數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)教育研究

劉水強

(邵陽學(xué)院 期刊社，湖南 邵陽，422000)

一部數(shù)學(xué)史就是一部人類科學(xué)技術(shù)發(fā)展史，也是一部人類文明進(jìn)步史。每一次數(shù)學(xué)的重大進(jìn)步都標(biāo)志著人類社會文明的發(fā)展。從歐式幾何的形成到微積分到現(xiàn)代數(shù)學(xué)再到近代數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)的三大危機到每次危機后的勃勃生機，無論哪個時空的數(shù)學(xué)波動都與其所處時空的科學(xué)技術(shù)、政治、經(jīng)濟(jì)、社會的進(jìn)步和震蕩同步感應(yīng)，從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生到實數(shù)公理化，從代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)的形成到數(shù)形統(tǒng)一，從博彩的娛樂到概率統(tǒng)計學(xué)原理，從微積分的發(fā)展到物理三大定律，從天文學(xué)到空間數(shù)學(xué)，從邏輯學(xué)到量子糾纏，從二位進(jìn)制到計算機產(chǎn)生和應(yīng)用，從幾何畫圖到機械工程，從微分方程到生命科學(xué)等，無一不是經(jīng)典故事。近現(xiàn)代生產(chǎn)技術(shù)、軍事、航天科學(xué)乃至核科學(xué)，沒有哪一項人類科學(xué)技術(shù)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明沒有數(shù)學(xué)的身影，也沒有哪一項領(lǐng)先的工具不是數(shù)學(xué)的應(yīng)用。比如當(dāng)代使用最為廣泛的芯片技術(shù)，沒有先進(jìn)的算法跟進(jìn)可能實現(xiàn)嗎？又如高大上的航空航天科技沒有軌跡運算同步可能成功嗎？量子計算機的生產(chǎn)和通訊技術(shù)重大進(jìn)步?jīng)]有數(shù)學(xué)計算的同步跟進(jìn)和算法的優(yōu)勢體現(xiàn)都是難以實現(xiàn)的[1-4]。

數(shù)學(xué)體系繁雜卻自成一體，有其天然的嚴(yán)謹(jǐn)性、完備性，如同網(wǎng)絡(luò)疏而不漏?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)分支很多，邊緣學(xué)科發(fā)展很快，各領(lǐng)域應(yīng)用廣泛性超越了時空局限。如計算機技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)、控制論、規(guī)劃論等，特別是量子技術(shù)的發(fā)展預(yù)示一場前所未有的人類科技的變革，體現(xiàn)了人類社會未來發(fā)展的不可測性[5-6]。

1 數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的三大危機及其成果

1.1 第一次數(shù)學(xué)危機及其成果

在公元前500年左右，因為發(fā)現(xiàn)了不可通約性而產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的第一次危機，打破了古希臘以畢達(dá)哥拉斯為代表的唯心主義學(xué)派王國。導(dǎo)致這一危機產(chǎn)生的經(jīng)典故事是勾股定理被證明，結(jié)果證明幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，由此建立了幾何學(xué)體系，產(chǎn)生了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。經(jīng)過兩千多年，到18世紀(jì)，高斯、希爾伯特、羅巴切夫斯基、波耶等大師們通過選取與平行公設(shè)相矛盾的其他公設(shè)，建立了非歐幾何，形成了現(xiàn)代的幾何公理體系[7-8]。

1.2 第二次數(shù)學(xué)危機及其成果

第二次數(shù)學(xué)危機是在17世紀(jì)至18世紀(jì)，因為無限小量的產(chǎn)生，即極限的嚴(yán)格化，如瞬時速度Δs/Δt，當(dāng)Δt趨向零時的值，Δt是零又不是零，無窮小究竟是不是零的問題引起極大爭論。經(jīng)過半個多世紀(jì)的努力，經(jīng)波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利、威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等一大批數(shù)學(xué)家的努力，建立了通用的ε-δ的極限連續(xù)定義，同時將導(dǎo)數(shù)、積分等概念嚴(yán)格地定義在極限基礎(chǔ)上，從而克服了危機，建立了現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的基本體系，從而有了實數(shù)的公理體系，才有了20世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[9-12]。

