在幾何畫板中繪制分段函數(shù)圖象的方法之探究

陳峰

摘 要：幾何畫板是高中數(shù)學(xué)備課和課堂教學(xué)中不可或缺的一款教學(xué)軟件，在幾何畫板中，不僅可以利用根號和對數(shù)函數(shù)作出連續(xù)型或限定定義域的初等函數(shù)的圖象，還能借助符號函數(shù)構(gòu)造出分段函數(shù)各段上的所乘函數(shù)，進(jìn)而繪制出分段函數(shù)的圖象，達(dá)到為教學(xué)研究服務(wù)的目的。

關(guān)鍵詞：幾何畫板；分段函數(shù)；圖象

幾何畫板（The Geomters Sketchpad，簡稱GSP）是一款適用于數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科，可以進(jìn)行矢量分析、作圖、函數(shù)作圖等操作的動態(tài)幾何工具.由于它能夠動態(tài)地展現(xiàn)出函數(shù)圖象和幾何對象的位置關(guān)系及運(yùn)行變化規(guī)律，深受廣大教師的青睞，也是不少數(shù)學(xué)教師在備課、上課中不可或缺的教學(xué)軟件之一.然而，即便是功能如此強(qiáng)大的幾何畫板，仍舊在繪制分段函數(shù)這一方面顯得不夠“體貼”和“人性化”，這也或多或少地限制了教師對它的開發(fā)與使用.因此，本文基于5.04版的幾何畫板，針對如何在幾何畫板中繪制分段函數(shù)的圖象進(jìn)行研究.

一、在幾何畫板中作限定定義域的初等函數(shù)的圖象

類型1 初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)

例1 作函數(shù)f（x）=x2-2x+，x∈[0，3]的圖象.

操作步驟：

（1）在“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對話框中直接輸入函數(shù)表達(dá)式x^2-2*x+1/2得到函數(shù)f（x）=x2-2x+在R上的圖象.

（2）點(diǎn)擊函數(shù)圖象選中，右擊選擇“屬性”（如圖1），可在欄目“繪圖”內(nèi)設(shè)置函數(shù)的定義域邊界的數(shù)值（如圖2），點(diǎn)擊確定可得到函數(shù)f（x）=x2-2x+，x∈[0，3]的圖象.

上述操作步驟的優(yōu)勢在于操作比較便捷，只要在幾何畫板內(nèi)對函數(shù)圖象進(jìn)行簡單設(shè)置便可實(shí)現(xiàn)，主要適用于在定義域上連續(xù)的初等函數(shù).

類型2 初等函數(shù)在定義域內(nèi)不連續(xù)

例2 作函數(shù)f（x）=x2-2x+，x∈[0，1]∪[2，3]的圖象.

操作步驟：

（1）構(gòu)造函數(shù)F（x）=x2-2x++0·.

（2）在“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對話框中輸入函數(shù)表達(dá)式x^2-2*x+1/2+0*sqrt[-x*（x-1）*（x-2）*（x-3）]，點(diǎn)擊確定可得到函數(shù)f（x）=x2-2x+，x∈[0，1]∪[2，3]的圖象（如圖3）.

雖然函數(shù)F（x）中0·的值恒為0，但要使得其有意義，即解不等式-x（x-1）（x-2）（x-3）≥0，可解得x∈[0，1]∪[2，3]，這恰好為所畫函數(shù)f（x）的定義域.因此，函數(shù)f（x）與函數(shù)F（x）本質(zhì)上是相同函數(shù).

一般地，對于限定定義域的初等函數(shù)f（x），通過構(gòu)造得到函數(shù)f（x）的相同函數(shù)F（x）的方式有下列8種情況：

1.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·.

2.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝，b]，可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·.

3.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b），可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·.

4.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝，b），可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·ln[-（x-a）（x-b）]或F（x）=f（x）·.

5.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝，+∞），可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·ln（x-a）或F（x）=f（x）·.

6.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，+∞]，可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·.

7.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，b），可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·ln（b-x）或F（x）=f（x）·.

8.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，b]，可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·.

二、在幾何畫板中作分段函數(shù)的圖象

例3 作分段函數(shù)f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的圖象.

方法1 先將分段函數(shù)f（x）拆分為兩個(gè)函數(shù)，即f1（x）=2x-1（x≤1）和f2（x）=3-x（x>1），然后再分別作上述兩個(gè)函數(shù)的圖象.

