斜線齒面齒輪插齒加工及有限元分析

張瑞鋒，裴朋超，張昆侖，焦生杰

（長安大學(xué) 工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710064）

1 引言

面齒輪傳動能夠傳遞相交軸運(yùn)動[1]，具有傳動平穩(wěn)、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)勢[2]，能很好地滿足航空航天領(lǐng)域傳動系統(tǒng)的設(shè)計要求。斜線齒面齒輪是一種新型的面齒輪，不能在現(xiàn)有的三維軟件中直接建模，又不可能實(shí)現(xiàn)齒輪副的參數(shù)化建模；在接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力計算方面，尚未有關(guān)于斜線齒面齒輪的精確應(yīng)力計算公式可供參考，近似公式計算的結(jié)果比較粗糙，不能滿足像航空齒輪的高性能要求，用有限元方法進(jìn)行研究具有重要的意義[3-5]。文獻(xiàn)[6-7]研究了面齒輪的嚙合原理，齒頂變尖和齒根根切的幾何條件以及加載接觸應(yīng)力分析等，為國內(nèi)面齒輪的后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[8]比較了NURBS和虛擬加工的方法建立的幾何模型的精度，并用ABAQUS進(jìn)行面齒輪單齒和多齒模型的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力計算。文獻(xiàn)[9]運(yùn)用軟件ANSYS計算了面齒輪和圓柱齒輪的彎曲應(yīng)力。

綜合上述考慮，決定從齒輪副的齒面數(shù)學(xué)模型、高精度三維模型和有限元分析這三個方面入手，模擬漸開線直齒輪插齒刀斜插面齒輪的運(yùn)動過程，研究準(zhǔn)共軛齒廓的展成原理，建立面齒輪齒面的精確數(shù)學(xué)模型并研究斜線齒面齒輪的齒寬設(shè)計，利用三維建模軟件CATIA逆向建出斜線齒面齒輪副的高精度實(shí)體模型，利用有限元計算軟件ABAQUS，精確計算出嚙合過程中的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力，提高斜線齒面齒輪傳動的可靠性。

2 面齒輪的插齒加工

2.1 插齒原理

斜線齒面齒輪插齒原理圖，如圖1所示。其插齒過程是模擬直齒圓柱齒輪與斜線齒面齒輪斜交嚙合傳動。斜線齒面齒輪插齒加工時，插齒刀軸線zs和被加工齒輪軸線z2是異面直線且與半徑方向有一定的斜角γs。插齒刀繞軸線zs以角速度ωs旋轉(zhuǎn)的同時沿著軸線zs進(jìn)給，被加工面齒輪繞軸線z2以角速度ω2旋轉(zhuǎn)，ω2與ωs的比值等于滾比。

圖1 斜線齒面齒輪插齒原理Fig.1 Shaper Machining Principle of Face Gear

2.2 斜線齒面齒輪的齒面方程

插齒刀坐標(biāo)系Ss（xs，ys，zs）中，插齒刀漸開線齒廓方程為：

式中：rbs—插齒刀的基圓半徑；us—刀具齒面的軸線參數(shù)；θs—刀具的角度參數(shù)；θ0s—插齒刀漸開線與基圓交點(diǎn)的角度參數(shù)，由式（2）確定：

式中：Ns—刀具的齒數(shù)；漸開線函數(shù) invα0=tgα0-α0，α0—壓力角。

斜線齒面齒輪插齒加工采用的坐標(biāo)系，如圖2所示。動坐標(biāo)系Os和O2分別與插齒刀、面齒輪固聯(lián)；參考坐標(biāo)系Oa和Od分別為插齒刀、面齒輪的參考坐標(biāo)，用于確定插齒刀加工轉(zhuǎn)角φs和面齒輪加工轉(zhuǎn)角φ1，輔助坐標(biāo)系Ob確定了插齒刀相對于面齒輪斜交的角度γc，輔助坐標(biāo)系Oc用于確定與Ob的相對位置L0以及軸交角γm。面齒輪的齒面方程可由式（4）導(dǎo)出：

圖2 面齒輪插齒加工坐標(biāo)系Fig.2 Shaper Processing Coordinate System of Face Gear

式中：M2s=M2dMdcMcbMbaMas為刀具坐標(biāo)系Os到被加工面齒輪坐標(biāo)系 O2的變換矩陣；f（us，θs，φs）=0 為嚙合方程。

