周期新型超材料板多階彎曲波帶隙研究

李靜茹, 黎 勝,2

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 船舶工程學(xué)院,遼寧 大連 116024;2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心,上海 200240)

聲子晶體由于其表現(xiàn)出的特殊性質(zhì)如負(fù)折射，聲聚焦，彈性波的定向傳播和通帶禁帶性質(zhì)等，引起了很多研究人員的興趣。對(duì)于減振降噪而言，帶隙性質(zhì)的存在為設(shè)計(jì)隔聲隔振結(jié)構(gòu)提供了新的思路，其中，禁帶和通帶分別對(duì)應(yīng)的是禁止和允許彈性波傳播的頻率范圍，兩者交替出現(xiàn)組成了相應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)。聲子晶體作為一種周期結(jié)構(gòu)，由周期性占主導(dǎo)作用而產(chǎn)生的Bragg散射帶隙首先被發(fā)現(xiàn)。但是，由于Bragg帶隙中心頻率所對(duì)應(yīng)的波長與晶格常數(shù)處于同一量級(jí)，難以在較小的周期尺寸下得到低頻帶隙，所以不能進(jìn)行有效的低頻隔聲。Sheng等[1]利用很軟的硅橡膠材料包裹較硬的鉛球作為局域共振單元排列在環(huán)氧樹脂基體中，得到了對(duì)應(yīng)帶隙頻率波長遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)的局域共振帶隙，進(jìn)而可以進(jìn)一步獲得對(duì)應(yīng)于較小周期尺寸下的低頻帶隙，這種類型的聲子晶體被稱為局域共振型聲子晶體。同時(shí)，這種類型的聲子晶體因?yàn)槠渚哂械淖匀唤缰胁淮嬖诘呢?fù)質(zhì)量密度，負(fù)模量或者兩者都為負(fù)等特殊性質(zhì)，被越來越多地應(yīng)用到設(shè)計(jì)當(dāng)中，引起了大量針對(duì)不同型式共振單元[2-4]作用下周期結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播特性的研究。局域共振型聲子晶體同時(shí)也促進(jìn)了聲學(xué)超材料的提出和發(fā)展。在工程實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，應(yīng)用廣泛的板梁結(jié)構(gòu)并不滿足理想的聲子晶體假設(shè)，所以利用聲子晶體表現(xiàn)出的頻散特性，討論周期板梁結(jié)構(gòu)與局域共振單元相結(jié)合形成的超材料板梁結(jié)構(gòu)更具有實(shí)際意義。

Liu[5]等將一維情況下含有橡膠圈的細(xì)長梁單胞簡化為含有單個(gè)彈簧振子的物理模型，利用傳遞矩陣的方法分析了結(jié)構(gòu)的帶隙性質(zhì)；Xiao等[6-7]分別研究了在薄板上周期排列彈簧振子時(shí)產(chǎn)生的彎曲波帶隙以及在斜入射聲波作用下超材料板的聲傳遞損失；Zhang等[8]利用有限元方法分析了含有薄膜共振器的周期梁結(jié)構(gòu)的的彎曲波帶隙并且通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一現(xiàn)象。Song等[9]考慮了包含諧振器的夾心板超材料復(fù)合結(jié)構(gòu)中的縱波橫波還有彎曲波傳播情況，并且基于彎曲波帶隙概念分析了有限夾心板，無限大夾心板和等質(zhì)量夾心板的聲透射情況。Sharma等[10]分析了超材料夾芯梁的帶隙性質(zhì)并且給出了對(duì)應(yīng)帶隙截止頻率的周期梁結(jié)構(gòu)中單胞的模態(tài)。國內(nèi)很多學(xué)者對(duì)板梁周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙也進(jìn)行了分析討論。溫激鴻等[11]采用平面波展開法計(jì)算了無限周期條件下細(xì)直梁彎曲振動(dòng)中的彈性波能帶結(jié)構(gòu)；郁殿龍等[12-13]對(duì)薄壁梁的彎扭耦合振動(dòng)帶隙，多組元板的局域共振帶隙以及軸向載荷作用下周期結(jié)構(gòu)梁的彎曲振動(dòng)帶隙進(jìn)行了研究分析。陳榮等[14]研究了有限個(gè)周期單元組成的空腹梁結(jié)構(gòu)，利用傳遞矩陣的方法得到了結(jié)構(gòu)的力傳遞率和帶隙位置。舒海生等[15]構(gòu)造了一類Bragg型聲子晶體T型桿，利用傳遞矩陣法研究了其振動(dòng)帶隙。孫勇敢等[16]利用有限元方法計(jì)算了周期加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙，并研究了肋骨參數(shù)等對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙的影響。

