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    逐差法處理測電源電動勢和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的研究

    2018-03-05 05:51:22何述平
    物理通報 2018年3期
    關(guān)鍵詞:差法電動勢伏安

    何述平

    (西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所 甘肅 蘭州 730070)

    1 引言

    測電源電動勢和內(nèi)阻實驗是普通高中課程標準實驗教科書《物理·選修3-1》的基本內(nèi)容[1,2],原理方法有伏安法、伏阻法、安阻法[1~5],數(shù)據(jù)處理方法有方程法和圖像法[1~4].然而,可否運用逐差法?有怎樣的特點?就此進行相應(yīng)研究,以期推證線性函數(shù)逐差法,并運用于測電源電動勢和內(nèi)阻的數(shù)據(jù)處理,拓展現(xiàn)行教科書中的相關(guān)方法,并為教學(xué)設(shè)計奠定層次性、開放性的物理基礎(chǔ).

    2 線性函數(shù)逐差法的推證

    逐差法是物理實驗數(shù)據(jù)處理的基本方法,也是解決擬合(回歸)直線時方程數(shù)多于變量數(shù)的方法[6];據(jù)此簡明推證線性函數(shù)逐差法.設(shè)直接測量物理量x,y呈線性關(guān)系

    y=a0+a1x

    (1)

    式中a0和a1為間接測量量(恒量).測2n組數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,2n,n≥1,按測量數(shù)據(jù)大小依次代入式(1),得2n個線性方程.依據(jù)逐差法處理數(shù)據(jù)的基本思想(差分-平均)[6],式(1)的2n個線性方程隔n項逐差,得

    yn+i-yi=a1(xn+i-xi)

    (2)

    式(2)求和,得

    (3)

    式(1)的2n個線性方程求和,得

    (4)

    式(3)代入式(4),化簡得

    (5)

    簡化式(5)、(3),有

    (6)

    (7)

    3 逐差法處理測電源(E,r)數(shù)據(jù)

    3.1 伏安-逐差法

    伏安法測電源電動勢和內(nèi)阻有電流表內(nèi)、外接(相對電源)兩種方式,分別如圖1和圖2所示.不考慮電表影響,由閉合電路歐姆定律均有

    U=E-Ir

    (8)

    式(8)表明:U與I呈線性關(guān)系(E,r為恒量).于是,測偶數(shù)組數(shù)據(jù)(Ii,Ui),由式(8)及式(5)、(3)處理數(shù)據(jù)得E測,r測.

    3.1.1 伏安內(nèi)接式

    如圖1所示為伏安內(nèi)接式電路,考慮電流表分壓的影響,由閉合電路歐姆定律有

    U=E-I(r+RA)

    (9)

    比較式(9)、(8)并修正已定系統(tǒng)誤差,有

    E內(nèi)修=E內(nèi)測r內(nèi)修=r內(nèi)測-RA

    (10)

    式(10)表明:伏安內(nèi)接式測電源電動勢和內(nèi)阻中,僅電流表內(nèi)阻RA對測電源內(nèi)阻r帶來影響(RA→0時,影響為零).

    圖1 伏安內(nèi)接式電路

    3.1.2 伏安外接式

    如圖2所示為伏安外接式電路,考慮電壓表分流的影響,由閉合電路歐姆定律有

    (11)

    式(11)變形,得

    (12)

    圖2 伏安外接式電路

    比較式(12)、(8)并修正已定系統(tǒng)誤差,有

    (13)

    式(13)表明:伏安外接式測電源電動勢和內(nèi)阻中,僅電壓表內(nèi)阻RV對測電源電動勢E和內(nèi)阻r帶來影響(RV→∞時,影響為零).

    3.2 伏阻-逐差法

    伏阻法測電源電動勢和內(nèi)阻的電路如圖3所示.

    圖3 伏阻法電路

    不考慮電表影響,由閉合電路歐姆定律有

    (14)

    式(14)線性化,得

    (15)

    考慮電壓表分流的影響,由閉合電路歐姆定律有

    (16)

    式(16)線性化有

    (17)

    比較式(17)、(15)并修正已定系統(tǒng)誤差,有

    (18)

    式(18)表明:伏阻法測電源電動勢和內(nèi)阻中,電壓表內(nèi)阻RV對測電源電動勢E和內(nèi)阻r帶來影響(RV→∞時,影響為零).

    3.3 安阻-逐差法

    安阻法測電源電動勢和內(nèi)阻的電路如圖4所示.

    圖4

    不考慮電表影響,由閉合電路歐姆定律有

    E=I(r+R)

    (19)

    式(19)線性化,得

    (20)

    考慮電流表分壓的影響,由閉合電路歐姆定律有

    E=I(r+R+RA)

    (21)

    式(21)線性化有

    (22)

    比較式(22)、(20)并修正已定系統(tǒng)誤差,有

    E安修=E安測r安修=r安測-RA

    (23)

    式(23)表明:安阻法測電源電動勢和內(nèi)阻中,電流表內(nèi)阻RA對測電源內(nèi)阻r帶來影響(RA→0時,影響為零).

    4 逐差法的運用結(jié)果

    取測同一節(jié)1號干電池電動勢和內(nèi)阻的數(shù)據(jù)(所用儀器:簡式電阻箱J2362型;直流安培計J0407型,0.6 A擋,RA=0.124 Ω;直流伏特計J0408型,3 V擋,RV=3 kΩ)[5],如表1所示.依次運用上述推證的線性函數(shù)逐差法處理測電源電動勢和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的結(jié)果如下.

