奇異值分解方法在日負荷曲線降維聚類分析中的應用

陳 燁, 吳 浩, 史俊祎, 商佳宜, 孫維真

(1. 浙江大學電氣工程學院, 浙江省杭州市 310027; 2. 國網(wǎng)浙江省電力公司杭州供電公司, 浙江省杭州市 310011; 3. 國網(wǎng)浙江省電力公司電力調度控制中心, 浙江省杭州市 310007)

0 引言

近年來,隨著智能電表在電力系統(tǒng)中的廣泛應用,電力公司積累了海量的負荷用電歷史數(shù)據(jù)[1]。利用負荷曲線聚類算法從海量負荷數(shù)據(jù)中挖掘用電信息,分析用戶用電行為,能夠為電網(wǎng)規(guī)劃、用電客戶精細分類和制定用電計劃等應用提供有力支撐[2-4]。因此,研究適用于負荷曲線的聚類算法及相關技術具有重要的應用價值。

負荷曲線聚類算法大致可分為直接聚類和間接聚類[5]。直接聚類方法通常選擇負荷曲線上每個采集點的負荷數(shù)據(jù)進行聚類,包括K-means[6]、模糊C均值[7-8]、自組織神經網(wǎng)絡[9]等。然而隨著負荷數(shù)據(jù)規(guī)模不斷增長,這種方法面臨著計算效率的挑戰(zhàn)。因此,有必要對負荷數(shù)據(jù)進行降維處理,以提升聚類效率。

間接聚類方法通過提取負荷曲線的特征作為降維指標,以此為輸入進行聚類。文獻[10]利用主成分分析方法提取出少量主成分作為降維指標,并采用K-means算法進行聚類。文獻[11]選取了6種反映用戶負荷特征的日負荷特性指標進行聚類。文獻[12]利用Sammon映射將原始負荷曲線映射到低維空間中,然后利用低維空間中的映射值進行聚類。文獻[13]認為低維負荷數(shù)據(jù)經深度學習反饋后可用來反映原始負荷數(shù)據(jù)。文獻[14]采用離散傅里葉變換在頻域中提取負荷特征作為降維指標,對負荷曲線進行分類。

上述間接聚類方法選擇了不同的降維指標對負荷曲線進行聚類,但在降維處理過程中均面臨兩個問題:降維指標數(shù)目的確定和降維指標權重的確定。降維指標的數(shù)目是負荷曲線降維處理后的維度,合適的指標數(shù)目不僅能夠提高聚類的準確性,而且能提升聚類效率,故應客觀論證所選取的降維指標數(shù)目是否已為最優(yōu)[15]。此外,由于各降維指標的側重角度不同,使得在反映用戶用電特性時其重要程度也不同,因此有必要對各指標賦予相應的權重。這兩個問題的解決有助于提升間接聚類方法聚類結果的準確性和效率。

奇異值分解(singular value decomposition,SVD)是一種常用的數(shù)學方法,已在多個領域得到應用。例如,在電力系統(tǒng)領域,潮流雅可比矩陣的最小奇異值被用于評估電壓穩(wěn)定能力[16],SVD還可用于故障診斷和狀態(tài)估計[17]等。在圖像處理領域,SVD可用于去除圖像中的噪聲,盡可能地保留原圖像的數(shù)據(jù)特征[18]。同理,若將負荷曲線數(shù)據(jù)視作圖像,采用SVD提取出主要的數(shù)據(jù)特征,再利用這些數(shù)據(jù)特征對負荷曲線進行降維聚類。

在上述背景下,本文提出了一種基于SVD的日負荷曲線降維聚類方法,較好地解決了上述兩個問題。利用SVD將負荷曲線數(shù)據(jù)旋轉變換至新的坐標系,以負荷曲線在各坐標軸上的坐標為降維指標,確定降維指標的數(shù)目后,選擇奇異值為指標權重。算例表明該算法運行時間短,能夠提供合理的用戶分類。

