一種Partial EIV半?yún)?shù)模型的系統(tǒng)誤差處理方法

王樂洋，熊露雲(yún)

1. 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌 330013

一般地，在測繪數(shù)據(jù)處理中，通常假設(shè)觀測值只包含偶然誤差，不含有系統(tǒng)誤差和粗差。但是由于儀器、觀測條件、氣候等因素的影響，觀測值中不可避免地會包含系統(tǒng)誤差，而且有時所選用的函數(shù)模型[1-3]會包含著模型誤差。當(dāng)系統(tǒng)誤差部分是偶然誤差的1/3或更小時，則可將系統(tǒng)誤差的影響忽略不計[4]，反之，則需要考慮系統(tǒng)誤差，若處理過程中不削弱或消除系統(tǒng)誤差的影響，則會得到不可靠的參數(shù)結(jié)果，甚至是錯誤的結(jié)果[5]。如何解決此類問題已是測繪數(shù)據(jù)處理研究的問題之一，統(tǒng)計學(xué)界在20世紀(jì)80年代提出的半?yún)?shù)回歸分析模型為解決該問題提供了發(fā)展方向。針對半?yún)?shù)模型，從理論到應(yīng)用方面，已有了較多的研究成果，早在1978年，文獻(xiàn)[6]將最小二乘配置理論應(yīng)用到地球重力場研究中，且在后來文獻(xiàn)[7]發(fā)現(xiàn)最小二乘配置是半?yún)?shù)模型的一種特殊形式；在GPS數(shù)據(jù)處理方面，文獻(xiàn)[1]將半?yún)?shù)模型引入到GPS中基線解算存在系統(tǒng)誤差的問題中，并取得了較好的效果。隨后文獻(xiàn)[8—13]將半?yún)?shù)模型引入到測繪的數(shù)據(jù)處理當(dāng)中，并對半?yún)?shù)平差模型的估計方法做了進(jìn)一步擴(kuò)展，極大地推動了半?yún)?shù)模型在測繪領(lǐng)域中的應(yīng)用發(fā)展。

在不考慮系數(shù)矩陣誤差時，上述半?yún)?shù)模型即是基于最小二乘進(jìn)行求解的，但是在很多情況下，系數(shù)矩陣也同樣含有偶然誤差，因此，文獻(xiàn)[14]提出能兼顧觀測向量誤差和系數(shù)矩陣誤差的總體最小二乘法(total least squares，TLS)。自總體最小二乘的提出，無論是其估計理論[15-18]，還是其應(yīng)用方面[19-22]關(guān)于TLS的研究成果十分豐富。針對系數(shù)矩陣存在隨機(jī)元素和非隨機(jī)元素以及呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的情況，文獻(xiàn)[23]把errors-in-variables(EIV)模型轉(zhuǎn)化為Partial EIV模型，推導(dǎo)出基于Partial EIV模型的總體最小二乘方法。文獻(xiàn)[24]中指出Partial EIV模型較EIV模型的幾個優(yōu)勢有：①Partial EIV模型是EIV模型更加一般的表達(dá)形式，包括了一般情況下加權(quán)總體最小二乘算法需要特殊處理的各種情況；②Partial EIV模型提取了系數(shù)矩陣中的不同的隨機(jī)元素，因此其誤差改正估計量個數(shù)減少，相應(yīng)地提高了計算效率；③模型算法的簡單形式便于后續(xù)中估值的精度評定工作。因此，文獻(xiàn)[25—29]針對Partial EIV模型進(jìn)行進(jìn)一步的研究與運(yùn)用。但是，目前已有文獻(xiàn)中總體最小二乘方法并沒有考慮觀測數(shù)據(jù)存在系統(tǒng)誤差的問題。顯然，當(dāng)系統(tǒng)誤差存在時會使得解算的參數(shù)結(jié)果及其精度受到較大影響；因此，研究總體最小二乘解決系統(tǒng)誤差的方法同樣是非常必要的。本文在Partial EIV模型的基礎(chǔ)上，給觀測值增加非參數(shù)部分(系統(tǒng)誤差)，從而構(gòu)建Partial EIV半?yún)?shù)模型，結(jié)合補(bǔ)償最小二乘準(zhǔn)則，對該準(zhǔn)則進(jìn)行相應(yīng)的變化得到補(bǔ)償總體最小二乘準(zhǔn)則，推導(dǎo)基于Partial EIV半?yún)?shù)模型的系統(tǒng)誤差處理方法，以削弱系統(tǒng)誤差對參數(shù)估計值的影響。

