躍是動物（昆蟲）的運動方式之一，有的動物跳得高，有的動物跳得低。那么這種能力和哪些因素有關呢？

英國劍橋大學的Burrows教授花費30年的時間來研究動物的跳躍機理，并于2003年在《Nature》上發(fā)布了昆蟲跳躍性能和機理的新發(fā)現(xiàn)[1]。其研究結果表明長腿動物依靠杠桿原理，短腿動物依靠彈射瞬間釋放儲存的能量，以及兼有這兩種跳躍運動特征的杠桿彈射機理。對于生物體來說，跳躍是利用下肢的快速伸展來使身體騰空。所以，還有一些研究者將更多注意力放在了昆蟲的快速釋放結構上。

人、獅子、老虎、貓、狗、袋鼠、跳蚤、蚱蜢，尺寸差異那么大，但能跳起的最高高度都是1m左右。貓、狗都能跳1m左右，老鼠能跳40cm，老虎能跳2m，袋鼠能跳2～3m高。注意，這里的跳起高度并不是指“手能摸到的高度”，而是生物讓自己重心升高的高度。因此，動物間跳越高度的差異并不大，反而是動物的形態(tài)尺寸的差異很大，這其中有什么密碼嗎？本文對這個問題建立簡單的數(shù)學模型進行分析。

1 昆蟲跳躍的力學與生物學基礎

當昆蟲準備跳躍時，它降低重心，壓縮腿，然后屈肌腱動作[2]。屈指肌腱和伸指肌腱像杠桿。肌腱突塊起（lump）增加屈肌腱力臂和扭矩。然而，伸肌腱的力臂很小。屈肌腱的力矩逐漸增大，伸肌腱的力量和力矩也隨之增加。當昆蟲起跳或起飛時，屈指肌腱松弛，伸肌腱行使功能。由于伸肌腱被壓縮產生了巨大的力和力矩。當昆蟲跳躍時，伸腱臂隨著伸肌腱與小腿夾角的增大而增大，且扭矩逐漸增大。因此，昆蟲可以利用杠桿原理利用微小的能量來獲得巨大的跳躍力，如圖1所示。

力量和速度是昆蟲在跳躍的過程中必不可少的。但兩者是不可調和的矛盾，換言之，滿足了力量而缺乏了速度，滿足了速度缺乏了力量。而昆蟲的腿部結構能夠滿足這一特點。因為昆蟲在起飛前收縮后足內部肌腱和肌肉的軟組織，將部分能量儲存在表皮上。在跳躍時瞬間釋放能量。研究表明，昆蟲跳躍所需的能量有一半是由表皮產生的。

在一些昆蟲，如蜻蜓和蚱蜢，其體內含有一種橡膠狀的蛋白質，這種非凡的蛋白質叫做彈性蛋白，它幫助昆蟲扇動翅膀，跳躍和啁啾?？茖W家半個世紀前在蝗蟲的鉸鏈和蜻蜓的彈性肌腱上發(fā)現(xiàn)了彈性蛋白[3]。這種天然蛋白質比最好的合成蛋白質更有彈性，可以延伸到其自身長度的3倍，并可以很快恢復到原來的形狀。此外，反復拉伸和回彈都不會失去任何彈性。這也是昆蟲在整個生命周期中跳動或彈跳數(shù)百萬次的關鍵。

2 動物跳高能力的數(shù)學模型

一個動物身體小，力量也小，但正因為它身體小，跳起 1m也不需要太大的力。反之，大型動物力量倒是大，不過要跳起來確實也需要很大的力。這就讓動物們能夠跳起的高度變得平衡。不過，為什么這兩個因素能夠平衡，而不是一個壓過另一個呢？

讓我們先看看人體。當人體在原地跳躍時，肌肉收縮產生張力，控制膝關節(jié)角度的變化，使下肢從靜態(tài)的蹲狀態(tài)突然伸展，帶動身體加速垂直向上運動，然后逐漸降低到負值。為了提高離開地面的速度，一開始必須用力蹬地，以獲得最大的初始擴展速度。但是隨后的制動必須是緩慢的，因為過度的制動會導致約束過早釋放，導致身體還沒有積累足夠的垂直速度來原地跳起[4]。