式中：ωx，ωy，ωz—面齒輪角速度在插齒刀坐標(biāo)系中的表示，如式（6）所示。

式中：x2=xs-L0sinγccosφs，y2=ys+L0sinγcsinφs，z2=us+L0cosγc將式（4）和式（6）代入式（5）的嚙合方程中，求得：

將式（7）代入式（4）的齒面方程中，消去us，從而得到以面齒輪的齒面方程，如式（8）所示。

2.3 避免根切和變尖的條件

在斜線齒面齒輪的內(nèi)徑的齒根處，容易產(chǎn)生根切現(xiàn)象，根切現(xiàn)象的出現(xiàn)會將面齒輪齒根處的正常的齒面切除，降低了齒根處的疲勞強(qiáng)度，影響到斜線齒面齒輪的使用壽命，因此，這種現(xiàn)象不允許發(fā)生。從面齒輪的結(jié)構(gòu)上看，從內(nèi)端至外端的壓力角是連續(xù)增大，因此在大端靠近齒頂處易發(fā)生變尖，尖頂是在面齒輪切削過程中出現(xiàn)的一種負(fù)面情況。它的出現(xiàn)削弱了在該區(qū)域輪齒的強(qiáng)度，因此在設(shè)計過程中應(yīng)當(dāng)避免輪齒齒頂變尖。根據(jù)文獻(xiàn)[6]中所提出的公式，求得在斜線齒面齒輪內(nèi)徑處不發(fā)生根切現(xiàn)象的臨界點(diǎn)的坐標(biāo)（x1，y1，z1），則對應(yīng)的臨界齒寬，如式（9）所示。

當(dāng)面齒輪的內(nèi)半徑不小于時，可避免根切。斜線齒面齒輪齒頂處不發(fā)生變尖現(xiàn)象的臨界點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y2，z2），則對應(yīng)的臨界齒寬，如式（10）所示。

3 斜線齒面齒輪的建模

CATIA軟件作為一種三維建模軟件，具有強(qiáng)大的逆向建模功能。利用CATIA對齒輪進(jìn)行逆向建模，其建模過程如下：（1）通過軟件MATLAB編寫齒面方程程序，得到齒面網(wǎng)格點(diǎn)的離散點(diǎn)云，并保存為CATIA可讀取的文件格式。（2）將離散點(diǎn)云導(dǎo)入CATIA中，擬合出齒面并進(jìn)行圓形陣列；根據(jù)齒輪參數(shù)，通過旋轉(zhuǎn)、拉伸等，建立輪坯模型；利用齒面的圓形陣列修剪輪坯模型后，進(jìn)行封閉曲面、凹槽等操作，最終得到斜線齒面齒輪副的面齒輪和圓柱齒輪的實(shí)體模型。（3）將面齒輪和圓柱齒輪的實(shí)體模型導(dǎo)入裝配設(shè)計中，根據(jù)裝配參數(shù)，建立偏移約束，角度約束等，得到斜線齒面齒輪副的裝配模型。

4 斜線齒面齒輪的有限元分析

采用ABAQUS軟件對斜線齒面齒輪副進(jìn)行有限元分析。利用MATLAB軟件編寫程序進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，通過網(wǎng)格劃分得到斜線齒面齒輪的單元數(shù)為38376，圓柱齒輪的單元數(shù)為38376，網(wǎng)格單元選用三維實(shí)體單元C3D8R。將已劃分好網(wǎng)格的五齒有限元模型導(dǎo)入軟件ABAQUS中，進(jìn)行以下設(shè)置[10]：（1）定義材料屬性：面齒輪和圓柱齒輪的被賦予材料屬性相同，彈性模量206000MPa，泊松比0.3，密度7800kg/m3，彈性類型為各向同性。（2）結(jié)構(gòu)裝配：在創(chuàng)建實(shí)例中選擇面齒輪和圓柱齒輪進(jìn)行裝配并建立各自的局部坐標(biāo)系和參考點(diǎn)。（3）創(chuàng)建分析步：采用顯示動力學(xué)進(jìn)行分析，分析時間為圓柱齒輪轉(zhuǎn)過五個齒的時間，設(shè)置為2.9s，最大時間增步為20，根據(jù)網(wǎng)格單元數(shù)和運(yùn)算所需的時間，合理的設(shè)定質(zhì)量縮放系數(shù)。（4）創(chuàng)建幅值、邊界條件和載荷：選擇平滑分析步，幅值設(shè)定為1，時間/頻率為0.4s；限制斜線齒面齒輪和圓柱齒輪的自由度，讓其只能繞自身軸線轉(zhuǎn)動；圓柱齒輪為主動輪，其轉(zhuǎn)速設(shè)定為0.4rad/s，將載荷加在面齒輪上，模擬圓柱齒輪在阻力作用下的運(yùn)動情況，設(shè)定阻力矩為500N·m。（5）創(chuàng)建接觸和耦合約束：選擇面-面接觸，采用動力學(xué)接觸算法進(jìn)行計算；在軸孔面和參考點(diǎn)間建立剛性連接，保證兩個齒輪能繞各自軸線旋轉(zhuǎn)。完成以上設(shè)置之后，提交作業(yè)，進(jìn)行有限元分析，得到最終結(jié)果文件，進(jìn)行分析和處理。

