基于單向LOCC的正交兩體態(tài)區(qū)分算法

司萌萌,李志慧,劉成基

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,西安 710119)

0 概述

隨著量子信息理論的發(fā)展,量子密碼學相比經(jīng)典密碼學越來越體現(xiàn)出更多優(yōu)勢的同時,也提出了許多挑戰(zhàn)性的課題[1-3],其中量子態(tài)的局域區(qū)分就是量子通信領(lǐng)域一個基本問題。在局域操作和經(jīng)典通信(Local Operation and Classical Communication,LOCC)的限制下,正交態(tài)并不是總可以精確區(qū)分的[4-6]。一組正交量子態(tài)不一定可局域區(qū)分,是量子非局域性的一個表現(xiàn)。研究區(qū)域區(qū)分的規(guī)律不僅有利于理解量子非局域性,還可使人們能從新的角度去研究其他的量子信息理論問題[7-9]。兩體正交量子態(tài)的局域區(qū)分方案如下:在許多可能的正交兩體量子態(tài)中選出一個分發(fā)給Alice和Bob,他們只利用LOCC就可以找出他們共享的是哪一個態(tài)。文獻[10]構(gòu)造了一組乘積純態(tài),獲得的結(jié)論是來自于不可擴張乘積基的成員之間是不能通過LOCC被完全區(qū)分的;文獻[11]證明了任意2個多體正交純態(tài)可以精確局域區(qū)分,此結(jié)果說明了在LOCC下量子態(tài)的糾纏與否與其精確區(qū)分的關(guān)系不大,也說明了此問題的復雜性;文獻[12]的結(jié)果是得出了類Holevo上界對于局部的可訪問的信息來自于一個兩體系統(tǒng)的量子態(tài)系綜;文獻[13]的結(jié)果表明了幾乎所有來自于N個d維多體系統(tǒng)的d+1個正交量子態(tài)集合通過LOCC是不可以完全被區(qū)分的。

近期,文獻[14]提出了一個利用單向LOCC(one-way LOCC,1-LOCC)來區(qū)分兩體正交態(tài)的框架,并在理論上給出了兩體正交態(tài)的集合通過單向LOCC可區(qū)分性的判定,但文獻[5]并沒有給出區(qū)分兩體正交態(tài)的一般性算法。本文給出基于單向LOCC的一類正交兩體態(tài)區(qū)分算法,并在此算法的基礎(chǔ)上,對4?4上的廣義正交Bell態(tài)給出其可單向區(qū)分的一個充分條件,此充分條件可作為一個快速算法判斷正交態(tài)是否可單向LOCC區(qū)分,最后對此結(jié)論給予實例驗證。

1 文獻[14]主要結(jié)論回顧

文獻[14]得到了如下結(jié)果:在一個dA?dB的兩體系統(tǒng)中,其中,dA、dB是子系統(tǒng)A和B的維數(shù),如果第i部分(其中i=A或B)開始一個單向LOCC協(xié)議以完全區(qū)分一個正交兩體態(tài)的集合,那么這樣的一個單向LOCC協(xié)議存在的信息取決于一個di×di階的Heimitian矩陣組成的子空間是否包含一個最大交換子空間。根據(jù)這一結(jié)論,對于dA?dB中的所有正交兩體態(tài)集合,其單向LOCC的可區(qū)分性便可以得到判定[15]。

1.1 密度矩陣的譜分解

(1)

1.2 標準正交基和復矩陣

(2)

1.3 主要符號及說明

1.4 最大交換子空間

定義3如果實向量空間S中一個維數(shù)為d的子空間中的任意2個矩陣都可交換,那么這個子空間稱作一個最大交換子空間(Maximally Abelian Subspace,MAS)。

注釋1任意一個MAS和唯一一組共同的特征向量相對應(yīng),且這組共同的特征向量可以使得MAS中所有Hermitian矩陣在這組基下對角化。

1.5 d?d上的廣義正交兩體量子態(tài)

定義4在d?d中,d2維的廣義的正交兩體量子態(tài)可以表示為[6]:

(3)

注釋2設(shè){Ti}d+ti=1是T⊥的一個MAS。令C是由矩陣{i[Tj,Tk]|1≤j

(Γj)kj=iTr(Gj[Tk,Tl])

2 d?d上的糾纏態(tài)區(qū)分算法

本文主要考慮式(3)中的態(tài)在由Alice開始的單向LOCC可區(qū)分問題?，F(xiàn)給出在d?d中,任意N(2≤N≤d2)個糾纏態(tài)的局域區(qū)分算法。

