動(dòng)態(tài)楊氏模量儀的功能擴(kuò)展

張莎 海蓮 張怡 張歡

摘要

本工作將動(dòng)態(tài)楊氏模量儀擴(kuò)展到了測量樣品棒支撐點(diǎn)的振幅-頻率曲線和共振峰，并設(shè)計(jì)了對(duì)應(yīng)的自動(dòng)測量系統(tǒng)。共振峰直觀圖豐富了動(dòng)態(tài)法楊氏模量實(shí)驗(yàn)教學(xué)，有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)大學(xué)物理理論知識(shí)的理解和運(yùn)用。且用楊氏模量儀實(shí)現(xiàn)振幅一頻率曲線和共振峰的測量，有多種設(shè)計(jì)方案，可以作為一個(gè)開放性的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，有利于增加儀器利用率，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)和能力。

【關(guān)鍵詞】楊氏模量儀功能擴(kuò)展 自動(dòng)測量儀振幅-頻率曲線 共振峰

1 研究背景

楊氏模量是表征固體材料抵抗形變能力的重要物理量，因此測量固體材料的楊氏模量是理工科院校必做的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)之一。測量楊氏模量的方法主要有靜態(tài)拉伸法、梁彎曲法和動(dòng)力學(xué)共振法（動(dòng)態(tài)法）等。共振法因不產(chǎn)生形變損壞、不受材質(zhì)的限制、測量范圍廣等優(yōu)點(diǎn)而使用廣泛。該方法利用試樣做受迫振動(dòng)時(shí)，在合適的外加頻率下材料發(fā)生共振，通過測量共振頻率來間接測量楊氏模量。測量的關(guān)鍵是觀察樣品節(jié)點(diǎn)附近的振幅隨外加振動(dòng)信號(hào)的變化而找出樣品的基頻共振頻率。

目前對(duì)共振法測量楊氏模量的探討主要包括：

1.1 共振法楊氏模量表達(dá)式的理論推導(dǎo)

吳明陽等人推導(dǎo)了樣品加換能器系統(tǒng)的固有頻率表達(dá)式，并指出外推法處理后的頻率才是材料的固有頻率。王龍等人從桿的橫振動(dòng)偏微分方程出發(fā)詳細(xì)推導(dǎo)出方程通解，并用Matiab軟件計(jì)算出了樣品桿的橫振動(dòng)前三階振動(dòng)固有頻率和對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)及振動(dòng)節(jié)點(diǎn)的位置。張凡等人從理論上說明了動(dòng)態(tài)法為什么能夠測量楊氏模量，并闡述了試樣表層的氧化作用對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的影響原理。

1.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集

樊聰聰?shù)热税褱y量裝置由懸掛法改為支撐法并增加了實(shí)驗(yàn)棒的長度，從而擴(kuò)大了數(shù)據(jù)的測量范圍和數(shù)據(jù)采集數(shù)目，提高了儀器的測量精確度。段卓琦研究了吊扎點(diǎn)位置、試樣尺寸及懸線材料與共振頻率之間的關(guān)系，介紹了用內(nèi)插法和外延法確定節(jié)點(diǎn)處共振頻率的方法和幾種快速、準(zhǔn)確鑒別真假共振信號(hào)的方法。

1.3 實(shí)驗(yàn)儀器的改進(jìn)

周成龍等人探索了根據(jù)動(dòng)態(tài)法測量原理設(shè)計(jì)的新型楊氏模量自動(dòng)測量儀，采用全自動(dòng)掃頻技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了金屬材料楊氏模量的自動(dòng)測量。陳映純等人用虛擬示波器和基于聲卡的虛擬信號(hào)發(fā)生器提高了測量信號(hào)的精度。余觀夏等人指出了電流隨頻率變化導(dǎo)致相位不一致而引起的共振頻率測量誤差，并提出了改進(jìn)方法。