1 Partial EIV半?yún)?shù)模型的求解

1.1 Partial EIV半?yún)?shù)模型

EIV模型表達(dá)式為[30]：

函數(shù)模型

y-ey=(A-EA)X

(1)

隨機(jī)模型

(2)

考慮到觀測向量和系數(shù)矩陣中同時含有系統(tǒng)誤差的情況，分別給系數(shù)矩陣和觀測向量中加入SA和Sy，得到式(3)所示的函數(shù)模型

y-ey-Sy=(A-EA-SA)X

(3)

但是，在實際問題中，系數(shù)矩陣A中存在隨機(jī)元素和非隨機(jī)元素以及呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的情況，故文獻(xiàn)[23]對A中的元素作適當(dāng)?shù)奶崛∽儞Q，從而將EIV模型改寫為Partial EIV模型如下

(4)

將式(4)改寫為如下形式

y=AX+CV+CS

(5)

隨機(jī)模型

(6)

1.2 Partial EIV半?yún)?shù)模型的求解

補(bǔ)償最小二乘方法[5]是用來估計非參數(shù)回歸模型的，相應(yīng)的Partial EIV半?yún)?shù)模型的準(zhǔn)則函數(shù)表達(dá)式為

VTPV+αSTRS=min

(7)

式中，VTPV表示觀測值與估計值之間殘差擬合部分；STRS表示對向量S的某種度量；R為一個適當(dāng)給定的正定矩陣；α為平衡VTPV和STRS的因子，稱為平滑因子。

按求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)拉格朗日乘子K為n×1的列向量，構(gòu)造函數(shù)

Φ=VTPV+αSTRS+2KT(y-AX-CV-CS)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由式(9)得

(13)

將式(13)代入式(12)得

(14)

將式(14)代入式(10)得

(15)

則由式(15)可得

(16)

(17)

(18)

將式(14)代入式(11)得

(19)

在上述公式求解中，需要同時考慮到正則化矩陣R的選取及平滑因子α的確定。

1.3 正則化矩陣R的選取

1.3.1 時間序列法

時間序列法[31]是將觀測值看成一個時間序列，因為信號是隨時間連續(xù)變化的，因此認(rèn)為相鄰時刻的信號變化不是很大，且當(dāng)信號是非隨機(jī)量時，根據(jù)這些特點來構(gòu)造正則化矩陣

(20)

1.3.2 距離法

距離法[31]可以選取某種合適的函數(shù)，如某種距離函數(shù)來度量矩陣R

R-1=(sij)n×n

(21)

1.4 平滑因子α的選取

本文主要通過L曲線法[32]來確定平滑因子，L曲線法的基本原理：對于不同的平滑因子α可以得到以α當(dāng)作自變量構(gòu)造的信號范數(shù)和噪聲范數(shù)

(22)

(23)

通過得到不同點(SN(α),NN(α))，然后將這些點進(jìn)行擬合，就能夠得到一條光滑的曲線，這條曲線形似字母L，通過這個“L”來定平滑因子α的方法就稱之為L曲線法。平滑因子的確定可以通過兩種方法[33]：(1)曲線上的點離原點距離最小時對應(yīng)的值，即(SN(α))2+(NN(α))2=min；(2)曲線上曲率最大的點對應(yīng)的值。其中最大曲率法的相應(yīng)推導(dǎo)公式如下。

將式(4)化為

l=f(x)+V+S

(24)

將f(x)在近似值x0處展開至一次項

f(x)=f(x0)+ZX*

(25)

將式(25)代入式(24)，并令L=l-f(x0)，得到L=ZX*+V+S。

按求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)拉格朗日乘子k為(n+t)×1的列向量，構(gòu)造函數(shù)

Ψ=VTPV+αSTRS+2kT(L-ZX*-S-V)

(26)

(27)

(28)

式(28)中M1為對稱正定的矩陣，故存在矩陣W使得式(29)—式(30)成立

WTM1W=I

(29)

WTM2W=Ω=diag(δ1,δ2,…,δm+n+t)

(30)

由式(29)、式(30)可得

WT(M1-M2)W=I-Ω=diag(1-δi)

(31)

其中0≤δi≤1，i=1,2,…,m+n+t。

(32)

因此根據(jù)上式可得

(33)

(34)

式(33)、式(34)分別對α求導(dǎo)得

(35)

NN′(α)=-αSN′(α)

(36)

由式(36)可得到NN″(α)=-SN′(α)-αSN″(α)，故L曲線的曲率為

(37)