對(duì)于板梁超材料結(jié)構(gòu)，在利用局域共振帶隙的概念進(jìn)行隔振設(shè)計(jì)的時(shí)候，多階帶隙的能帶結(jié)構(gòu)是我們希望得到的。本文提出了一種新型的超材料板結(jié)構(gòu)：將Huang等[17]提出的超材料結(jié)構(gòu)作為多頻率局域共振單元周期排列在二維薄板上。由于共振單元本身的多自由度系統(tǒng)屬性，超材料板結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出了具有多階禁帶頻率范圍的頻散關(guān)系。與以往產(chǎn)生多階帶隙的共振單元不同的是：[18]這種共振單元與結(jié)構(gòu)的相互作用可以使彎曲波發(fā)生波型轉(zhuǎn)化，進(jìn)而在另外的方向上阻隔彎曲波的傳播。H.H.Huang 雖然給出了可以近似實(shí)現(xiàn)這種超材料結(jié)構(gòu)的兩種構(gòu)型，但并沒有對(duì)這兩種實(shí)際構(gòu)型的性質(zhì)進(jìn)行分析，而是對(duì)由文獻(xiàn)中提出的概念性的結(jié)構(gòu)組成的半無限大一維結(jié)構(gòu)的衰減特性進(jìn)行了分析，討論的是這種具有負(fù)等效模量周期結(jié)構(gòu)的性質(zhì)；而在本文當(dāng)中，考慮到工程結(jié)構(gòu)中板的廣泛應(yīng)用，將這種具有特殊性質(zhì)的結(jié)構(gòu)作為共振單元與薄板結(jié)構(gòu)結(jié)合，提出了一種新型的超材料板結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)分析的是板內(nèi)彎曲波的傳播衰減情況；除此之外，薄板結(jié)構(gòu)考慮的是二維晶格空間，而在文獻(xiàn)[17]中，針對(duì)的只是一維的情況。

本文利用平面波展開方法對(duì)這種超材料板結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎曲波帶隙進(jìn)行了分析討論，除了求解在給定實(shí)Bloch波數(shù)下的頻散關(guān)系外，還計(jì)算了不同傳播方向下禁帶范圍內(nèi)彎曲波的衰減情況，觀察不同類型帶隙內(nèi)彎曲波的衰減特性?？紤]有限個(gè)單胞組成的周期超材料板結(jié)構(gòu)，利用有限元方法計(jì)算得到的振動(dòng)傳遞損失結(jié)果也表明，當(dāng)激勵(lì)頻率位于多階頻率禁帶范圍內(nèi)時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)在空間上得到了大大的衰減，有效抑制了振動(dòng)在結(jié)構(gòu)中的傳播。另外，還討論了共振單元的參數(shù)和超材料板單胞尺寸變化對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)和帶隙內(nèi)波衰減程度的產(chǎn)生的影響，為滿足特定隔振性能的超材料板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 物理模型和求解方法

圖1為周期分布共振單元的超材料板結(jié)構(gòu)中一個(gè)單胞的示意圖。如圖1所示，共振單元是由四根質(zhì)量不計(jì)的剛性桁架構(gòu)件連接而成的左右對(duì)稱結(jié)構(gòu)，其中，限定彈簧振子m2只有水平方向上的位移，垂直彈簧振子m1在平衡狀態(tài)下的長度設(shè)為L，剛度系數(shù)分別設(shè)為k2和k1,桁架水平節(jié)點(diǎn)相距距離設(shè)為B。

圖1 單胞和共振單元示意圖

Fig.1 The schematic description of the unit cell model and local resonator

本文中的薄板均遵循克?；舴虬寮僭O(shè)，含有共振單元的超材料板的控制方程可以寫為

(1)

