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    固體均勻弦振動(dòng)中數(shù)據(jù)處理與誤差分析

    2018-03-05 05:48:02楊寧選
    物理通報(bào) 2018年3期
    關(guān)鍵詞:弦線駐波橫波

    張 春 楊寧選

    (石河子大學(xué)理學(xué)院物理系 新疆 石河子 832000)

    固體均勻弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)是大學(xué)普通物理力學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)、傳統(tǒng)教學(xué)實(shí)驗(yàn),它驗(yàn)證了弦線上橫波的傳播規(guī)律,觀察固定均勻弦振動(dòng)傳播時(shí)形成的駐波波形,測(cè)量均勻弦線上橫波的傳播速度及均勻弦線的線密度[1~11].通常采用實(shí)驗(yàn)方法有兩種:一是采用振動(dòng)頻率固定的電動(dòng)音叉,通過(guò)改變弦線長(zhǎng)度或張力,形成穩(wěn)定駐波,研究橫波的疊加現(xiàn)象,驗(yàn)證橫波的波長(zhǎng)與張力、線密度的關(guān)系;二是采用頻率連續(xù)可調(diào)的振動(dòng)體,改變弦長(zhǎng)或張力,形成穩(wěn)定駐波從而驗(yàn)證弦線上駐波的振動(dòng)規(guī)律[5].方法一實(shí)驗(yàn)操作簡(jiǎn)便,實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象非常明顯,但該方法在測(cè)量波長(zhǎng)時(shí),受實(shí)驗(yàn)條件的影響,測(cè)量弦長(zhǎng)的數(shù)據(jù)不是很精確[5],為此本文將探討在數(shù)據(jù)處理中可以應(yīng)用最小二乘法,研究弦線上橫波的波長(zhǎng)與張力的關(guān)系,并利用Origin軟件進(jìn)行線性擬合,對(duì)波速和頻率及其誤差進(jìn)行計(jì)算,為實(shí)驗(yàn)操作者和實(shí)驗(yàn)教學(xué)者提供參考.

    1 實(shí)驗(yàn)裝置及理論分析

    弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀[1]如圖1所示,將弦線一端固定于電振音叉的一個(gè)腳上,另一端繞過(guò)定滑輪后掛一砝碼,弦線張力T的大小即是砝碼的重力.閉合開(kāi)關(guān)S后,調(diào)節(jié)音叉斷續(xù)器的接觸點(diǎn)螺絲S′,令音叉維持振幅恒定的簡(jiǎn)諧振動(dòng),可迫使弦線產(chǎn)生橫波向外傳播,并在端點(diǎn)D發(fā)生反射.由于前進(jìn)波與反射波的振幅相同,頻率相同,振動(dòng)方向相同且傳播方向相反,則當(dāng)C與D兩端間弦線的長(zhǎng)度滿(mǎn)足一定的條件時(shí),前進(jìn)波與反射波在弦線上可產(chǎn)生干涉.

    圖1 弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置圖

    (1)

    (2)

    弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)一端為振源,另一端固定,屬于有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng),初始時(shí)刻,式(1)滿(mǎn)足的初始條件為

    (3)

    如果振源以正弦函數(shù)方式振動(dòng),式(1)滿(mǎn)足的邊界條件為

    u|x=0=0u|x=l=sin(2πνt)

    (4)

    式中l(wèi)為弦長(zhǎng),ν為振源的振動(dòng)頻率.因?yàn)橄业恼駝?dòng)在時(shí)間上是簡(jiǎn)諧的,所以對(duì)方程(1)分離變量后,求出的通解為

    u(x,t)=(AeiΛx+Be-iΛx)ei2πνt

    (5)

    式中A與B是兩個(gè)積分常數(shù),等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)表示自波源向固定端傳播的入射波,第二項(xiàng)則是由固定端反射回來(lái)向波源傳播的反射波,Λ是分離時(shí)所引入的常數(shù).

    2 實(shí)驗(yàn)原理

    駐波是波的干涉現(xiàn)象的特例,產(chǎn)生駐波的條件為:振幅相同且在同一直線上沿相反方向傳播的兩列相干波.設(shè)前進(jìn)波沿x軸正方向傳播,則反射波沿x軸負(fù)方向傳播,取它們振動(dòng)相位始終相同的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),且在x=0處振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)向上達(dá)到最大位移時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),則前進(jìn)波的波動(dòng)表達(dá)式為

    反射波的表達(dá)式為

    其中,A為簡(jiǎn)諧波的振幅,ω為圓頻率,f為頻率,λ為波長(zhǎng),x為弦線上質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置.兩列波疊加后形成駐波,其表達(dá)式為

    (6)

    式(6)表示駐波上各點(diǎn)都在做簡(jiǎn)諧振動(dòng),各點(diǎn)振動(dòng)的頻率相同,即是波的頻率,但是各點(diǎn)的振幅隨質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)位置的不同而不同,即各點(diǎn)的振幅為

    (7)

    其中,振幅為零的點(diǎn)稱(chēng)為波節(jié),振幅最大的點(diǎn)稱(chēng)為波腹.駐波不是振動(dòng)狀態(tài)的傳播,也沒(méi)有能量的傳播,而是介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都做穩(wěn)定的簡(jiǎn)諧振動(dòng).