本文具體的迭代算法流程如下：

(1) 給定平滑因子α一定的區(qū)間，并且按照一定的步長取值；

2 算例與分析

在算例中采用以下4種方案進(jìn)行解算：

方案1：不含系統(tǒng)誤差時運(yùn)用文獻(xiàn)[25]的算法解算；

方案2：含系統(tǒng)誤差時運(yùn)用文獻(xiàn)[25]的算法解算；

方案3：含系統(tǒng)誤差時運(yùn)用本文的算法解算，其中平滑因子采用L曲線法的最短距離確定；

方案4：含系統(tǒng)誤差時運(yùn)用本文的算法解算，其中平滑因子采用L曲線法的最大曲率確定。

2.1 算例1

表1 算例1中各方案得到的參數(shù)估值及其與真值之間的二范數(shù)

Tab.1 The estimated parameters and the 2-norm with true values by different schemes of the first example

參數(shù)估計真值方案1方案2方案3方案4^X22.04713.19291.6723—32.98542.63723.0020—^X-^Xref00.04931.24680.3277—

圖1 算例1中確定平滑因子的L曲線Fig.1 The L-curve used to determine the smoothing factor in the first example

二范數(shù)值方案1方案2方案3方案4^Δ-^Δref1.10921.35871.0947—^e-^eref2.33343.42512.2265—

2.2 算例2

平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為[34]

(38)

式中，s為尺度因子；β為旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)；ΔX、ΔY為平移參數(shù)；(Xi,Yi)、(xi,yi)分別為目標(biāo)坐標(biāo)系和原始坐標(biāo)系對應(yīng)的坐標(biāo)。

將式(38)展開，并令a=scosβ,b=ssinβ，則可以轉(zhuǎn)化為如下形式

(39)

分別給原坐標(biāo)系和目標(biāo)坐標(biāo)系模擬加入的系統(tǒng)誤差如下

(40)

取正則化矩陣R

(41)

表3 算例2中各方案得到的參數(shù)估值及其與真值之間的二范數(shù)

圖2 算例2中確定平滑因子的L曲線Fig.2 The L-curve used to determine the smoothing factor in the second example

同時在該算例中考慮加入與式(40)不同系統(tǒng)誤差的情況，分別按照如下模擬的系統(tǒng)誤差加入到原始坐標(biāo)系和目標(biāo)坐標(biāo)系中

(42)

式中，t(i)=2×π×(i-1)/81，i=1,2,…,81。

正則化矩陣仍采用式(41)確定，分別采用方案1、方案2、方案3、方案4求解參數(shù)，各方案求得的參數(shù)估值如表4所示，表中各符號表達(dá)式含義同上。

表4 算例2中各方案得到的參數(shù)估值及其與真值之間的二范數(shù)

2.3 算例3

進(jìn)行一直線擬合的模擬算例，設(shè)直線模型為y=ax+b,其中a=2，b=1.5，自變量x坐標(biāo)真值通過matlab中randperm函數(shù)生成0到20的10個數(shù)據(jù)，并相應(yīng)的計算其對應(yīng)的因變量y的值，模擬的真值及其相應(yīng)的權(quán)列于表5中。給真值加入單位權(quán)中誤差為0.1且服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，并且同時按照算例2中式(40)方式給其加入系統(tǒng)誤差，從而得到模擬值。

表5 模擬真值及其權(quán)

表6 算例3中各方案得到的參數(shù)估值及其與真值之間的二范數(shù)

圖3 算例3中確定平滑因子的L曲線Fig.3 The L-Curve used to determine the smoothing factor in the third example

同樣在該算例中考慮加入與式(40)不同系統(tǒng)

誤差的情況，分別按照如下模擬的系統(tǒng)誤差加入到x和y中。

(43)

式中，t(i)=2×π×(i-1)/10，i=1,2,…,10。

正則化矩陣仍然采用式(41)確定，分別采用方案1、方案2、方案3、方案4求解參數(shù)，各方案求得的參數(shù)估值見表7，表中各符號表達(dá)式含義同上。

2.4 算例分析

從以上算例的表1、表3及表6中的結(jié)果可以看出，由于系統(tǒng)誤差的存在，導(dǎo)致Partial EIV模型計算得到的結(jié)果受到影響，與真值的偏差比較大，因此選擇合理有效的方法對系統(tǒng)誤差進(jìn)行處理就顯得很有必要。

表7 算例3中各方案得到的參數(shù)估值及其與真值之間的二范數(shù)