式中:D為薄板的彎曲剛度;ρ和t分別是板的密度和厚度;w(r)是板的法向位移;r=(x,y)指的是板上任意點(diǎn)的位置。u1(R)和v2(R)分別代表附加在位置R處垂直彈簧振子和水平彈簧振子的位移。f1(R),f2(R)和f3(R)可以分別表示為

(2)

其中v1(R)為圖1中桁架水平節(jié)點(diǎn)處的位移，由小位移假設(shè)可以得到

(3)

將式(3)代入式(2)可以得到

(4)

根據(jù)結(jié)構(gòu)的周期性，由Bloch定理可得

w(r)=e-ikr+iωtwk(r)

(5)

其中，k為位于第一Brillouin域內(nèi)的Bloch波矢，wk(r)為周期函數(shù)，則可以進(jìn)一步展開成為傅里葉級(jí)數(shù)的形式

(6)

代入到w(r)中并且忽略簡諧時(shí)間因子可得

(7)

其中，G為二維晶格空間對(duì)應(yīng)的倒格矢空間，可以表示成：G=mb1+nb2，m,n為整數(shù)，b1和b2分別代表倒格子基矢，并與原胞基矢a1和a2滿足如下關(guān)系

aibj=2πδiji,j=1,2

(8)

共振單元中的位移同樣滿足上述周期條件。根據(jù)周期條件，任意共振單元位置處的板和彈簧振子位移可以寫為

(9)

式(1)中的delta函數(shù)滿足如下關(guān)系

(10)

將式(4)，式(9)和式(10)代入到系統(tǒng)控制方程式(1)中可得

(11)

式(11)右端的delta函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)形式為

(12)

式(12)中級(jí)數(shù)的傅里葉系數(shù)為

(13)

其中S表示單胞的面積。另外，根據(jù)式(7)，薄板的法向移可以表示為

(14)

將式(7)，式(12)和式(13)代入到式(11)中板的控制方程，可以得到：

(15)

(16)

式(16)為標(biāo)準(zhǔn)形式下的廣義特征值問題，在第一Brillouin域選取相應(yīng)的實(shí)Bloch波矢量，便可以求得在給定實(shí)波矢量下的頻率特征值，從而求得結(jié)構(gòu)的頻散關(guān)系，得到相應(yīng)的通帶和禁帶頻率范圍。如果只是確定帶隙的頻率范圍，波矢可以只在不可約Brillouin域的邊界上取值。

2 數(shù)值計(jì)算和結(jié)果分析

在算例中，設(shè)薄板的厚度為0.002 m，材料為鋁，密度ρ，彈性模量E和泊松比μ分別為：2 700 kg/m3,7.0×1010Pa和0.3。選取的超材料板單胞晶格尺寸大小為：a=a1=a2=0.1 m。垂直彈簧振子的質(zhì)量m1和剛度系數(shù)k1分別為0.02 kg和7.106×104N/m，水平方向的彈簧振子的質(zhì)量m2和剛度系數(shù)k2為0.01 kg和3.553×104N/m，兩類位置處彈簧振子各自的固有頻率都為300 Hz，L/B設(shè)為0.5。Bloch波矢量選取在如圖2所示的不可約Brillouin域的邊界上。

圖2 二維聲子晶體對(duì)應(yīng)的第一Brillouin域；灰色區(qū)域?yàn)椴豢杉sBrillouin域

Fig.2 The first Brillouin zone of 2D periodic lattice; the grey section represents the irreducible region of the Brillouin zone

圖3展示了分別通過平面波展開方法和有限元方法求解得到的結(jié)構(gòu)頻散關(guān)系，格子線密集和稀疏的區(qū)域分別代表的是完全帶隙和方向帶隙?？梢钥吹?，利用平面波展開的方法和利用有限元方法計(jì)算得到的帶隙結(jié)構(gòu)相同，存在著兩階完全帶隙和三階ΓX方向的方向帶隙，帶隙頻率范圍的具體截止頻率如表1所示。

表1超材料板的完全帶隙和方向帶隙的截止頻率

Tab.1Boundaryfrequenciesofthecompleteanddirectionalbandgapsinthemetamaterialplate

第1階完全帶隙第2階完全帶隙第1階方向帶隙第2階方向帶隙第3階方向帶隙上界頻率/Hz256.083322.823241.375307.571484.067下界頻率/Hz276.771369.932276.772369.932575.631