1.3 第三次數(shù)學(xué)危機與及其成果

在第二次數(shù)學(xué)危機中基本上解決了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題，極大地發(fā)展了極限理論與應(yīng)用，數(shù)學(xué)家們構(gòu)建并實踐了包括數(shù)理邏輯在內(nèi)的多門學(xué)科，同時大量地使用數(shù)學(xué)符號表達(dá)數(shù)學(xué)的運算和邏輯推理，簡化了數(shù)學(xué)表達(dá)式，極大地推動了數(shù)理邏輯學(xué)的發(fā)展。隨著邏輯學(xué)快速發(fā)展與應(yīng)用，19世紀(jì)末至20世紀(jì)初出現(xiàn)了一系列邏輯悖論，如羅素悖論震動了整個數(shù)學(xué)界，產(chǎn)生了第三次數(shù)學(xué)危機，這次危機幾乎動搖了數(shù)學(xué)的公理體系。經(jīng)眾多數(shù)學(xué)家的努力，數(shù)理邏輯終于完善。至20世紀(jì)，數(shù)學(xué)的公理體系趨于完備，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)趨于成熟，各種數(shù)學(xué)分支迅猛發(fā)展，其應(yīng)用理論在社會各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用又極大地反作用于數(shù)學(xué)的進(jìn)步，如計算機、網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)，既依賴于算法，又推動著算法的進(jìn)步，從而促進(jìn)了計算數(shù)學(xué)與信息技術(shù)互為進(jìn)步的格局，產(chǎn)生了超算。有限元理論等各學(xué)科的進(jìn)步推動著規(guī)劃論、運籌學(xué)的構(gòu)建與應(yīng)用，空間科學(xué)的建立又推動了航空航天技術(shù)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)成為推動科學(xué)技術(shù)進(jìn)步的強力工具，從而極大地提高了科技生產(chǎn)力，推動人類社會文明的進(jìn)步。

從公元前2000年左右的巴比倫數(shù)學(xué)，到歐式幾何流行于歐亞大陸，從極限思想到微積分的產(chǎn)生、數(shù)學(xué)分析的完整，到計算機的產(chǎn)生、到量子技術(shù)的應(yīng)用，在漫長而艱難的4000多年歷程中，數(shù)學(xué)在人類社會進(jìn)步的每一個階梯上都有極其重大的業(yè)績，僅從數(shù)學(xué)的三次危機來概述數(shù)學(xué)發(fā)展的三次質(zhì)的飛躍，只是以孔窺大，以一斑而概全貌，起拋磚引玉之功效而已[7-8，13-14]。

2 數(shù)學(xué)史中包含的主要數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程長，有4000余年歷史，幾乎跨越整個人類發(fā)展的時空度，其內(nèi)容的廣度與深度是難以測量的，包含的數(shù)學(xué)思想與方法是多種多樣的，但其主要的經(jīng)典有函數(shù)思想、極限思想、化歸思想三種重要的數(shù)學(xué)思想，用這三種思想來解決數(shù)學(xué)問題的方法稱之為函數(shù)方法、極限方法、化歸方法，是解決數(shù)學(xué)問題的三個重要工具。

2.1 數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想方法

函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個常用且廣泛應(yīng)用于其他學(xué)科的重要概念，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)界，經(jīng)典的數(shù)學(xué)分析的主要研究對象就是函數(shù)。函數(shù)既是初等數(shù)學(xué)的主體，也是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。函數(shù)思想的建立使常量數(shù)學(xué)成就了變量數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)用上了辯證法。物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)、軍事等多學(xué)科與數(shù)學(xué)結(jié)下了不解之緣，直至社會、軍事等領(lǐng)域亦是如此：物體冷卻，鐳的衰變，樹木的生長，人口的增長率等，它們的具體意義不一定相同，卻適應(yīng)于同一數(shù)學(xué)模型：

這個數(shù)學(xué)模型表明當(dāng)αο，γ一定時，上述不同意義的問題抽象成同一關(guān)于時間(周期)t的函數(shù)。

函數(shù)思想的運用讓許多復(fù)雜問題有了統(tǒng)一的處理方式，正如數(shù)學(xué)家F·克萊因(Felix Klein)所說，“教育家在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”[7-9]。

2.2 數(shù)學(xué)中的極限思想方法

研究函數(shù)的一個極重要工具就是極限，極限在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中處處出現(xiàn)，是許多數(shù)學(xué)概念賴以建立的基礎(chǔ)和分析問題、解決問題的重要工具，極限思想貫穿于整個數(shù)學(xué)的始終，它使數(shù)學(xué)真正成為了在各領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的科學(xué)。從極限思想發(fā)展的歷程看，大約經(jīng)歷了四個主要階段：一是萌芽時期，我國莊子說“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，劉徽建立的“割圓術(shù)”，古希臘時期歐多克斯所構(gòu)建的窮竭法等，都是這個階段的極限思想代表；牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家為代表創(chuàng)立的微積分，對極限的研究成果的應(yīng)用極大地發(fā)展了極限思想，這一階段為極限的發(fā)展階段；由于牛頓、萊布尼茲對極限的敘述嚴(yán)密性不夠，產(chǎn)生了一系列不能自圓其說的矛盾，如級數(shù)的收斂和發(fā)散應(yīng)用過程中產(chǎn)生的悖論和不同意見的爭論等，這一時期稱之為極限的爭論階段；嚴(yán)密的極限思想是從波萊諾(Bolzano)、柯西(Cauchy)，阿貝爾(Abel)和迪里克萊(Dirichlet)的工作開始，而由維爾斯特拉斯(Weierstrass)進(jìn)一步發(fā)展整理為一門完整的學(xué)科“數(shù)學(xué)分析”，這一時期，是十九世紀(jì)三十年代到五十年代極限概念嚴(yán)格化，即是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析中極限概念的嚴(yán)格化時期，也是微積分學(xué)發(fā)展的一個重要的里程碑[15]。正是極限思想和極限方法推動數(shù)學(xué)進(jìn)步的同時廣泛應(yīng)用于天文、地理、物理、化學(xué)及各工程領(lǐng)域，強力推動了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)社會文明的發(fā)展。