5 算例

5.1 不同傾角時的齒寬設(shè)計

不同傾角時，最大內(nèi)徑、最小外徑以及齒寬的變化情況，如表1所示。隨著傾角的增大，最大內(nèi)徑和最小外徑都增大，且最大內(nèi)徑增加的幅度比最小外徑增加的幅度大，齒寬減小。

表1 不同傾角時，最大內(nèi)徑、最小外徑和齒寬Tab.1 Maximum Diameter，Minimum Outer Diameter and Tooth Width at Different Angle

5.2 齒輪副的建模

斜線齒面齒輪副的基本參數(shù)，如表2所示。利用軟件CATIA進(jìn)行逆向建模，最終建立斜線齒面齒輪、圓柱齒輪和齒輪副的實(shí)體裝配模型，面齒輪和圓柱齒輪的裝配模型，如圖3所示。齒面較為光順平滑，測量擬合齒面與離散點(diǎn)云之間的誤差，面齒輪的誤差為0.007mm，圓柱齒輪的誤差為0.004mm，所建實(shí)體模型精度高，驗證了該方法的可行性和準(zhǔn)確性。

表2 齒輪副的基本參數(shù)Tab.2 Basic Parameters of Gear Pair

圖3 齒輪副裝配模型Fig.3 Assembly Model of Gear Pair

5.3 有限元分析

為了進(jìn)行比較，設(shè)計計算了0°傾角和5°傾角兩組不同裝配情況下的斜線齒面齒輪副的應(yīng)力狀態(tài)。某一瞬時面齒輪的彎曲應(yīng)力云圖和接觸應(yīng)力云圖，如圖4所示。斜線齒面齒輪和圓柱齒輪嚙合過程中的接觸為點(diǎn)接觸，但由于材料具有一定的彈性變形，因此，在嚙合過程中，接觸區(qū)域為接觸橢圓。圖中齒輪副的接觸區(qū)為橢圓形，接觸橢圓區(qū)域的中心位置應(yīng)力值最大，沿著橢圓中心向四周，應(yīng)力值逐漸減小。兩組不同傾角的齒輪副的彎曲應(yīng)力曲線，如圖5所示。曲線顯示，傾角為5°的齒輪副所受的彎曲應(yīng)力比傾角為0°時的齒輪副所受的彎曲應(yīng)力大，更容易產(chǎn)生彎曲疲勞破壞，原因是齒輪副裝配時傾斜一定的角度，導(dǎo)致其綜合曲率半徑減小，彎曲應(yīng)力增大。兩組不同傾角的齒輪副的接觸應(yīng)力曲線，如圖6所示。曲線顯示，傾角為5°時齒輪副所受的接觸應(yīng)力比傾角為0°時齒輪副所受的接觸應(yīng)力大，更容易發(fā)生接觸疲勞破壞。產(chǎn)生上述結(jié)果的原因是齒輪副裝配時傾斜一定的角度，齒輪副的重合度減小，接觸應(yīng)力增大。以上曲線中，當(dāng)?shù)谝粋€齒進(jìn)入嚙合和第五個齒退出嚙合時，彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力較大，原因是發(fā)生邊緣接觸，產(chǎn)生了應(yīng)力集中現(xiàn)象[8]。對斜線齒面齒輪進(jìn)行適當(dāng)?shù)男扌?，可有效的避免邊緣接觸，提高齒輪副的使用壽命和可靠性。

圖4 面齒輪的應(yīng)力云圖Fig.4 Stress Cloud of Face Gear

圖5 兩組齒輪副的彎曲應(yīng)力曲線Fig.5 Bending Stress Curve of Two Gear Pairs

圖6 兩組齒輪副的接觸應(yīng)力曲線Fig.6 Contact Stress Curve of Two Gear Pairs

6 結(jié)論

（1）以插齒原理為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出齒輪的齒面方程并進(jìn)行齒寬設(shè)計；用CATIA的逆向建模功能建出斜線齒面齒輪和圓柱輪的實(shí)體模型，齒面點(diǎn)云數(shù)據(jù)與擬合齒面之間的誤差較小，驗證了該方法的準(zhǔn)確性。（2）將五齒有限元網(wǎng)格模型導(dǎo)入軟件ABAQUS中，進(jìn)行設(shè)置和作業(yè)分析。（3）比較兩組齒輪副的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，兩組齒輪副中，5度傾角齒輪副更易發(fā)生彎曲疲勞破壞和接觸疲勞破壞。

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