1 聚類算法的基本理論

1.1 SVD的基本思想

SVD是一種常用的數(shù)據(jù)變換方法[19],現(xiàn)以二維數(shù)據(jù)為例,解釋SVD的數(shù)學思想。

如附錄A圖A1所示,3類由不同顏色構成的二維數(shù)據(jù)繪制在由坐標軸x1-x2構成的直角坐標系內。數(shù)據(jù)在2個坐標軸上的分布較離散,難以判斷哪個坐標軸更為重要,且在2個坐標軸上的投影重疊,會影響數(shù)據(jù)聚類的準確性。由于數(shù)據(jù)所含的信息可用其方差來表征,方差越大,該數(shù)據(jù)離散程度越大,所包含的信息越多?，F(xiàn)對坐標系作旋轉變換,以數(shù)據(jù)變化方差最大的方向為軸,得到一個新的正交坐標系v1-v2。此時,數(shù)據(jù)主要沿著v1軸變化,而在v2軸上分布得較為集中。若忽略在v2軸上的微小偏差量,僅將數(shù)據(jù)投影在v1軸上,這樣就將原來的二維數(shù)據(jù)在保留大部分信息的前提下簡化成一維數(shù)據(jù)。然后,利用數(shù)據(jù)在v1軸上的坐標值進行聚類,在降低數(shù)據(jù)維度的同時也保證了聚類的準確性。

一般的,該思想可擴展至n維數(shù)據(jù)。假設存在m條負荷曲線,每條負荷曲線有n個采樣點,可將這m條負荷曲線視為n維坐標系x1-xn下的m個數(shù)據(jù)點。同理,直接利用數(shù)據(jù)點在變換后低維坐標系下的坐標值進行聚類,可達到降維聚類的目的。

值得注意的是,SVD的基本思想與主成分法有一定的相似性,但較主成分法而言,SVD的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在以下兩個方面。

1)初始化處理。由于主成分法需對原始數(shù)據(jù)作零均值化處理,這會消去平穩(wěn)負荷曲線的重要特征。

2)計算穩(wěn)定性。主成分法由于需要計算協(xié)方差矩陣的特征向量,增加了計算復雜度并會產生舍入誤差,而SVD不需要進行這一步驟,具有較強的計算穩(wěn)定性,能夠簡單、直觀地展示數(shù)據(jù)旋轉變換的過程[20]。

1.2 SVD的數(shù)學理論

為了更好地理解SVD應用于日負荷曲線聚類的過程,本文直接以負荷曲線為例闡述SVD的數(shù)學理論。設有一個由m條負荷曲線構成的m×n階實矩陣A=[a1,a2,…,am]T,其中負荷曲線ak=[ak,1,ak,2,…,ak,n]T有n個采樣點。在SVD理論中[19],對于矩陣A,存在正交矩陣U∈Rm×m和V∈Rn×n,使得

(1)

式中:正交矩陣U=[u1,u2,…,um]的列向量為單位向量且相互正交,同時是矩陣AAT的特征向量,稱為左奇異向量;正交矩陣V=[v1,v2,…,vn]的列向量也為單位向量且相互正交,同時是矩陣ATA的特征向量,稱為右奇異向量;Λ1=diag(λ1,λ2,…,λp),其中p=min(m,n)。Λ1是對角矩陣,其對角元素為矩陣A的奇異值并按降序排列,即λ1≥λ2≥…≥λp。由于m通常大于n,因此在本文中令p=n。值得指出的是,m小于n時,本文方法依然適用。式(1)可展開為:

A=UΛVT=

(2)

以矩陣A中某條負荷曲線ak為例,由式(2)可推導出:

ak=[λ1u1,kλ2u2,k…λnun,k]·

(3)

式中:u1,k為向量u1在第1點的坐標,u2,k等同理。

SVD理論中[20],以向量v1,v2,…,vn為坐標軸的方向向量構建了新正交坐標系,奇異值λi為從向量ui到坐標軸vi進行縮放的比例,λiui,k即為負荷曲線ak在坐標軸vi上的坐標值。此外,由于奇異值λi越大,導致縮放的比例越大,使得坐標值在坐標軸vi上的離散程度越大,這樣坐標軸vi反映的數(shù)據(jù)方差越大,該坐標軸也越重要,因此,可認為較小奇異值對應的部分代表了能夠忽略的噪聲[20]。這樣,由式(2)和式(3),僅保留前q(q