1.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)視的分析和處理

曹旭等人分析了測量的共振頻率隨支撐點(diǎn)位置的變化關(guān)系，并根據(jù)最小二乘法采用MATLAB對(duì)其進(jìn)行擬合，直接求得了楊氏模量以及相對(duì)誤差。劉立娜對(duì)利用彈性模量測試儀采用動(dòng)態(tài)法測定石英楊氏模量時(shí)測量重復(fù)性、儀器準(zhǔn)確度、樣品質(zhì)量測量、樣品尺寸測量等引入的不確定度分量進(jìn)行了評(píng)定，計(jì)算出石英楊氏模量的不確定度。

綜合這些研究以及目前的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)狀，該實(shí)驗(yàn)?zāi)壳按嬖谝韵聠栴}：

（1）相關(guān)研究大多數(shù)著重于對(duì)楊氏模量測量的理論、方法和數(shù)據(jù)處理的研究，缺乏對(duì)儀器功能的擴(kuò)展研究。

（2）相關(guān)研究對(duì)教材上實(shí)驗(yàn)理論基礎(chǔ)做了補(bǔ)充，但涉及的理論知識(shí)和數(shù)學(xué)推導(dǎo)比較復(fù)雜，不符合民族院校等二本學(xué)校學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。

（3）實(shí)驗(yàn)過程與本科生大學(xué)物理基礎(chǔ)理論課的銜接不夠?qū)W生參與度不強(qiáng);測量過程觀察不到直接的共振峰，不能直觀反映出實(shí)驗(yàn)所利用的振動(dòng)波動(dòng)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，在充分調(diào)動(dòng)學(xué)生己學(xué)的知識(shí)上有所欠缺。

（4）一套儀器目前只用于測量楊氏模量一個(gè)實(shí)驗(yàn)，儀器利用率不夠高，需要擴(kuò)展測試功能，開發(fā)其用于新的實(shí)驗(yàn)。

為了讓本實(shí)驗(yàn)與大學(xué)物理基礎(chǔ)課中受迫振動(dòng)、共振以及駐波的知識(shí)更好的銜接起來，加深同學(xué)們對(duì)共振峰、基頻共振、二次三次諧振的理解;為了引導(dǎo)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、思考能力和綜合應(yīng)用各科知識(shí)來解決問題的能力;也為了對(duì)更好的利用實(shí)驗(yàn)室的儀器設(shè)備，開發(fā)更多的測試功能，提高同學(xué)們對(duì)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的興趣。本工作對(duì)共振法楊氏模量儀的功能進(jìn)行了擴(kuò)展研究，實(shí)現(xiàn)了試樣棒合適支撐點(diǎn)處振幅一頻率曲線的自動(dòng)測量和共振峰的圖像顯示。

2 實(shí)驗(yàn)原理

2.1 振動(dòng)方程及解

細(xì)長棒的橫振動(dòng)（彎曲振動(dòng)）滿足動(dòng)力學(xué)方程為：。其中，棒的軸線沿、方向，y為棒上距左端x處橫截面的y方向位移，Y為該棒的楊氏模量，ρ為材料密度，S為棒的橫截面積，J為橫截面的慣量矩。

根據(jù)分離變量法求解方程得：

其中ω為圓頻率，對(duì)于直徑為d，長度為L，質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓棒有：m=ρSL，，其圓頻率可表示為：

K為常數(shù)，由邊界條件決定。本問題中支撐點(diǎn)位于棒的節(jié)點(diǎn)附近，并且長L的棒兩端均處于自由狀態(tài)，因此，在兩端面上，橫向作用力與彎曲矩均為零。根據(jù)此邊界條件，可得：cosKLchKL=1，即有：KL=0，4.7300，7.8532，10.9956，14.137，17.279，20.420……舍去靜止情況（KL=0），將第二個(gè)根作為第一個(gè)根，記作K₁L，以此類推。式（4）中帶入相應(yīng)的K_nL值，由f_n=ω_n/2π到各諧振頻率f_n：基頻：