接下來，我們對動物的跳高能力建立數(shù)據模型來分析，先列出模型中涉及的變量，見表1。

我們把動物在每次跳躍中足部可以提供的能量記作E，生物自身的重量則記作W，那么動物跳起的高度H應該正比于E/W。假設動物的形體都很相近（動物的身長和體重一節(jié)）[5]，我們這里用特征長度L表示。L可以是一維長度，比如身長。那么，我們有：

假設動物身體的密度差異不大，則公式（3）說明動物跳起的高度H與動物的特征長度L無關。

小時候大家應該都聽說過，跳蚤巨牛無比，能跳起1m多高，是自身高度的100多倍。原來，不管什么都能跳起1m多高，這個倍數(shù)關系這么驚人，只是因為跳蚤自己太矮罷了。

3 討論

本節(jié)討論兩個問題，一個是昆蟲之間的跳高能力差異，另外一個是昆蟲機器人的跳躍能力。

昆蟲之間的跳高能力差異分析。這里我們僅列出5種昆蟲的體型、跳躍高度、跳躍足數(shù)和跳躍方式，見表2。

下面簡單討論一下關于昆蟲機器人的彈跳能力研究。

在意大利的圣安娜高級研究學院，CRIM實驗室的達里奧教授帶領的研究組在2006年開發(fā)了Grillo微型彈跳機器人[6]，見圖2。Grillo用四個彈簧作為穩(wěn)定的前腳，背部的彈簧執(zhí)行器提供彈跳力。整體重量僅為15g，前進速度可達1.5m/s。

俄亥俄州立大學的詹姆森博士，在2001年分析了可以跳躍和奔跑動物的運動步態(tài)，進一步深入研究機器人的跳躍模型和運行機制，對四足機器人的各種運行步態(tài)的動態(tài)性能分析，這些研究均為可實現(xiàn)像四足動物一樣的高速機器人的發(fā)展奠定了理論基礎[7]。日本東京工業(yè)大學的Fumitaka Kikuchi，在2003年提出了一個圓柱驅動四足機器人的行走和跳躍程序，如圖3所示。四足跳躍機器人的每一條腿由一個四連桿機構和兩個氣缸組成，其中氣缸為機器人提供跳躍和行走的動力。在實驗中，氣缸的力和速度足以提供跳躍所需的能量，并驗證了機器人的著陸緩沖性能。

2016年12月，加州伯克利大學博士生Duncan Haldane研發(fā)了第一代Salto機器人，并在當時登上了《機器人科學》（Science Robotics）的封面，相關論文被IEEE/RSJ智能機器人和系統(tǒng)國際會議（IROS）收錄[8]。Salto-1P重約100g，站起來只有10寸高（約26cm），這個機器人卻能平均每隔0.58s進行一次高達1m的跳躍。如果這個機器人身高170cm的話，那么它能跳到大約6.46m的高度！

4 結語

動物間跳越高度的差異并不大，反而是動物的形態(tài)尺寸的差異很大，本文嘗試對這個問題建立簡單的數(shù)學模型進行分析。本文首先論述了昆蟲通過昆蟲跳躍的力學與生物學基礎，然后建立了動物跳高能力的數(shù)學模型并求解，結果發(fā)現(xiàn)動物跳起的高度H與動物的特征長度L無關，此外，本文還討論了昆蟲之間的跳高能力差異，以及昆蟲機器人的跳躍能力等問題。

參考文獻

[1] Burrows， Malcolm.Froghopper insects leap to new heights[M].Macmillan Publishing Ltd，2003.

[2] 盧鑫.幾種蝗蟲跳躍行為研究及其跳躍足生物材料力學分析[D].吉林大學，2013.

[3] 昆蟲體內超級蛋白有望用于醫(yī)藥領域[EB/OL].http：//blog.sina.com.cn/s/blog_517aafe10101g3e7.html.

[4] 張潤梅.幾種運動中的力學原理[EB/OL].http：//www.lanxicy.com/read/739a0e651ebe4007041a710c.html.

[5] 姜啟源.數(shù)學模型[M].2版.北京：高等教育出版社，1987.

[6] 陳大竟.微型仿生跳躍機器人的研究與發(fā)展[J].國際生物醫(yī)學工程雜志，2008，31（4）：231-234.

[7] 劉天奇.仿生跳躍機器人技術的研究[D].東北大學，2010.

[8] https：//spectrum.ieee.org/automaton/robotics/robotics-hardware/salto1p-is-the-most-amazing-jumping-robot-weve-ever-seen.endprint