2.1 糾纏態(tài)區(qū)分算法內(nèi)容

步驟1在d?d上任意選取N(2≤N≤d2)個糾纏態(tài)。

步驟3計算dimT⊥,作如下判斷:

1)當dimT⊥≤d-1時,該N個態(tài)不能由Alice開始一個單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,算法終止。

2)當dimT⊥=d時,進一步檢查:該T⊥是否為一個MAS。 如果是,則該N個態(tài)可以由Alice開始一個單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,轉(zhuǎn)入步驟4;否則,算法終止。

3)當dimT⊥≥d+1時,進一步檢查:如果T⊥包含一個MAS在S中,那么該N個態(tài)可以由Alice開始一個單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,轉(zhuǎn)入步驟4;否則,算法終止。

步驟4計算MAS中非單位矩陣的特征向量。

注釋3若步驟1中的N個態(tài)可單向LOCC區(qū)分,則以上算法求得的MAS的特征向量便可作為相應(yīng)的投影算子對所選的糾纏態(tài)進行區(qū)分;

步驟3中,由dimT⊥=d2-dimT得到T⊥的維數(shù),基于T⊥的維數(shù)值,可以將這些正交兩體態(tài)分成不同類。

2.2 糾纏態(tài)區(qū)分算法分析

該算法是判斷正交兩體態(tài)是否可單向LOCC的一般性算法,雖與文獻[14]算法性能相似,但卻優(yōu)于原算法,其原因是本文算法適用于任何一組正交兩體態(tài)是否可區(qū)分的判定;其次,該算法將判斷正交態(tài)是否可區(qū)分轉(zhuǎn)化為判斷正交態(tài)組的正交補空間是否包含有一個MAS,區(qū)分時只需進行一次投影測量,該算法同時兼顧了算法復雜度和算法性能,因此,更具有實際應(yīng)用價值。

3 4 ? 4上的糾纏態(tài)快速區(qū)分算法

3.1 算法原理

利用2.1節(jié)算法,對式(3)中d=4的情況,得到快速判斷糾纏態(tài)單向LOCC課區(qū)分的一個結(jié)論。

由式(3),當d=4時,4?4上廣義的正交兩體態(tài)為:

(4)

令集合:

定理1對式(4)中的廣義正交兩體態(tài),設(shè)其正交補空間為T⊥,若T⊥?Ui(i=1,2,…,6),則這組正交兩體態(tài)一定可單向LOCC區(qū)分。

考慮集合:

計算i[Ti,Tj](i,j=1,2,…,5)可得,C是由矩陣G1和G2張成的,其中:

R是由矩陣Ω1和Ω2張成的,其中:

矩陣Ω1和Ω2是秩2的且Supp(Ω1)∩Supp(Ω2)是由(0,0,0,0,1)T張成的。

因此,由引理2,U1包含一個MAS,又U1?T⊥,因此T⊥包含一個MAS,從而由引理1可知,對應(yīng)的這組糾纏態(tài)可單向LOCC區(qū)分。

其他情況可類似證明。

注釋4實際上,Ui(1,2,…,6)中包含一個MAS,且涵蓋了了由T可能組成的所有含MAS的集合。因此,一組糾纏態(tài)對應(yīng)的T⊥若包含其一,該T⊥就包含一個MAS,這些糾纏態(tài)就一定可單向LOCC區(qū)分。

當然,利用2.1節(jié)算法也可以區(qū)分式(4)中的態(tài),但判斷T⊥是否包含一個MAS有時是困難的。

3.2 快速算法內(nèi)容

步驟1在4?4上任意選取N(2≤N≤16)個糾纏態(tài)。

步驟3根據(jù)T⊥作如下判斷:

1)若T⊥滿足定理1,則該N個態(tài)可以由Alice開始一個單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,轉(zhuǎn)入步驟4。

2)若T⊥不滿足定理1,則該N個態(tài)不可以由Alice開始一個單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,算法結(jié)束。

步驟4計算MAS中非單位矩陣的特征向量。

3.3 算法分析

因此本文提出的算法計算復雜度較小,給糾纏態(tài)的區(qū)分帶來了方便。

基于以上快速算法(3.2節(jié)),現(xiàn)給出實例驗證。

例2判斷4?4上的一組糾纏態(tài){|ψ01〉,|ψ10〉,|ψ11〉,|ψ23〉}是否可單向LOCC區(qū)分。

因此,T⊥是由:

