基于學(xué)生已有認(rèn)知，有效滲透數(shù)學(xué)思想
——以“雞兔同籠”教學(xué)為例

福建省廈門市湖里區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬小學(xué) 林成蔭

“數(shù)學(xué)廣角”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)教材特有的單元，每個(gè)內(nèi)容都蘊(yùn)含著基本的數(shù)學(xué)思想，集中體現(xiàn)了2011版新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。那么，要怎樣讓學(xué)生有效感受到這些蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法并內(nèi)化為己用，形成自身的素養(yǎng)呢？奧蘇伯爾堅(jiān)定地提出，假如把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那就是：影響學(xué)習(xí)的唯一重要因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。因此，要有效滲透數(shù)學(xué)思想，教師應(yīng)該探明學(xué)生的已有認(rèn)知，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。下面以人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“雞兔同籠”教學(xué)為例，談?wù)勎业淖龇ê透形颉?/p>

一、基于學(xué)生解決問題的經(jīng)驗(yàn)教學(xué)

小學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，直覺性思維占主要地位，一般會(huì)先從儲(chǔ)備的信息中搜尋已有的解決問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，如果找到類似點(diǎn)，他們就會(huì)套用原有的方法嘗試進(jìn)行，而在嘗試解決的過程中遇到障礙后，才會(huì)激發(fā)他們的反思性思維，尋找新的方法。因此，當(dāng)學(xué)生理解“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔知幾何?”的題意，明確要求的問題后，我做了如下引導(dǎo)：

片段一：

師：根據(jù)以前的經(jīng)驗(yàn)，你會(huì)怎么解決這個(gè)問題？

生1：分別假設(shè)雞的只數(shù)和兔的只數(shù)，然后計(jì)算它們的總腳數(shù)，看是不是題目已知的總腳數(shù)。

師：那么，你要怎么假設(shè)？

生1：假設(shè)雞10只，兔25只，雞兔的總腳數(shù)是10×2+25×4=120，哦，總腳數(shù)不對(duì)。

生2：我假設(shè)雞5只，兔30只，雞兔的總腳數(shù)是5×2+30×4=130，總腳數(shù)也不對(duì)。

生3：我假設(shè)雞15只，兔20只，雞兔的總腳數(shù)是15×2+20×4=110，總腳數(shù)也不對(duì)。

師：這樣假設(shè)你們有什么感覺？

生：很亂。

師：那么怎么辦呢？

生：可以按順序假設(shè)，再計(jì)算。就是先假設(shè)雞0只，兔35只計(jì)算；再假設(shè)雞1只，兔34只計(jì)算……這樣有序假設(shè)，有序計(jì)算，有序思考，就不亂了。

師：嗯，好辦法，這樣就有序了。那么有35個(gè)頭，我們就要假設(shè)35次，這樣你們覺得怎樣？

生：好麻煩！

師：怎么辦呢？

生：如果動(dòng)物的只數(shù)少一些就好了。

這時(shí)，老師再告訴學(xué)生在數(shù)學(xué)上可采用“化繁為簡(jiǎn)”的方法先尋找規(guī)律，然后再運(yùn)用規(guī)律解決原問題。

四年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)的基本上是用算術(shù)解決問題，所以，當(dāng)他們遇到這樣的題目時(shí)，就必然想到要假設(shè)具體的量來計(jì)算，這是他們已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)決定的。在讀懂學(xué)生的這個(gè)特點(diǎn)后，我留出時(shí)間讓學(xué)生嘗試解決問題，經(jīng)過幾次簡(jiǎn)單假設(shè)和數(shù)據(jù)調(diào)整，仍然不能得到正確的結(jié)果，學(xué)生自然會(huì)感受到這樣無序假設(shè)不利于尋找結(jié)果，于是有序假設(shè)數(shù)據(jù)的想法自然涌現(xiàn)，有序思考的思想方法水到渠成地滲透其中。有了有序假設(shè)的想法后，因數(shù)據(jù)較大，不利于假設(shè)來尋找規(guī)律，接著“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想方法也就應(yīng)運(yùn)而生。這個(gè)思想方法四年級(jí)的學(xué)生還未經(jīng)歷過，一般說不出準(zhǔn)確的名稱，但他們會(huì)有想法，想法有了，老師再順著學(xué)生的想法告知有這樣的方法可以解決問題，學(xué)生一方面為自己的想法感到高興，另一方面，他們將牢牢記住“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想方法的用處。只有經(jīng)歷這樣的體驗(yàn)，印象才會(huì)深，掌握才會(huì)牢，應(yīng)用才會(huì)活。