(4)

ak=[λ1u1,kλ2u2,k…λquq,k]·

(5)

由式(4)和式(5)可知,在忽略掉數(shù)據(jù)變化方差較小的方向后,將坐標系v1,v2,…,vn簡化為低維坐標系v1,v2,…,vq。這樣,負荷曲線ak在低維坐標系中的坐標值λiui,k可用來反映負荷曲線的主要特征。

1.3 降維指標及其權重

負荷曲線數(shù)據(jù)經SVD變換至新的低維坐標系后,可獲得在各坐標軸上的坐標,進而反映出負荷曲線在各方向上的特征,坐標越接近的負荷曲線越相似。因此,可將負荷曲線ak在前q個坐標軸上的坐標作為降維指標,設為Yk=[yk,1,yk,2,…,yk,q]=[λ1u1,k,λ2u2,k,…,λquq,k]。這樣,對于每條負荷曲線,用于聚類的數(shù)據(jù)從n個減少為q個。令集合Y={Y1,Y2,…,Ym}包含所有負荷曲線的降維指標值。

此外,各坐標軸對應的奇異值描述了該方向的重要程度,在利用坐標值聚類時,奇異值越大,對應方向上的坐標值越重要。故選擇坐標軸對應的奇異值作為降維指標的權重,再對其作總和為1的歸一化處理,記為權重向量W,W=[w1,w2,…,wq]。

2 基于奇異值分解的聚類算法

2.1 數(shù)據(jù)預處理

2.1.1異常數(shù)據(jù)的識別與修正

在負荷數(shù)據(jù)采集過程中,可能會發(fā)生測量裝置故障、數(shù)據(jù)傳輸中斷等問題,導致負荷數(shù)據(jù)異常。當某條負荷曲線的數(shù)據(jù)缺失量和異常量超過10%或以上時,認為該曲線無效。

設xk=[xk,1,xk,2,…,xk,n]T為從量測裝置中收集的某條原始負荷曲線,對數(shù)據(jù)的異常狀態(tài)識別可通過負荷變化率進行判斷:

(6)

式中:δk,i為負荷曲線在第i點的負荷變化率,當其超過預設閾值ε后視為異常數(shù)據(jù),通常ε可取0.5～0.8。對于此類異常數(shù)據(jù)點可利用平滑修正公式進行修正:

(7)

2.1.2負荷曲線歸一化

由于原始負荷數(shù)據(jù)值之間可能會存在巨大差異,不經處理的聚類會影響聚類效果,使得聚類結果不可靠。對此,采用極大值歸一化方法對負荷數(shù)據(jù)進行歸一化,表達式如下:

(8)

式中:ak,i為在采樣點i歸一化后的數(shù)據(jù)。這樣,經數(shù)據(jù)預處理后的負荷曲線ak構成了矩陣A。

2.2 確定降維指標的數(shù)目

由第1節(jié)中降維指標的定義可知,數(shù)值q即為降維指標的數(shù)目。由于奇異值按降序排列,通過充分利用奇異值下降趨勢的信息來確定q值。具體的,結合最小二乘法使直線y=ax+b對奇異值下降段擬合的平均誤差最小,此時擬合所用的數(shù)據(jù)點數(shù)即為q值。具體步驟如下。

步驟1:計算奇異值。對矩陣A作奇異值分解,并記錄n個數(shù)據(jù)點(i,λi)為數(shù)據(jù)集S。

步驟3:計算擬合誤差。按式(9)計算選擇q個數(shù)據(jù)點時擬合的平均誤差Γq,并記入數(shù)據(jù)集Γ中。

(9)