生成。

符合定理1,因此該4個態(tài)一定可單向LOCC區(qū)分。

接下來討論如何區(qū)分這組態(tài)。通過計算[Tj,Tk](j,k=1,2,3,4,5,6,7):

[T1,T2]=0,[T1,T3]=0,[T1,T4]=0

[T1,T5]=0,[T1,T6]=0,[T1,T7]=0

[T2,T3]=0,[T2,T4]=0,[T2,T5]=0

[T2,T6]≠0[T2,T7]≠0

[T3,T4]=0,[T3,T5]≠0,[T3,T6]≠0

[T3,T7]≠0

[T4,T5]≠0,[T4,T6]≠0[T4,T7]≠0

[T5,T6]≠0,[T5,T7]≠0;[T6,T7]=0

故T⊥包含的MAS集合為:

分別記為γ1、γ2、γ3、γ4。

因此:

顯然,{|ψ01〉,|ψ10〉,|ψ11〉,|ψ23〉}可單向LOCC區(qū)分。

4 結(jié)束語

基于文獻[14]利用單向LOCC區(qū)分兩體正交態(tài)的框架,本文提出一類d?d上廣義正交兩體態(tài)基于單向LOCC的區(qū)分算法,并主要研究了4?4上的可分態(tài),得到了一種快速且有效判斷糾纏態(tài)是否可單向LOCC區(qū)分的算法。但對于dimT⊥=d+t的情況,還有許多與MAS相關(guān)的規(guī)律需要發(fā)現(xiàn),因此,后期將繼續(xù)探索其他維上糾纏態(tài)的區(qū)分規(guī)律,例如量子密碼、量子秘密共享、量子信道的經(jīng)典容量、量子糾纏的魯棒性以及束縛糾纏態(tài)等。

[1] GHOSH S,KAR G,ROY A,et al.Distinguishability of Bell States[J].Physical Review Letters,2001,87(27):277902.

[2] 楊小東,高國娟,周其旭,等.基于代理重簽名的電子政務(wù)數(shù)據(jù)安全交換方案[J].計算機工程,2017,43(2):183-188.

[3] RAHAMAN R,PARKER M G.Quantum Scheme for Secret Sharing Based on Local Distinguishability[J].Physical Review A,2015,91(2).

[4] 姜 偉.正交量子態(tài)的局域區(qū)分問題[D].合肥:中國科學技術(shù)大學,2009.

[5] CHEGLES A.Condition Unambiguous State Distinction Using LOCC[J].Physical Review A,2003,69(5):521-524.

[6] HORODECKI M,DE S A,SEN U.Local Distinguishability:More Nonlocality with Less Entanglement[J].Physical Review Letters,2003,90(4):047902.

[7] ZHANG Z C,WEN Q Y,GAO F.One-way LOCC Indistinguishability of Naximally Entangled States[J].Quantum Information Processing,2014,13:795-804.

[8] FAN H.Distinguishability and Indistinguishability by Local Operations and Classical Communication[J].Physical Review Letters,2004,92(17):177905.

[9] HAYASHI M,MARJHAM D,MURAO M,et al.Bounds on Multipartite Orthogonal State Discrimination Using Local Operations and Classical Communication[J].Physical Review Letters,2006,96(4):040501.

[10] BENNETT C H,DIVINCENZO D P,MOR T,et al.Unextendible Product Bases and Bound Entanglement[J].Physical Review Letters,1999,82:5385-5488.

[11] WAGATE J,HARDY L.Nonlocality,Asymmetry and Distinguishing Bipartite States[J].Physical Review Letters,2002,89(14):147901.

[12] BADZIAG P,HORODECKI M,DE S A,et al.Locally Accessible Information:How Much Can the Parties Gain by Cooperating[J].Physical Review Letters,2003,91:117901.

[13] COHEN S M.Almost Every Set ofN≥d+1 Ortho-gonal States ond?nis Locally Indistinguishable [J].Physical Review A,2008,77:060309.

[14] TANMAY S.Framework for Distinguishability of Orthogonal Bipartite States by One-way Local Operations and Classical Communication[J].Physical Review A,2016,93(3):757-758.

[15] NATHANSON M.Distinguishing Bipartite Orthogonal States by LOCC:Best and Worst Cases[J].Journal of Mathematical Physics,2005,46(6):901-933.