    表1 測量數(shù)據(jù)

    4.1 伏安-逐差法的結(jié)果

    4.1.1 伏安內(nèi)接式

    (1)測量結(jié)果

    由式(8)及式(5)、(3)、表1中(Ii,Ui)數(shù)據(jù)得

    E內(nèi)測=1.53 Vr內(nèi)測=0.54 Ω

    (2)修正結(jié)果

    由式(10)、RA數(shù)據(jù)和表1測量結(jié)果得

    E內(nèi)修=1.53 Vr內(nèi)修=0.42 Ω

    4.1.2 伏安外接式

    (1)測量結(jié)果

    由式(8)及式(5)、(3)、表1中(Ii,Ui)數(shù)據(jù)得

    E外測=1.53 Vr外測=0.36 Ω

    (2)修正結(jié)果

    由式(13)、RV數(shù)據(jù)和上述測量結(jié)果得

    E外修=1.53 Vr外修=0.36 Ω

    4.2 伏阻-逐差法的結(jié)果

    (1)測量結(jié)果

    由式(15)及式(5)、(3)、表1中(Ri,Ui)數(shù)據(jù)得

    進而有E伏測=1.53 Vr伏測=0.38 Ω

    (2)修正結(jié)果

    由式(18)、RV數(shù)據(jù)和上述測量結(jié)果得

    E伏修=1.53 Vr伏修=0.38 Ω

    4.3 安阻-逐差法的結(jié)果

    (1)測量結(jié)果

    由式(20)及式(5)、(3)、表1中(Ri,Ii)數(shù)據(jù)得

    進而有E安測=1.63 Vr安測=0.88 Ω

    (2)修正結(jié)果

    由式(23)、RA數(shù)據(jù)和上述測量結(jié)果得

    E安修=1.63 Vr安修=0.76 Ω

    上述4種處理測電源電動勢和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的逐差法結(jié)果與相應(yīng)運用最小二乘法結(jié)果[7]非常接近,因此,逐差法結(jié)果具有合理性.

    5 逐差法的討論

    5.1 緣何宜按數(shù)據(jù)大小排序

    依據(jù)誤差的方合根合成,對式(7)有

    (24)

    5.2 特點比較

    比較上述4種逐差法知,從線性函數(shù)逐差法處理數(shù)據(jù)的單一角度看,簡捷程度(由簡到繁)依次為:伏安內(nèi)接式-逐差法、伏安外接式-逐差法、安阻-逐差法、伏阻-逐差法;但從原理方法的準確程度(即電表內(nèi)阻的影響,已定系統(tǒng)誤差)、逐差法的簡捷程度的綜合角度看,測電源電動勢和內(nèi)阻的合理、可行的方法順序為:伏安外接式-逐差法、伏阻-逐差法、伏安內(nèi)接式-逐差法、安阻-逐差法.因此,更宜采用伏安外接式-逐差法.這就為測電源電動勢和內(nèi)阻的教學(xué)設(shè)計奠定了層次性、開放性的物理基礎(chǔ).

    6 教學(xué)建議

    6.1 誤差分析建議

    6.2 數(shù)據(jù)處理方法建議

    梳理測電源電動勢和內(nèi)阻實驗的數(shù)據(jù)處理方法,有圖像法[7]、平均法(現(xiàn)行教科書中稱為“方程法”[1~4],實質(zhì)為平均法[8])、逐差法;而圖像法可依據(jù)作圖工具分為作圖圖像法和回歸圖像法.準確程度為:回歸圖像法(實質(zhì)為最小二乘法)最好,平均法、逐差法其次,且相當,作圖圖像法最次.因此,就測電源電動勢和內(nèi)阻實驗的數(shù)據(jù)處理教學(xué)而言,可依據(jù)學(xué)生發(fā)展需求嘗試運用不同方法,這既可延續(xù)“一題多解”的理念,進一步發(fā)展物理發(fā)散思維;又可更好地理解物理方法的價值,培養(yǎng)與提升物理實驗數(shù)據(jù)處理能力.

    7 結(jié)語

    不僅簡明推證了線性函數(shù)逐差法,給出了處理測電源電動勢和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的逐差法;而且結(jié)合測量數(shù)據(jù)提供了運用逐差法的合理測量結(jié)果、修正結(jié)果.討論了逐差法的特點,提出了處理測電源電動勢和內(nèi)阻的合理方法順序,給出了誤差分析、數(shù)據(jù)處理方法的教學(xué)建議;拓展了現(xiàn)行普通高中課程標準實驗教科書中測電源電動勢和內(nèi)阻實驗的數(shù)據(jù)處理方法.

    線性函數(shù)逐差法可作為高中物理學(xué)方法論教育的顯性化內(nèi)容,應(yīng)是高中物理教師清晰并能靈活運用的物理實驗數(shù)據(jù)處理的基本方法.

    1 人民教育出版社課程教材研究所,物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書·物理選修3-1(第3版).北京:人民教育出版社,2010.70~71

    2 束炳如, 何潤偉. 普通高中課程標準實驗教科書·物理選修 3-1(第2版). 上海: 上??萍冀逃霭嫔?, 2007. 82~85

    3 陶洪.物理實驗論.南寧:廣西教育出版社,1996.174~177

    4 王興乃,羅棟國.高中物理實驗大全(第2冊).北京:電子工業(yè)出版社,1989.279~290

    5 安忠,劉炳昇.中學(xué)物理實驗教學(xué)研究.北京:高等教育出版社,1986.237~238

    6 龔鎮(zhèn)雄.普通物理實驗中的數(shù)據(jù)處理.西安:西北電訊工程學(xué)院出版社,1985.119~123

    7 何述平.圖像法處理測電源電動勢和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的研究.物理教師,2013,34(8):58~60

    8 何述平.平均法處理測電源電動勢和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的研究.物理實驗,2013,33(6):16~19

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