二次諧頻：

三次諧頻：

2.2 振動(dòng)振幅

棒共振時(shí)，由式（2）可知，棒中的振動(dòng)情況與駐波類似，x處的振幅滿足：

即各處的振幅隨x而改變。圖1給出了當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)的振動(dòng)波形圖。n=1圖可以看出，試樣在作基頻振動(dòng)時(shí)，存在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，它們的位置距離端面分別為0.224L和0.776L處。而n=2圖顯示，試樣在作二次諧振時(shí)，存在三個(gè)節(jié)點(diǎn)，它們的位置距離端面分別為0.132L，0.500L和0.868L處。值得注意的是，只有當(dāng)外加頻率滿足f=f_n時(shí)，棒發(fā)生劇烈的振動(dòng)（共振），振動(dòng)振幅才滿足（5）式，對(duì)于任一定點(diǎn)（x=x₀，節(jié)點(diǎn)處除外）振幅最大;而外加頻率為其它值時(shí)，棒振動(dòng)不明顯，上述特定點(diǎn)A的振幅很小。因此，對(duì)于一個(gè)特定點(diǎn)X0，其振幅A_x0會(huì)隨著外加頻率發(fā)生改變，在頻率f=f_n時(shí)，出現(xiàn)振幅極大。振幅-f曲線有利于直觀的理解樣品在共振和非共振時(shí)的振動(dòng)情況。

理論推導(dǎo)的前提是支撐點(diǎn)取在節(jié)點(diǎn)處，但將不振動(dòng)的節(jié)點(diǎn)作為支撐點(diǎn)，試樣棒難于被激振和拾振，因此，選擇節(jié)點(diǎn)附近的點(diǎn)作為支撐點(diǎn)。為此，根據(jù)（5）式，考慮到基頻共振、二次諧振和三次諧振的振幅分布情況，以及樣品棒刻線的情況，我們選擇x=0.0365L和對(duì)稱的x=0.9635L作為支撐點(diǎn)，收集數(shù)據(jù)和繪制振幅一振幅曲線。

3 儀器功能擴(kuò)展與改造

要實(shí)現(xiàn)振幅一頻率曲線的測試功能，可以采用的方案較多，比如直接采用目前的儀器進(jìn)行手動(dòng)測量、筆記本作為主控單元的自動(dòng)測量方案（主要部分為筆記本、程控信號(hào)發(fā)生器、振動(dòng)單元、采集卡等）、單片機(jī)為主控單元的自動(dòng)測量方案等。最簡單的手動(dòng)測量，雖然能夠?qū)崿F(xiàn)的振幅一頻率曲線數(shù)據(jù)測量，但存在以下問題：

（1）數(shù)據(jù)采點(diǎn)密集，則頻率變化間隔小，手動(dòng)調(diào)節(jié)慢且讀取數(shù)據(jù)多，導(dǎo)致測量時(shí)間長;

（2）數(shù)據(jù)采點(diǎn)系，雖然測量時(shí)間縮短，但由于共振峰很尖銳，采點(diǎn)不夠則可能找不到共振峰;

（3）不能在實(shí)驗(yàn)中直接觀察到實(shí)時(shí)的振幅一頻率曲線，只能實(shí)驗(yàn)完成后自己作圖。由于以上原因，手動(dòng)測量只適用于學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)中的一種選擇，教學(xué)過程中不適用。因此，我們選擇了其中一種自動(dòng)測量方案，對(duì)現(xiàn)有儀器進(jìn)行了改造，設(shè)計(jì)并制作了針對(duì)樣品棒的振幅-頻率自動(dòng)測試儀。

本振幅一頻率自動(dòng)測試儀選擇的是單片機(jī)作為主控單元的自動(dòng)測量方案，主要由控制單元、信號(hào)發(fā)生單元、振動(dòng)單元、信號(hào)采集單元、輸出單元五部分組成。系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖如圖2所示。