對(duì)于局域共振單元來說，不考慮外力作用時(shí)對(duì)應(yīng)的動(dòng)力方程由式(16)可得

(17)

通過求解式(17)可以得到兩階固有頻率分別為264.834 7 Hz和339.834 7 Hz。在圖3中可以看到，這兩階固有頻率全部位于兩階完全帶隙和前兩階方向帶隙頻率范圍內(nèi)部，表明了完全帶隙和前兩階方向帶隙是由局域共振的原因產(chǎn)生的。對(duì)于第三階方向帶隙，上界頻率與由通過式(18)求得一階ΓX方向Bragg頻率相同，表明這一階方向帶隙是由于Bragg散射產(chǎn)生的，此時(shí)是結(jié)構(gòu)的周期性起著主導(dǎo)性的作用

(18)

式中:a=a1=a2=0.1 m，為單胞的尺寸大小。

圖3 超材料板的帶隙結(jié)構(gòu)

完全帶隙和前兩階方向帶隙是由共振單元的共振特性引起的，所以在對(duì)應(yīng)的帶隙頻率范圍內(nèi)，由于共振單元中四根質(zhì)量不計(jì)的桁架的作用，部分彎曲波轉(zhuǎn)換到水平彈簧振子上，通過水平彈簧振子在水平方向上的劇烈運(yùn)動(dòng)來吸收原來彎曲波能量，說明了這種類型的共振單元可以將彎曲波轉(zhuǎn)化為縱波來達(dá)到隔聲隔振的作用。

上述頻散關(guān)系是在給定的實(shí)Bloch波矢量的情況下得到的，反映的是可傳播波的模態(tài)性質(zhì)，不能直接觀察到禁帶內(nèi)波的衰減情況。在傳播方向已知的時(shí)候，可以將求解的特征方程由ω(k)轉(zhuǎn)變?yōu)閗(ω)的形式，選取符合Bloch波條件的特征解，便得到了給定頻率下對(duì)應(yīng)的波數(shù)。若得到的波數(shù)虛數(shù)部分不為0，則對(duì)應(yīng)的頻率位于禁帶范圍內(nèi)，且波數(shù)的虛數(shù)部分反映了彎曲波傳播的衰減程度。

圖4(a)給出了在不同傳播方向下x方向波數(shù)kx的虛數(shù)部分，對(duì)應(yīng)數(shù)值不為0的頻段范圍即是在各個(gè)方向下的帶隙。在圖4中可以看到，不僅ΓX方向帶隙與圖3中描述的一致，不同傳播方向下的帶隙的交集部分也對(duì)應(yīng)著完全帶隙的范圍。另外，在ΓX方向上還存在相對(duì)前兩階彎曲波衰減相對(duì)光滑的帶隙范圍，對(duì)應(yīng)于圖3中的Bragg散射帶隙[19-20]。

圖4(b)給出了有限大小的超材料板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞損失。有限超材料板結(jié)構(gòu)由在x和y方向上的9x9個(gè)單胞組成。激勵(lì)點(diǎn)的位置選取在有限結(jié)構(gòu)的角點(diǎn)處，反應(yīng)點(diǎn)的位置取在超材料板結(jié)構(gòu)的中心位置以避免自由邊界條件帶來的影響。利用有限元方法，在激勵(lì)位置處施加幅值為1的簡諧力激勵(lì)，分別計(jì)算激勵(lì)位置和反應(yīng)位置處的位移，通過兩者位移的比值來表征振動(dòng)傳遞的損失。在圖4(b)中可以看到，由于點(diǎn)激勵(lì)造成彎曲波可以在各個(gè)方向上傳播，所以振動(dòng)衰減的部分對(duì)應(yīng)的是產(chǎn)生的完全帶隙，可以在各個(gè)方向上阻斷彎曲波的傳播。由之前的分析可知，兩階完全帶隙是由局域共振的原因產(chǎn)生的，所以有限板的振動(dòng)傳遞損失最大值也在共振單元的固有頻率附近處，從圖4(b)中看到，可以在低頻處阻隔彎曲波的傳播。雖然對(duì)超材料板單胞帶隙性質(zhì)的分析是建立在無限大的假設(shè)上的，但通過對(duì)有限超材料板的振動(dòng)傳遞損失分析以看到，利用帶隙性質(zhì)對(duì)有限大小的隔振結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，也可以取得理想的結(jié)果。