二、抓住本課前后知識(shí)聯(lián)系教學(xué)

從教材編排來看，解決“雞兔同籠”方法有猜測(cè)、列表、假設(shè)等，體現(xiàn)解決問題策略和方法的多樣化，這些方法之間是并列的，沒有聯(lián)系。一節(jié)課中，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程應(yīng)該是逐漸深入的、有層次的、有系統(tǒng)性的，其掌握的知識(shí)才能結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。如果是東一榔頭、西一棒槌地學(xué)，充其量習(xí)得其中一兩點(diǎn)，效果大打折扣?；诖?，我把教材中的列表法和假設(shè)法聯(lián)系起來，統(tǒng)稱為假設(shè)法，教材中的列表法屬“有序假設(shè)”，教材中的假設(shè)法屬“特例假設(shè)”，這樣學(xué)生前面學(xué)習(xí)的知識(shí)為后面學(xué)習(xí)的知識(shí)服務(wù)，解決問題的方法依然多樣，但方法螺旋上升，順應(yīng)學(xué)生思維的發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生把已有的方法進(jìn)行優(yōu)化和深化。

片段二：

師：剛才我們用列表法有序假設(shè)雞和兔的只數(shù)，找到了結(jié)論，也發(fā)現(xiàn)了每多（少）一只兔，少（多）一只雞，總腳數(shù)就會(huì)多（少）2只的規(guī)律。那么在這些假設(shè)中，你們覺得哪種假設(shè)比較特殊？

生1：雞8只，兔0只這種。

生2∶ 雞0只，兔8只這種也是。

師：為什么你們認(rèn)為這樣是特殊的？

生：因?yàn)殡u兔同籠嘛，那肯定是有雞又有兔的，但我們卻假設(shè)其中一種是沒有的，所以比較特殊。

師：在數(shù)學(xué)上，我們就利用這種特殊的假設(shè)找到了解決“雞兔同籠”問題的更一般的方法，你們要不要試試？接著讓學(xué)生根據(jù)提示自主探究。

以前見過老師們教學(xué)本內(nèi)容引入教材中的假設(shè)法時(shí)，單刀直入地說：剛剛我們用列表法解決了問題，接下來我們學(xué)習(xí)用新的方法解決這個(gè)問題。這樣平淡無奇、波瀾不驚地過渡，沒有激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，更不用說培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的眼光分析解決問題的意識(shí)和能力。我經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，教材中的列表法和假設(shè)法是有聯(lián)系的，聯(lián)系一就是假設(shè)法其實(shí)是列表法中把雞和兔的只數(shù)分別假設(shè)為0的情況；聯(lián)系二是從表中發(fā)現(xiàn)總腳數(shù)的變化規(guī)律總是差2，正是因?yàn)槊恐煌茫u）比每只雞（兔）多（少）2只腳的緣故，為探究假設(shè)法的道理做好鋪墊。于是抓住這個(gè)聯(lián)系承上啟下，讓學(xué)生感受到下一步的學(xué)習(xí)是以剛學(xué)的知識(shí)為基礎(chǔ)的，不但體驗(yàn)到新知學(xué)習(xí)的作用，享受成功感，而且激發(fā)了他們進(jìn)行探究的欲望和積極性，更重要的是樹立信心，覺得在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的新知自己是有能力探究出來的，于是他們興致勃勃地尋找特例假設(shè)與題目條件的矛盾，有的學(xué)生根據(jù)列表中的規(guī)律找原因，有的學(xué)生畫圖找原因，有些學(xué)生在獨(dú)立思考和合作交流后仍不懂的，迫不及待地閱讀課本。

三、根據(jù)現(xiàn)有幾何直觀水平教學(xué)