控制單元是實(shí)現(xiàn)自動(dòng)測試的核心，用以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)發(fā)生單元、信號(hào)采集單元和輸出單元的協(xié)調(diào)控制。對(duì)信號(hào)發(fā)生單元，主要實(shí)現(xiàn)：控制信號(hào)發(fā)生單元的頻率變化范圍、頻率增加的頻率間隔△f和時(shí)間間隔△t;控制信號(hào)采集單元采集的時(shí)間間隔，快速響應(yīng)和處理所采集的數(shù)據(jù)（振動(dòng)位移），并計(jì)算出振幅;控制刷新輸出單元顯示的振幅一頻率曲線和輸出振幅一頻率數(shù)據(jù)。其程序設(shè)計(jì)流程圖如圖3所示。

信號(hào)發(fā)生單元主要把相應(yīng)頻率的等幅正弦波數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化為電信號(hào)（D/A轉(zhuǎn)換），再經(jīng)由功率放大器，將信號(hào)放大到能夠驅(qū)動(dòng)激振器穩(wěn)定工作的程度。

振動(dòng)單元即FB2729A型動(dòng)態(tài)楊氏模量儀主要部件為激振器、拾振器、樣品棒。激振器和拾振器都為壓電傳感器，激振器將電信號(hào)轉(zhuǎn)化為振動(dòng)信號(hào)驅(qū)動(dòng)樣品振動(dòng)，而拾振器收集樣品機(jī)械振動(dòng)信號(hào)并將其轉(zhuǎn)化為電信號(hào)。

信號(hào)采集單元采集拾振器轉(zhuǎn)化的電信號(hào)，并將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)（A/D轉(zhuǎn)換），再將信號(hào)經(jīng)濾波和放大，傳輸?shù)娇刂葡到y(tǒng)進(jìn)行計(jì)算。

在儀器組件的選擇上，對(duì)于控制單元我們選用的是實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有的STC89C52單片機(jī)。對(duì)于信號(hào)發(fā)生單元，根據(jù)我們對(duì)頻率變化范圍30OHz-250OHz的需要和頻率精準(zhǔn)度0.5Hz的要求，并考慮后續(xù)的實(shí)驗(yàn)需求，選擇型號(hào)為AD9910的DDS芯片實(shí)現(xiàn)D/A轉(zhuǎn)換。對(duì)于振動(dòng)單元，使用實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有的FB2729A型動(dòng)態(tài)楊氏模量儀及樣品棒。對(duì)于信號(hào)采集所需的A/D轉(zhuǎn)換芯片選擇TLC2543C芯片。功率放大器選用的TDA2030A音頻放大器模塊。

4 數(shù)據(jù)及分析

圖4給出了用自動(dòng)測試儀測得的振幅一頻率曲線（黑色細(xì)線）和手動(dòng)測量的振幅一頻率（藍(lán)色圓球）。其中自動(dòng)測試儀進(jìn)行了密集采點(diǎn)，頻率間隔為△f=2Hz;而手動(dòng)測量的結(jié)果一般頻率間隔為△f=50Hz，在共振峰附近頻率間隔為△f=5Hz。圖中可以看到，手動(dòng)和自動(dòng)測量兩者的數(shù)據(jù)符合的較好，在450Hz-230OHz頻率區(qū)間內(nèi)成功顯示有兩個(gè)尖銳的共振峰：基頻共振峰和二次諧振峰，與黃銅楊氏模量代入公式（4）的計(jì)算結(jié)果相符。只是自動(dòng)測量的數(shù)據(jù)背底信號(hào)較強(qiáng)，但共振峰明顯;而手動(dòng)測量的數(shù)據(jù)，由于較難實(shí)現(xiàn)密集采點(diǎn)，共振峰相對(duì)較低矮。