(a) 不同傳播方向下彈性波的衰減程度

(b) 9x9單胞排列的有限超材料板振動(dòng)傳遞損失分析結(jié)果

Fig.4 The attenuation of elastic waves in the infinite and finite metamaterial plates

3 單胞參數(shù)分析

共振單元的幾何屬性，彈簧振子的性質(zhì)，單胞尺寸等發(fā)生改變都會(huì)對(duì)超材料板的帶隙結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響，在這一部分，討論了不同參數(shù)的變化對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)帶來的影響。

3.1 共振單元幾何形狀對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙的影響

首先考慮影響共振單元幾何形狀的參數(shù)比值L/B。L/B會(huì)影響彎曲波在傳播過程中發(fā)生的波型轉(zhuǎn)換，從而改變結(jié)構(gòu)的頻散關(guān)系。在固定基體材料性質(zhì)和其他模型參數(shù)不變的情況下，圖5給出了兩階完全帶隙的上下界截止頻率隨著L/B比值的變化發(fā)生的改變。圖5中帶有符號(hào)的實(shí)線分別代表完全帶隙上下界的截止頻率，很容易看到，當(dāng)L/B由較小的值開始增大的時(shí)候，第一階帶隙向低頻移動(dòng)，第二階帶隙向高頻移動(dòng)，這也與共振單元的兩階固有頻率變化一致，如圖5中沒有符號(hào)的光滑實(shí)線所示。但是當(dāng)L/B增大到某一值仍繼續(xù)增大時(shí)，第二階帶隙由局域共振原因產(chǎn)生的帶隙開始向Bragg帶隙轉(zhuǎn)換，上界截止頻率不再改變，下界截止頻率隨著隨著L/B的比值的增大而上升進(jìn)而使得禁帶寬減小。所以在進(jìn)行帶隙材料設(shè)計(jì)時(shí)，要考慮適當(dāng)大小的L/B來滿足自己的設(shè)計(jì)需求。

圖5 L/B變化對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)的影響

圖6表明的是ΓX方向帶隙在隨著比值L/B的變化發(fā)生的改變。同樣可以看到，當(dāng)L/B開始增大的時(shí)候，前兩階局域共振帶隙和第三階Bragg帶隙保持自身帶隙類型不變，第一階局域共振帶隙朝低頻移動(dòng)，第二階局域共振帶隙朝高頻移動(dòng)，Bragg帶隙上界截止頻率上升導(dǎo)致帶隙寬度增大。當(dāng)L/B比值增大到某一數(shù)值的時(shí)候，位于第三階的Bragg帶隙轉(zhuǎn)變?yōu)榫钟蚬舱駧?，第二階局域共振帶隙轉(zhuǎn)化為由Bragg散射原因產(chǎn)生的Bragg帶隙。另外注意到，在L/B比值變化過程當(dāng)中，存在一個(gè)特殊的數(shù)值，使得二階方向帶隙和三階方向帶隙之間通帶寬度非常窄，此時(shí)帶隙的寬度幾乎可以是第二階局域共振帶隙和Bragg散射帶隙寬度的總和，這種現(xiàn)象在文獻(xiàn)[6,10]中也觀察到過。