步驟4:令q=q+1,當q>n或擬合誤差已連續(xù)增長5次(誤差具有明顯增長趨勢)時,轉到步驟5,否則轉到步驟2。

步驟5:找到集合Γ中的最小值,其對應的q值即為最終選定的降維指標的數(shù)目。

這樣,在確定降維指標的數(shù)目q后,依據(jù)1.3節(jié)的定義,計算出降維指標集Y和權重W。

2.3 加權K-means聚類

基于加權歐式距離的K-means算法,是以降維指標集Y為輸入,加權歐式距離為相似性判據(jù)進行聚類,加權K-means算法的處理步驟如下。

步驟1:初始化。設k為聚類數(shù),在集合Y中隨機選擇k個樣本,作為初始聚類中心。

步驟2:樣本歸類。將所有樣本劃分到其加權歐式距離最近的類中心,從樣本Yk到第j個聚類中心mj=[mj,1,mj,2,…,mj,q]的加權距離可由下式計算:

d(k,j)=

(10)

步驟3:聚類中心更新。根據(jù)步驟2的結果,計算每類的平均值作為各類新的聚類中心。

步驟4:迭代計算。判斷聚類中心是否收斂,若未收斂則跳轉至步驟2,否則算法結束。

2.4 聚類有效性檢驗

聚類有效性檢驗是通過建立有效性指標,評價聚類結果并確定最佳聚類數(shù)的過程。Silhouette指標是現(xiàn)有聚類方法中常用的有效性指標之一[11,21],可用于確定最佳聚類數(shù)并評價聚類質量。

設負荷曲線被劃分為k類,對于第j類中第i個樣本,計算樣本i的Silhouette指標ΩSil(i),定義如下:

(11)

式中:da(i)為樣本i到非同類所有樣本的最小平均距離,用以反映類間距離大小;db(i)為樣本i與類內其余樣本的平均距離,用以反映類內緊湊程度。當da(i)越大,db(i)越小,樣本i所屬類j的類內緊湊程度和類間距離越好,聚類結果越優(yōu)。

所有負荷曲線的Silhouette指標均值ΩSilM可用于評價總體聚類質量,其值越大表示聚類質量越優(yōu),并確定ΩSilM最大值對應的類數(shù)k為最佳聚類數(shù)。ΩSilM的計算表達式如下:

(12)

3 算例分析

3.1 實際日負荷曲線聚類

本文選取中國某市2015年8月某工作日實測2 413個用戶的日負荷曲線為研究對象,日負荷采樣間隔為15 min,每日共計96個采樣點。以附錄A圖A2為例,簡要說明數(shù)據(jù)預處理過程,其中預設閾值ε取0.5,p1和q1均取為3。由附錄A圖A2可得,經數(shù)據(jù)預處理后,對負荷曲線上的數(shù)據(jù)異常點進行了修正,最終算例共含2 388條有效日負荷曲線,構成2 388×96階矩陣A。本文以典型日負荷曲線為例,驗證所提方法能否提高負荷曲線聚類的準確性和效率。

對矩陣A作奇異值分解后繪制奇異值曲線,如附錄A圖A3所示,放大圖中繪制了前15個奇異值,藍色虛線為q=3時的擬合直線y=ax+b。然后,計算得到擬合誤差數(shù)據(jù)集Γ如附錄A表A1所示。

由附錄A表A1可知,當降維維度q=3時,有最小的擬合誤差,故確定本算例的降維指標數(shù)目為3。由此將2 388條日負荷曲線在前3個坐標軸上的坐標值作為降維指標值,得到2 388×3階降維指標Y,同時3個降維指標對應的權重向量為W=[0.61,0.286,0.104]。采用加權K-means算法對Y聚類,將聚類結果與直接以96個采樣點的數(shù)據(jù)為輸入,經極大值歸一化后直接利用K-means算法聚類(以下改稱傳統(tǒng)聚類算法)的結果作對比。

由附錄A圖A4聚類有效性指標檢驗結果可知,當聚類數(shù)為5時,2種算法指標均值ΩSilM最大,因此確定最佳聚類數(shù)均為5。在圖1和附錄A圖A5中,紅色線為該類負荷曲線的平均值,通常認為其是該類負荷的典型負荷曲線。本文聚類算法聚類結果中屬于各類的曲線數(shù)目依次為444,398,955,247和344,傳統(tǒng)聚類算法聚類結果中屬于各類的曲線數(shù)目依次為459,399,939,249和342,其分類數(shù)目和分類結果基本一致。