通過自動(dòng)測量的曲線可以直接讀出基頻共振頻率f₁^a=736Hz和二次諧頻f_2a=1989Hz。而由測量楊氏模量時(shí)所采用的外推法，如4中插圖所示，測得基頻共振頻率為f₁=725.5Hz，據(jù)此和公式（4）計(jì)算得到二次諧頻為計(jì)算出其相對(duì)誤差分別為可見，相對(duì)誤差較小，振幅一頻率變化曲線可以反應(yīng)樣品的共振情況。

5 結(jié)論

本工作成功實(shí)現(xiàn)了對(duì)共振法楊氏模量儀的功能擴(kuò)展，并設(shè)計(jì)完成了樣品棒合適支撐點(diǎn)處振幅一頻率曲線的自動(dòng)測試儀，并使用該儀器實(shí)現(xiàn)了對(duì)樣品棒合適支撐點(diǎn)處振幅一頻率曲線的自動(dòng)測量和共振峰的直觀展示。結(jié)果顯示，在450-2300Hz區(qū)間內(nèi)成功顯示有兩個(gè)尖銳的共振峰（基頻共振峰和二次諧振峰），且通過曲線圖得到的基頻和二次諧頻值與實(shí)驗(yàn)理論值相差不大，因此，測量的振幅一頻率曲線能夠在誤差范圍內(nèi)反應(yīng)樣品的共振情況。該振幅-頻率曲線的自動(dòng)測量儀，一方面，可用于動(dòng)態(tài)法楊氏模量實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，有利于學(xué)生將該實(shí)驗(yàn)與大學(xué)物理理論課中學(xué)習(xí)的振動(dòng)波動(dòng)知識(shí)更好的銜接，加深對(duì)受迫振動(dòng)、共振甚至駐波知識(shí)的理解。另一方面，將共振法楊氏模量儀的功能擴(kuò)展到振動(dòng)棒振幅一頻率曲線測量，有多種設(shè)計(jì)方案，文中對(duì)其中一種方案的嘗試成功，表明，用共振法楊氏模量儀來測量振幅一頻率曲線可以作為開放性的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、思考能力和綜合應(yīng)用各科知識(shí)來解決問題的能力，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生的創(chuàng)新思維，為本科生創(chuàng)新項(xiàng)目提供思路。

（通訊作者：張歡）

參考文獻(xiàn)

[1]吳明陽，朱祥.動(dòng)態(tài)法測金屬楊氏模量的理論研究[J].大學(xué)物理，2009，28（03）：29-32.

[2]王龍，李東霞，馬紅章等.動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量的理論分析與Matlab輔助研究[J].大學(xué)物理，2015，34（10）：39-42.

[3]張凡，姜偉，呂丹.關(guān)于動(dòng)態(tài)法測量金屬楊氏模量實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)重要方面的研究[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2007，20（04）：35-38.

[4]樊聰聰，劉華揚(yáng)，程敏A.動(dòng)態(tài)法測楊氏模量實(shí)驗(yàn)的探索與改進(jìn)[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2016，29（ol）：51-59.

[5]段卓琦.金屬楊氏模量的動(dòng)態(tài)法測量研究[J].科技信息，2009，29：449-450.

[6]周成龍，劉會(huì)超，付東等.新型楊氏模量自動(dòng)測量儀的探索與實(shí)踐[J].第六屆全國高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)論文集（下），18-23.

[7]陳映純，吳先球，基于虛擬儀器的楊氏模量實(shí)驗(yàn)中共振頻率的測量[J].物理實(shí)驗(yàn)，2012，32（05）：40-41.

[8]余觀夏，張愛珍，阮錫根.用共振法測定動(dòng)態(tài)楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置的改進(jìn)[J].物理實(shí)驗(yàn)，2004，24（02）：41-42.

[9]曹旭，亓凱，馬犇等.基于MATLAB的最小二乘法處理?xiàng)钍夏Ａ繙y量數(shù)據(jù)的研究[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2016，29（05）：126-129.

[10]劉立娜.動(dòng)態(tài)法測定石英楊氏模量的不確定度評(píng)定[J].測量不確定度，2015，25（04）： 60-62.