圖6 L/B對(duì)結(jié)構(gòu)方向帶隙的影響

圖7展示了在共振單元作用下，不同幾何形狀下的機(jī)械阻抗幅值的變化?？梢钥吹?，隨著L/B的增大，機(jī)械阻抗在第一階共振頻率附近變化迅速，在第二階共振頻率附近變化緩慢，因此在低階共振頻率處阻抗失配的區(qū)域較小而在高階共振頻率處阻抗失配的區(qū)域較大，所以隨著參數(shù)的增加，第一階方向帶隙寬度減小，第二階范圍增大。除此之外，在Bragg頻率處，L/B數(shù)值大的對(duì)應(yīng)的機(jī)械阻抗也大，所以Bragg禁帶范圍也增大了。可是當(dāng)參數(shù)繼續(xù)升高，到慢慢靠近Bragg散射頻率時(shí)，就不能單單用機(jī)械阻抗來解釋，此時(shí)的情況變得十分復(fù)雜。由文獻(xiàn)[21-22]可知，在一維超材料結(jié)構(gòu)中，帶隙的上下界截止頻率可以由特殊邊界條件下的單胞的固有頻率來求得，傳播模態(tài)即為相應(yīng)頻率下的固有模態(tài)。對(duì)于超材料板結(jié)構(gòu)來說，帶隙的截止頻率同樣對(duì)應(yīng)與特殊的固有傳播模態(tài)。當(dāng)隨著參數(shù)變化，局域共振帶隙的上界截止頻率慢慢靠近Bragg頻率時(shí)，對(duì)應(yīng)的模態(tài)與Bragg頻率下的模態(tài)幾乎重合，由于此時(shí)Bragg頻率作為第三階方向帶隙的下界截止頻率，所以導(dǎo)致出現(xiàn)一個(gè)非常寬的禁帶范圍，中間僅存在一個(gè)非常窄的通帶范圍，這與文獻(xiàn)[21]中觀察到的不存在任何寬帶的現(xiàn)象不同。這是因?yàn)?，文獻(xiàn)[21]中的一維簡單結(jié)構(gòu)與本文中板結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制方程不同[22]。當(dāng)參數(shù)繼續(xù)增大，帶隙截止頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)發(fā)生改變，共振單元的高階頻率增加，第二階方向局域共振帶隙的下界截止頻率高于Bragg頻率，所以原來位于第二階方向局域共振帶隙變?yōu)榈谌A方向帶隙，而Bragg散射頻率下的模態(tài)對(duì)應(yīng)于第二階帶隙的上界截止頻率，第二階方向帶隙轉(zhuǎn)變?yōu)锽ragg帶隙。

圖7 L/B對(duì)機(jī)械阻抗的影響

3.2 彈簧剛度系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙的影響

除了共振單元的幾何屬性之外，彈簧振子固有頻率的變化也是一個(gè)重要的因素。在這里假定水平和垂直彈簧振子的質(zhì)量都保持固定不變，則固有頻率的變化就反映在相對(duì)應(yīng)的剛度系數(shù)上。為了更清楚地觀察到水平和垂直彈簧振子的固有頻率對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙性質(zhì)的影響，分別考慮兩種情況：一種是保持水平彈簧振子的的剛度系數(shù)不變，改變垂直彈簧振子的剛度系數(shù)與水平彈簧振子的剛度系數(shù)的比值；另一種是保持垂直彈簧振子的剛度系數(shù)不變，以同樣的比值大小來改變水平彈簧振子的剛度系數(shù)。

圖8(a)映了在水平彈簧振子的剛度系數(shù)不變的時(shí)候，隨著k1/k2的改變，結(jié)構(gòu)的帶隙的截止頻率發(fā)生的變化。帶有圓圈和三角符號(hào)實(shí)線代表的是結(jié)構(gòu)頻散關(guān)系中第二階和第四階中最小的頻率，帶有正方形和五角星符號(hào)實(shí)線分別代表第一階和第三階中最大的頻率。當(dāng)k1/k2的比值由零剛開始增加時(shí)，局域共振單元的固有頻率也隨著增加，但是低階固有頻率相對(duì)于高階的固有頻率變化較快，所以低階的帶隙寬度增加較為迅速。隨著k1的持續(xù)增加，共振單元原來的高階固有頻率對(duì)應(yīng)模態(tài)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)于低階固有頻率的模態(tài)，而原來低階頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)則轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在高階頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)，則此時(shí)的高階頻率變化相對(duì)于低階頻率變化較快，所以第二階局域共振帶隙寬度顯著增大；當(dāng)k1再繼續(xù)增大，第二階局域共振帶隙轉(zhuǎn)變?yōu)锽ragg帶隙，直到k1足夠大的時(shí)候，相當(dāng)于只有水平彈簧振子作用下的帶隙，第一階帶隙寬度非常小。在圖8(b)中可以看到，在k1比較大的時(shí)候，本文中考慮的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的第二階帶隙上下界截止頻率與只有一個(gè)彈簧振子作為共振單元產(chǎn)生的帶隙截止頻率基本相同，此彈簧振子性質(zhì)與水平位置處彈簧振子性質(zhì)相同。