從表1中各方案參數(shù)估值與真值之間的二范數(shù)可知，方案1的二范數(shù)最小，其效果最優(yōu)，這是因為其觀測值中不含有系統(tǒng)誤差，所以結(jié)果較好；但是給觀測值加入系統(tǒng)誤差后，參數(shù)估計的結(jié)果受影響較大，故方案2的結(jié)果相比于方案3(本文方法)而言較差，偏離真值較大，然而方案3能夠在一定程度上抵御系統(tǒng)誤差對參數(shù)結(jié)果的影響，能夠得到相對可靠的參數(shù)解。此時方案4(基于本文的最大曲率法來確定平滑因子)在算例1中并不適用，因為該算例只考慮到觀測向量含有系統(tǒng)誤差的情況，而基于最大曲率確定平滑因子的推導(dǎo)是顧及觀測向量和系數(shù)矩陣同時含有系統(tǒng)誤差的情況。同時從表2也可看出，系統(tǒng)誤差對于觀測向量殘差及系數(shù)矩陣殘差均有一定的影響，但是本文方法能夠部分的削弱系統(tǒng)誤差的影響。

從表3和表6的結(jié)果看來，通過兩種方法確定平滑因子α的各方案得到的結(jié)果差別不大，效果相當(dāng)；針對選取不同的正則化矩陣情況，算例2及3中分別進(jìn)行了相應(yīng)的試驗，從表3及表6中方案3二者結(jié)果看來，使用方案3(2)(正則化矩陣選用時間序列法)解算時，得到結(jié)果更好，說明該方法能夠更好地抵消系統(tǒng)誤差的影響，因此建議坐標(biāo)轉(zhuǎn)換及直線擬合的參數(shù)解算中正則化矩陣可選取時間序列法。

考慮在算例2與3中加入不同系統(tǒng)誤差的情況，若按照觀測值為時間序列，且假設(shè)相鄰時刻的系統(tǒng)誤差變化相差不是很大時加入，如式(42)與(43)，從表4及表7中方案3與方案4的結(jié)果看來，通過本文方法并不能夠削弱系統(tǒng)誤差的影響，這說明此時加入的系統(tǒng)誤差并不合理，因此針對不同的觀測數(shù)據(jù)，其模擬加入的系統(tǒng)誤差也不一樣。

3 結(jié) 論

若觀測值中含有系統(tǒng)誤差，則會對Partial EIV模型的總體最小二乘參數(shù)估計值產(chǎn)生影響，因此提出相應(yīng)的解決方法就顯得很有必要。本文給出了Partial EIV半?yún)?shù)模型，根據(jù)補(bǔ)償最小二乘準(zhǔn)則給出了相應(yīng)的補(bǔ)償總體最小二乘準(zhǔn)則條件下的公式推導(dǎo)過程，并給出了相應(yīng)的迭代算法，以嘗試通過該方法削弱系統(tǒng)誤差對未知參數(shù)估值的影響，通過對文中算例中的各方案比較分析得出，本文給出的算法在一定程度上能夠削弱系統(tǒng)誤差對參數(shù)估值的影響，這說明基于Partial EIV半?yún)?shù)模型的系統(tǒng)誤差處理方法是有效可行的。

文中平滑因子的確定采用了L曲線法中的最短距離法和最大曲率法，從算例結(jié)果看二者效果相當(dāng)，然而最大曲率法的公式推導(dǎo)相對來說比較復(fù)雜，且在本文中若只顧及觀測向量含有系統(tǒng)誤差時，最大曲率法并不適用，因此建議在基于Partial EIV半?yún)?shù)模型求解系統(tǒng)誤差處理時，通過最短距離法來確定其中的平滑因子。對于正則化矩陣的選取問題，建議在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換及直線擬合的參數(shù)解算中可考慮選取時間序列法，但是較多的是根據(jù)系統(tǒng)誤差的特性進(jìn)行選取，因為此時的協(xié)方差矩陣是可求的，這可以用來描述觀測數(shù)據(jù)點之間的相關(guān)程度的大小。與此同時分別在算例2與3中加入與算例1相同特性的系統(tǒng)誤差，然而通過文中結(jié)果表明，此時并不能夠削弱系統(tǒng)誤差的影響，反而結(jié)果更差，這說明加入的系統(tǒng)誤差并不合理，因此對于不同的觀測數(shù)據(jù)，其系統(tǒng)誤差的特性也不盡相同。

因此，本文建議在解算過程中仍需顧及系統(tǒng)誤差的特性及正則化矩陣和平滑因子的選取。

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