2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中新增的核心概念之一“幾何直觀”是指利用圖形描述分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路。但不是有圖就能理解，有圖就能解題，有圖還要根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的幾何直觀理解水平，輔以必要的操作、變化和語(yǔ)言分析，才能達(dá)到用幾何直觀性來闡明數(shù)之間的關(guān)系的目的，幫助學(xué)生逐漸掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法。

片段三：

師：現(xiàn)在我們假設(shè)全是雞，那么總腳數(shù)是8×2=16（只），比題目已知的26只少了10只，為什么少了10只呢？

生：因?yàn)橛行┩帽豢闯呻u了，所以總腳數(shù)變少了。

生：少的這10只腳原來是兔子的。

師：已經(jīng)知道這10只腳是兔子的，那接下來怎么辦呢？

生：用10÷2來算兔的只數(shù)。

師：2是什么意思？為什么用除法？

學(xué)生通過交流，閱讀課本，模糊地明白了解決的步驟，但還沒完全理解，面對(duì)已經(jīng)擺好的圖（圖1），學(xué)生思考，遲疑，但說不出來。

圖1

師：是不是要把兔子少的腳還回去呢？（學(xué)生點(diǎn)頭表示同意。）

師：每只兔要還回去幾只腳？

生：2只。

師：為什么？

生：因?yàn)槊恐浑u有2只腳，一只兔比一只雞多2只腳，所以只要補(bǔ)上2只腳。

師（邊操作）：那就從這10只腳中拿出2只補(bǔ)給它，雞就變成兔了。（如圖2）

圖2

生：我明白了，這10只腳中有幾個(gè)2，就說明剛才少看了幾只兔，也就是兔有幾只。

師：是這樣嗎？請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)來把剩下的這些腳補(bǔ)回去。（請(qǐng)一生上臺(tái)操作，最后如圖3）

圖3

師：現(xiàn)在你們能把這個(gè)過程用算式表示出來嗎？（絕大多數(shù)學(xué)生都滿懷信心地拿起筆，在作業(yè)本上刷刷地寫起來了）

……

學(xué)生思考的著力點(diǎn)有時(shí)離真相只隔著一層紙，雖然只是一層紙，但如果沒有戳出一個(gè)小洞，讓學(xué)生得以靠近窺探，那么一層紙就足以阻礙學(xué)生進(jìn)一步的思考。就像上述環(huán)節(jié)中，圖已經(jīng)擺出來了，學(xué)生知道總腳數(shù)比實(shí)際少10只，少的10只腳是兔子的腳，但他們找不到圖與數(shù)間的進(jìn)一步聯(lián)系，因?yàn)樗哪昙?jí)學(xué)生還是具體形象思維占主要地位，透過靜態(tài)圖思考圖與數(shù)間的關(guān)系的能力較弱，經(jīng)過老師把少的2只腳補(bǔ)到原圖中變成兔的操作后，靜態(tài)圖變成了動(dòng)態(tài)圖，更加直觀地展現(xiàn)了數(shù)量的變化關(guān)系，學(xué)生的思路找到切入口，思維找到了著力點(diǎn)——除法的意義，于是瞬間感悟到只要求少的總腳數(shù)中有幾個(gè)2，就有幾只兔的道理?；趯W(xué)生現(xiàn)有幾何直觀水平的動(dòng)態(tài)的形幫助學(xué)生很好地理解了算式的意義和所求數(shù)的道理，同時(shí)感受到數(shù)形結(jié)合的深層魅力。

在學(xué)生已有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，經(jīng)過他人或媒介的幫助，通過自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式逐漸抽象、推理構(gòu)建的“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)模型，嵌入學(xué)生已有的知識(shí)和思維體系，達(dá)到新的水平，為學(xué)生提取信息，靈活解決新的情境和數(shù)據(jù)下其他的“雞兔同籠”問題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)生在解決這一類問題時(shí)得心應(yīng)手，能順利找出對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，運(yùn)用原模型的解決方法解決一般化的雞兔同籠問題。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)需要與具體的知識(shí)相結(jié)合，認(rèn)識(shí)的深淺在于其是否以學(xué)生的原有認(rèn)知為著力點(diǎn)，所以要讓學(xué)生深刻體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)思想，教師應(yīng)該探究與其緊密聯(lián)系的知識(shí)生成的生長(zhǎng)點(diǎn)，再據(jù)此展開教學(xué)。