(a) 垂直彈簧振子剛度系數(shù)變化對(duì)帶隙截止頻率的影響

(b) 與含有單個(gè)彈簧振子的超材料板的帶隙截止頻率的比較

圖9(a)則反映了另外一種情況，即當(dāng)垂直彈簧振子的剛度系數(shù)固定時(shí)，按照同樣的k1/k2比值來改變水平彈簧振子的剛度系數(shù)，帶隙結(jié)構(gòu)的發(fā)生的變化。在圖9(a)中,當(dāng)k1/k2比值很小的時(shí)候，水平彈簧振子的剛度系數(shù)非常大，由式(16)可知，共振單元的高階頻率很大，超過了一階Bragg散射頻率，這時(shí)只有低階固有頻率產(chǎn)生的第一階局域共振帶隙，隨著k2的減小寬度減小且朝低頻移動(dòng)；當(dāng)k2繼續(xù)減小，經(jīng)過一階Bragg散射頻率以后第二階局域共振帶隙開始出現(xiàn)；當(dāng)k2進(jìn)一步減小的時(shí)候，此時(shí)共振單元的兩階頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)位置互相轉(zhuǎn)換；當(dāng)k2很小的時(shí)候，可以看作是只有垂直彈簧振子作用產(chǎn)生的帶隙，如圖9(b)所示。

(a) 水平彈簧振子剛度系數(shù)變化對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙截止頻率的影響

(b) 與含有單個(gè)彈簧振子的超材料板的帶隙截止頻率的比較

考慮這兩種情況下ΓX方向帶隙的變化。在第一種情況，如圖10(a)所示，虛部數(shù)值大小代表了禁帶內(nèi)波的衰減程度，虛部為0對(duì)應(yīng)的是通帶范圍。前兩階局域共振方向帶隙和完全帶隙情況相同，當(dāng)k1由很小的數(shù)值開始增大的時(shí)候，低階局域共振帶隙相對(duì)于高階局域共振帶隙變化較快，第三階帶隙為Bragg散射帶隙，且?guī)秾挾群蛷澢ㄋp的程度都是隨著k1的增大而增大；當(dāng)k1增大到一定程度的時(shí)候，第一階局域帶隙的寬度開始減小，k1繼續(xù)增大，第二階局域帶隙轉(zhuǎn)化為Bragg散射帶隙，而處于第三階帶隙位置的Bragg散射帶隙轉(zhuǎn)化為局域共振帶隙, 帶隙內(nèi)的彈性波的最大衰減程度也隨著增大?？紤]第二種情況時(shí)，如圖10(b)所示，當(dāng)k2很大的時(shí)候，相當(dāng)于只存在兩階帶隙，分別為第一階的局域共振帶隙和第二階的Bragg散射帶隙，兩階帶隙都隨著k2的降低向低頻移動(dòng)且?guī)秾挾葴p小；隨著k2開始減小，位于第三階的局域共振帶隙出現(xiàn)，帶隙中心頻率向低頻移動(dòng)且寬度增加；當(dāng)k2減小到一定數(shù)值的時(shí)候，位于第三階的局域共振帶隙轉(zhuǎn)化為Bragg散射帶隙，位于第二階的Bragg散射帶隙轉(zhuǎn)化為局域共振帶隙，向低頻移動(dòng)且?guī)秾挾仍黾?；?dāng)k2很小時(shí)，由圖10(b)可以看到, 第一階局域共振帶隙寬度很窄，位于第二階的局域共振帶隙和第三階的Bragg散射帶隙對(duì)彈性波的衰減起主要作用。

另外在圖10中同樣可以看到，在這種兩種情況下剛度發(fā)系數(shù)變化的過程當(dāng)中，各自存在一個(gè)特定的剛度系數(shù)比值，對(duì)應(yīng)一個(gè)帶隙寬度幾乎為第二階帶隙和第三階帶隙寬度之和的禁帶頻率范圍，在這種情況下，第二階和第三階帶隙之間僅有一個(gè)非常窄的通帶存在。