圖1 基于本文聚類算法的日負荷曲線聚類結果Fig.1 Load profiles clustering results of proposed clustering method

圖2所示為2種算法提取的5類典型負荷曲線,具有相似的負荷形態(tài),均呈雙峰、峰平期、單峰、錯峰和避峰5種類型。雙峰型曲線多為小工業(yè)用戶,工作時間固定且規(guī)律;峰平期型曲線主要包括大工業(yè)等;單峰型曲線主要為正常的商業(yè)用電,白天工作量大,晚間休息;錯峰型負荷多為農業(yè)用電,在晚間打光滅蟲、排澇和灌溉等;避峰型負荷較為特殊,主要是公用路燈等。因此,從工程角度來看,本文聚類算法分類結果合理,具有實際應用價值。

由表1可見,通過聚類有效性指標和程序運行時間綜合比較2種算法的性能。在最佳聚類數(shù)均為5的情況下,使用本文聚類算法進行聚類的運行時間僅為傳統(tǒng)聚類算法聚類結果的1/5左右,同時前者的指標均值ΩSilM稍大于后者,其聚類質量略占優(yōu)勢。這主要是因為基于SVD降維時能夠忽略原始數(shù)據(jù)中噪聲的干擾,使得提取主要數(shù)據(jù)特征后的降維聚類更加有效。綜上,本文所提降維聚類算法能夠較為準確地對日負荷曲線進行分類,并縮減了程序運行時間。

圖2 兩種算法提取的典型負荷曲線對比Fig.2 Comparison of typical load profiles between two methods

算法最佳聚類數(shù)指標均值ΩSilM程序運行時間/s數(shù)據(jù)降維主程序合計本文聚類算法50.5391.5945.0786.672傳統(tǒng)聚類算法50.53532.64132.641

3.2 降維指標數(shù)目的驗證

降維指標的數(shù)目對于聚類結果有重要影響,上節(jié)算例中該數(shù)目為3,進一步驗證數(shù)目的增加能否提高聚類效果,數(shù)目的減少能否在保證聚類準確性的前提下提高計算速度等。

附錄B表B1列出了不同的降維指標數(shù)目下,指標均值ΩSilM的大小和聚類運行的時間。當降維指標的數(shù)目減小至2時,由于忽略了方差第三大的坐標軸,雖然最佳分類數(shù)仍為5,但指標均值ΩSilM偏小;當數(shù)目增加至4和5時,分類結果保持不變,但計算時間分別增加了5.38%和10.98%。因此,由本文所提方法確定的降維指標數(shù)目作聚類時,在保證聚類結果良好的同時,提高了計算效率。

3.3 奇異值下降趨勢相似性的驗證

附錄A圖A3中,奇異值下降的趨勢用以判斷降維指標的數(shù)目。經研究發(fā)現(xiàn),當僅使用少量數(shù)目的負荷曲線時,計算得到的奇異值下降趨勢與使用所有負荷曲線的趨勢相似。

如圖3所示,隨機選擇100,500和1 000條負荷曲線并分別執(zhí)行50次,相應的奇異值分別繪制在圖3(a)(b)(c)中,作為對比,附錄A圖A3中的原始奇異值繪制在圖3(d)中。對于圖3(a)(b)(c)而言,在分別執(zhí)行50次后,每一編號下的奇異值均勻分布在一個穩(wěn)定的范圍中,對應的奇異值下降趨勢與圖3(d)中十分相似,經驗證發(fā)現(xiàn)最終獲得的降維指標數(shù)目也相同。

圖3 不同負荷曲線數(shù)目下的奇異值Fig.3 Singular values under different numbers of load profiles