    可得波節(jié)的位置為

    同理,可得波腹的位置為

    則相鄰兩波節(jié)(或波腹)的距離為

    (8)

    因此,在實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)C與D兩端間弦線的長(zhǎng)度等于半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí),可觀察到駐波現(xiàn)象,此時(shí)只要測(cè)得相鄰兩波節(jié)或相鄰兩波腹的距離,就可以確定波長(zhǎng)

    (9)

    其中,n稱(chēng)為半波數(shù).由波動(dòng)理論可證,沿著一條拉緊的弦線傳播橫波時(shí),波的傳播速度v滿(mǎn)足

    (10)

    其中,T為弦線的張力,ρ為弦線的線密度 (即單位長(zhǎng)度的質(zhì)量).

    These last definitions allow an immediate calculation of the above parameters after finding the memristance curve(Fig. 1-Bottom), since R0, Ron and Roff are found from direct inspection. By substituting the definitions of NMR and NRS,Eq. (9) is transformed to:

    若弦線的波動(dòng)頻率為f,弦線上傳播的橫波波長(zhǎng)為λ,則根據(jù)v=fλ及式(10)得

    (11)

    對(duì)式(11)兩邊取對(duì)數(shù),得

    (12)

    式(12)為弦振動(dòng)的傳播規(guī)律.

    3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及數(shù)據(jù)記錄

    (1)首先用分析天平稱(chēng)出不同長(zhǎng)度弦線的質(zhì)量,然后用米尺測(cè)出其長(zhǎng)度,記錄在表1中.

    表1 弦線的線密度

    (2)取砝碼質(zhì)量依次為20 g,40 g,60 g,80 g,100 g,120 g,140 g,160 g,調(diào)節(jié)弦線的長(zhǎng)度,使弦線上出現(xiàn)穩(wěn)定的駐波,記錄半波數(shù)的個(gè)數(shù)和用米尺測(cè)量出弦線的長(zhǎng)度(測(cè)量5次),記錄在表2中,在本實(shí)驗(yàn)中取力學(xué)實(shí)驗(yàn)室位置重力加速度的理論值[2]為g理論=9.808 m/s2.

    4 數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析

    (1)對(duì)于弦線的線密度,多次測(cè)量求平均值

    其中

    分析天平 Δ儀=0.000 1×10-3kg

    米尺 Δ儀=0.000 1 m

    總不確定度為

    因此

    表2 懸掛不同質(zhì)量砝碼時(shí)弦線的長(zhǎng)度和半波數(shù)

    表3 lnλ~lnT的關(guān)系

    (2)對(duì)于式(11),兩邊取對(duì)數(shù),有

    設(shè)

    y=lnλx=lnT

    則y=ax+b;可以驗(yàn)證lnλ~lnT的線性關(guān)系.代入相應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)后,用最小二乘法計(jì)算a,b的值及相關(guān)系數(shù)R和靈敏度的值k.由于

    根據(jù)最小二乘法處理數(shù)據(jù)的方法,有

    (13)

    (14)

    可以計(jì)算出a=0.497 6,b=-0.685 3;關(guān)聯(lián)系數(shù)R=0.970 2,靈敏度的值k=0.497 6.從結(jié)果上看,關(guān)聯(lián)系數(shù)接近于1,說(shuō)明lnλ,lnT具有較好的線性關(guān)系.

    用OriginPro7.5軟件可以進(jìn)行線性擬合,擬合的圖像如圖1所示.從圖1可以看出實(shí)際曲線和擬合曲線一致性非常好,lnλ和lnT滿(mǎn)足線性關(guān)系.

    圖1 lnλ~lnT擬合關(guān)系曲線圖

    圖2 m~vρ,vf關(guān)系曲線圖

    表4 兩種波速及誤差的計(jì)算

    5 小結(jié)

    本文從波動(dòng)方程入手,推導(dǎo)出弦振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生駐波的方程;得出弦振動(dòng)形成駐波時(shí),波長(zhǎng)、弦中張力、頻率和弦線密度之間的關(guān)系.對(duì)弦振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用最小二乘法處理,并用OriginPro7.5軟件對(duì)lnλ~lnT進(jìn)行了線性擬合,分析了相對(duì)誤差.此外,本文用分析天平求弦線線密度時(shí),計(jì)算了其不確定度,并采用兩種方法計(jì)算了弦線上行波的波速,對(duì)比了兩種波速的誤差度.

    1 張建軍,殷保詳.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn).北京:北京郵電大學(xué)出版社,2013

    2 張松鋒,張鴻輝,周小東.基于最小二乘法的弦振動(dòng)的研究.智能計(jì)算機(jī)與應(yīng)用,2015,5(6):49~51

    3 王榮,牛英煜.利用弦振動(dòng)方程研究駐波特性.物理實(shí)驗(yàn),2012,32(7):36~39

    4 浦天舒.弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中阻力系數(shù)的測(cè)定.物理與工程,2015,25(3):54~56

    5 呂春,楊萍,張兵.從弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)方法的多樣性,探究物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法.第六屆全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)論文集(上),148~151

    6 王玉清.固定均勻弦振動(dòng)儀裝置的拓展應(yīng)用.實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2009,28(3):31~33

    7 黃莘,王茂香.弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理與分析.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2013,26(6):89~91

    8 張宇亭,趙斌,王茂香.弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中駐波波長(zhǎng)的測(cè)量方法.實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù),2016,14(1):42~45

    9 張慶龍.弦振動(dòng)特性研究.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2016, 29(4): 65~66

    10 苗錕,黃育紅,李康,等.弦振動(dòng)形成駐波的規(guī)律和數(shù)據(jù)的MATLAB處理.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2010,23(4):75~79

    11 姚久民,田廣志,祝玉華.用頻譜分析法研究弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn).物理實(shí)驗(yàn),2009,29(12):30~33

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