(a) 垂直彈簧振子剛度系數(shù)對(duì)ΓX方向帶隙的影響

(b) 水平彈簧振子剛度系數(shù)對(duì)ΓX方向帶隙的影響

Fig.10 Effects of the stiffness of springs on the directional band gaps

3.3 單胞尺寸對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙的影響

除了共振單元的屬性，超材料板單胞尺寸的變化也會(huì)對(duì)Bragg散射帶隙和局域共振帶隙的上下界截止頻率產(chǎn)生作用。

圖11反映了在原來的材料參數(shù)和共振單元的性質(zhì)都不發(fā)生改變的情況下，僅改變超材料板單胞尺寸對(duì)帶隙產(chǎn)生的影響。由之前的分析可知，兩階完全帶隙都是由局域共振的原因產(chǎn)生的，可以看到，隨著晶格尺寸的增大，第二階階完全帶隙明顯降低，同樣在子圖里面也可以看到第一階完全帶隙的寬度也在減少。這是由于在晶格尺寸增加的同時(shí)，共振單元雖然沒有發(fā)生變化，但是相對(duì)于整個(gè)單胞的填充率發(fā)生了變化，填充率相對(duì)減小，致使兩階局域共振帶隙寬度減小。

圖11 單胞尺寸變化對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙的影響

圖12是ΓX方向的帶隙變化情況以及帶隙內(nèi)波的衰減情況。圖12(a)子圖中是第三階方向帶隙在1 kHz以下的變化范圍。由圖12(b)可知，前兩階局域共振帶隙與完全帶隙變化一致，最大的衰減范圍也是在共振單元的固有頻率附近處。對(duì)于Bragg帶隙，隨著晶格尺寸的增長，帶隙向低頻移動(dòng)，符合Bragg帶隙中心頻率對(duì)應(yīng)的彈性波波長與晶格常數(shù)的數(shù)量級(jí)相當(dāng)?shù)囊?guī)律。同時(shí)還可以觀察到，隨著晶格尺寸的增加，Bragg帶隙中波的衰減程度也在增大。

(a) 單胞尺寸變化對(duì)ΓX方向帶隙結(jié)構(gòu)的影響

(b) 單胞尺寸變化對(duì)ΓX方向帶隙內(nèi)波衰減的影響

Fig.12 Effects of the unit cell size on the width and wave attenuation of the directional band gaps

4 結(jié) 論

本文利用聲子晶體概念，設(shè)計(jì)了一種新型的隔振結(jié)構(gòu)，將具有負(fù)等效體積模量的超材料結(jié)構(gòu)作為多頻率局域共振單元，周期排列在板上形成具有多階帶隙超材料板結(jié)構(gòu)來增大板的振動(dòng)傳遞的損失。在多頻率共振單元的局域共振特性與薄板中行波的共同作用下產(chǎn)生了兩階完全帶隙和三階ΓX方向帶隙。利用平面波展開方法，分別得到了超材料板結(jié)構(gòu)的頻散關(guān)系和不同帶隙范圍內(nèi)的衰減情況。利用有限元方法對(duì)有限個(gè)單胞組成的超材料板的振動(dòng)傳遞損失進(jìn)行了計(jì)算，多階帶隙的存在使得在多個(gè)禁帶頻率范圍內(nèi)可以達(dá)到彎曲波的有效衰減，與求得的帶隙結(jié)構(gòu)也十分吻合。除此之外，討論了共振單元的幾何形狀以及固定彈簧振子質(zhì)量的情況下垂直和水平彈簧振子固有頻率或者說是剛度系數(shù)改變對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)的影響。隨著參數(shù)的改變，不同類型的完全帶隙和方向帶隙的寬度和性質(zhì)也都發(fā)生了變化。同時(shí)，在分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，無論是在改變共振單元的幾何形狀還是彈簧振子的剛度系數(shù)時(shí)，都各自存在著一個(gè)特殊大小的系數(shù)，使得ΓX方向存在一個(gè)寬度幾乎為局域共振帶隙和Bragg散射帶隙寬度之和的帶隙。保持共振單元屬性不變，僅改變單胞的尺寸時(shí)，也會(huì)影響結(jié)構(gòu)帶隙的性質(zhì)。通過觀察超材料板參數(shù)的變化，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)帶隙的寬度，彎曲波的衰減程度，引起帶隙產(chǎn)生的機(jī)理都會(huì)發(fā)生改變，所以對(duì)于不同設(shè)計(jì)要求的超材料板結(jié)構(gòu)，要注意選取合適的參數(shù)，同時(shí)這一參數(shù)化研究也為超材料板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ)。

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