因此,僅利用少量的負荷曲線即可確定降維指標數(shù)目。這樣,本文聚類算法中用于數(shù)據(jù)降維的時間將進一步減少。

3.4 模擬日負荷曲線聚類

以含噪聲的模擬日負荷曲線為例,在已知其正確聚類結果的基礎上,驗證所提聚類算法的耐噪聲能力及魯棒性?；?類典型日負荷曲線(見附錄C圖C2紅色線),分別在每類典型曲線的每個數(shù)據(jù)點上添加比例為r的隨機噪聲,進而模擬得到分屬8類、每類125條總計1 000條的日負荷曲線,以此構成矩陣A。這8類典型曲線中,第1類與第2類為雙峰型,多為政府等機構用戶,但兩類負荷曲線的幅值存在差異,增加了準確分類的難度;第3類與第6類白天用電量稍低,晚上工作量大,兩者幅值和形狀略有不同;第4類為峰平期型,包括大工業(yè)用戶等;第5類和第7類為單峰型,多為正常的商業(yè)用電;第8類為錯峰型,多為公用事業(yè)和農業(yè)用電等。因此,從工程角度來看,選取的8類負荷曲線具有一定的典型負荷用電特征。

在改變噪聲比例r后,采用本文聚類算法和傳統(tǒng)聚類算法對模擬負荷曲線進行聚類,并定義分類準確率為1 000條負荷曲線中得到準確分類的負荷曲線所占百分比。因此,算法的魯棒性可以通過最佳聚類數(shù)、指標均值ΩSilM和分類準確率3種指標進行檢驗,結果如表2所示。

表2 兩種算法魯棒性比較Table 2 Comparison of robustness between two methods

從表2可得出以下結論。

1)對于兩種聚類算法,隨著噪聲比例不斷增加,指標均值ΩSilM和分類準確率下降,最佳聚類數(shù)出現(xiàn)偏差,表明3種指標可以用來檢驗算法的魯棒性。

2)當噪聲比例不超過20%時,兩種聚類算法的分類準確率均近似100%。

3)當增大噪聲比例至不超過30%時,本文聚類算法的最佳聚類數(shù)一直為8,分類準確率近100%,而傳統(tǒng)聚類算法在噪聲比例增大至30%后,最佳聚類數(shù)不再為8,分類準確率下降,魯棒性較差。

4)當繼續(xù)增大噪聲比例至不超過40%時,兩種聚類算法的最佳聚類數(shù)均不為8,但本文聚類算法的分類準確率和指標均值均稍優(yōu)于傳統(tǒng)聚類算法。

以噪聲比例r=30%為例,1 000條模擬負荷曲線原始分類如附錄C圖C1所示。將基于本文聚類算法提取的8類典型負荷曲線與初始典型負荷曲線進行對比,如附錄C圖C2所示。為了量度兩組負荷曲線的擬合程度,定義誤差指標Eerr:

(13)

由附錄C圖C2和附錄C表C1可見,兩組負荷曲線形態(tài)高度相似,擬合誤差較小。綜上,所提方法對典型日負荷曲線提取效果良好,較為準確地還原了初始典型日負荷曲線的特征,耐噪聲能力強。

4 結語

本文提出了一種基于SVD的日負荷曲線降維聚類方法。通過SVD降維和選取加權歐式距離作為相似性判據(jù),對日負荷曲線進行聚類。此聚類方法能夠解決傳統(tǒng)間接聚類方法的兩大問題。

1)降維指標數(shù)目的不確定性。本文充分利用了奇異值下降趨勢,基于最小二乘法確定降維指標的數(shù)目。

2)降維指標權重的不確定性。奇異值大小描述了降維指標包含信息的程度,以此為權重作加權聚類。

算例表明該方法具有良好的劃分能力,且大幅縮減了程序運行時間。隨著大數(shù)據(jù)時代的到來,如何結合環(huán)境等多影響因素,構建更為精細化的聚類方法是今后的研究方向。

附錄見本刊網(wǎng)絡版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

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陳 燁(1994—),男,碩士研究生,主要研究方向:電力系統(tǒng)仿真分析與建模。E-mail： chenye19941002@163.com

吳 浩(1973—),男,通信作者,博士,副教授,主要研究方向:電力系統(tǒng)運行優(yōu)化、電力系統(tǒng)穩(wěn)定、負荷建模等。E-mail: zjuwuhao@zju.edu.cn

史俊祎(1993—),女,碩士研究生,主要研究方向:負荷聚類及其在電力市場的應用。E-mail: sjyi@zju.edu.cn