2.3 數(shù)學(xué)中化歸思想方法

數(shù)學(xué)中的化歸思想有宏觀與微觀兩方面的意義，其宏觀意義主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)家區(qū)別于一般科學(xué)家思維的獨到之處，是分析問題、解決問題，形成數(shù)學(xué)構(gòu)想的方法論的依據(jù)；其微觀意義是數(shù)學(xué)問題的解決過程是不斷地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題到歸結(jié)為熟知問題或已解決問題的過程。數(shù)學(xué)史上，化歸思想最有代表意義的作品是G·波利亞在1944年發(fā)表的《怎樣解題表》，這張表集中體現(xiàn)了化歸思想在解決數(shù)學(xué)問題上的精華。G·波利亞提出了數(shù)學(xué)解題思維過程的四個階段：發(fā)現(xiàn)問題、分析問題(擬定計劃)、解決問題(實現(xiàn)計劃)和回顧。這四個階段的思維本質(zhì)是：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思。在這張表中波利亞用了一系列的問題，啟發(fā)你找到解題路徑。這種思維過程的核心思想就是不斷變換問題、連續(xù)地簡化問題，把數(shù)學(xué)解題變成了問題的劃歸過程，最終歸結(jié)到熟悉的基本問題予以解決，它的一般模式如下(圖1)：

圖1 問題解答邏輯圖Fig.1 Logic diagram of problem solving

用化歸思想解決問題的方法稱為化歸法，又稱RMI原理，中學(xué)數(shù)學(xué)上有極廣泛的應(yīng)用，如幾何代數(shù)學(xué)中常用的數(shù)形結(jié)合法，解方程用的消去法、換元法，計算中的復(fù)數(shù)法，證明方式的反證法及待定系數(shù)法、配方法、參數(shù)法、演繹法、數(shù)學(xué)歸納法等解題方式，都是化歸方法的具體體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)各個分支用化歸思想來處理問題的方法很多，如數(shù)學(xué)分析中的換元法、三角函數(shù)積分的萬能替換法等，與中學(xué)數(shù)學(xué)使用的化歸方法解題的方式是一致的，僅舉2例說明：

例1.用積分和概念判定函數(shù)是否可積，首先要判定積分和的極限是否存在，除了少數(shù)幾個函數(shù)可以這樣做以外，幾乎很難辦到，引入達(dá)布和，把同一分割下不定積分和化歸為相對確定的達(dá)布和，建立了可積準(zhǔn)則，用可積準(zhǔn)則來判定函數(shù)的可積性則容易多了。

例2.無窮多個數(shù)的求和是沒有辦法解決的，但把無窮多個數(shù)求和化歸為有限個數(shù)的極限求和則順暢很多，并為解決數(shù)項級數(shù)的斂散性問題提供了幫助，從而有了判定數(shù)項級數(shù)斂散性的方法。

數(shù)學(xué)中的化歸思想方法不僅是其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的重要思想方法，其在物理學(xué)、社會學(xué)等其他各領(lǐng)域?qū)W科中也有廣泛的應(yīng)用。教好學(xué)好用好這一方法對培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和處理解決問題的思維方式水平，特別是幫助一年級大學(xué)生從中學(xué)思維模式進(jìn)入大學(xué)思維方式找到了一個科學(xué)合理的銜接口，并對加深學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)的理解、學(xué)好高等數(shù)學(xué)和其他課程提供一個強力的思維方法工具[16]。

3 數(shù)學(xué)史啟迪數(shù)學(xué)思想方法教育

在數(shù)學(xué)進(jìn)程中，數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、解答、求解過程無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維方式的重要性。數(shù)學(xué)史上教育的成敗都揭示了的一個重要的教學(xué)規(guī)律是教學(xué)的教育性，即在教學(xué)過程中揭示教學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)思維規(guī)律，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的。

數(shù)學(xué)史對傳播數(shù)學(xué)思想及方法的運用是一個潛移默化的過程，體現(xiàn)在整個教學(xué)過程中。概念的形成、定理、推論的證明、習(xí)題的推導(dǎo)過程等，都是體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的過程。教師在這個過程中抓住機會，教會學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的理解與運用的基礎(chǔ)上逐步形成數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，教會學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解答問題的過程中學(xué)會數(shù)學(xué)方法與概念的運用，使二者互為運用，形成辯證的思維習(xí)慣[17]。

一部數(shù)學(xué)史體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)家的思想方法的故事。大量的概念、定理、法則的運用都體現(xiàn)在教授的解題過程中，教師講授課程中對數(shù)學(xué)思想方法的運用，會使學(xué)生在潛移默化中學(xué)會“想數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”，只有這樣學(xué)生才獲得終身受益的思想方法，如柯西、牛頓等授課無不如此。

數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思想的高層次的具體表現(xiàn)。定義的表述，體系的嚴(yán)格性、完備性都靠老師在教學(xué)過程中體現(xiàn)，使學(xué)生觸類旁通，養(yǎng)成解決問題的綜合思維能力，是數(shù)學(xué)史對實踐教育的重要啟示。

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