操作步驟：

（1）構(gòu)造以下兩個(gè)函數(shù)，F(xiàn)1（x）=2x-1+0·和F2（x）=3-x+0·ln（x-1）.

（2）在幾何畫板的同一文檔頁面內(nèi)的“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對話框中分別輸入函數(shù)表達(dá)式2^x-1+0*sqrt（1-x）和3-x+0*ln（x-1），分別點(diǎn)擊確定后可得到函數(shù)f1（x）和f2（x）的圖象，兩者可組成函數(shù)f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的圖象（如圖4）.

方法1的本質(zhì)是拼接了函數(shù)f1（x）和f2（x）的圖象，雖然可以使人在視覺上感覺在同一坐標(biāo)系下作出了f（x）的圖象，但其缺陷也是顯而易見的，比如說函數(shù)f（x）圖象并非一次成圖，函數(shù)圖象也不能被整體選中，并且在圖象上任取的一點(diǎn)更不可以在分段函數(shù)f（x）各段的圖象上自由移動.因此，方法1所繪制的函數(shù)圖象有較大的局限性，不適合用以研究函數(shù)f（x）的性質(zhì).

方法2 利用符號函數(shù)sgn（x）=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.構(gòu)造函數(shù)f（x）的相同函數(shù)F（x），通過繪制函數(shù)F（x）的圖象得到分段函數(shù)f（x）的圖象.

操作步驟：

（1）構(gòu)造函數(shù)F（x）=（2x-1）+（3-x）.

（2）在“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對話框中輸入函數(shù)表達(dá)式（2^x-1）*[1+sgn（1-x）]/2+（3-x）*[1+sgn（x-1）]/2，點(diǎn)擊確定后可得到函數(shù)f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的圖象.

方法2巧妙地利用了分段函數(shù)的特點(diǎn)，彌補(bǔ)了方法1中不能一次成圖、無法整體選中、取點(diǎn)無法自由移動等缺陷.函數(shù)F（x）中所構(gòu)造的和用于匹配其所乘函數(shù)的定義域的范圍.具體地，當(dāng)x<1時(shí)，和分別為1和0，則此時(shí)F（x）=2x-1，同理，當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)（x）=3-x.因而，類似地，對于分段函數(shù)g（x）=g1（x），x≤a，g2（x），ab.（a

=g1（x）·+g2（x）·+g3（x）·.

較之方法1，方法2已有明顯的改進(jìn)，彌補(bǔ)了方法1的諸多缺陷，同時(shí)也是目前較為普遍的一種處理方式.但即便如此，方法2仍存在不完美之處.對于函數(shù)f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 ，當(dāng)取x=1時(shí)，

f（1）=0，而對于函數(shù)F（x）=（2x-1）+（3-x），當(dāng)取x=1時(shí)，F(xiàn)（1）=0·+2·=1≠f（1）.由于幾何畫板中孤立的點(diǎn)不被顯示，這使得上述問題常常被忽略.其實(shí)通過觀察和分析不難發(fā)現(xiàn)，造成上述偏差的主要原因是函數(shù)y=雖然可以在x>1和x<1時(shí)分別取得1和0，但當(dāng)x=1時(shí)的取值卻是，而非0，從而使得F（1）≠f（1）.因此，要想借助符號函數(shù)sgn（x）得到分段函數(shù)f（x）的相同函數(shù)，就必須重新構(gòu)造3-x所乘函數(shù)的關(guān)系式.

方法3 對方法2進(jìn)行改進(jìn)，重新構(gòu)造2x-1和3-x的所乘函數(shù)，分別為k1（x）=sgn[1+sgn（1-x）]和k2（x）=sgn[1+sgn（x-1）]·sgn|x-1|.

操作步驟：

（1）構(gòu)造函數(shù)F（x）=（2x-1）·sgn[1+sgn（1-x）]+（3-x）·sgn[1+sgn（x-1）]·sgn|x-1|.

（2）在“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對話框中輸入函數(shù)表達(dá)式，（2^x-1）*sgn[1+sgn（1-x）]+（3-x）*sgn[1+sgn（x-1）]*sgn[abs（x-1）]點(diǎn)擊確定后可得到函數(shù)f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的圖象.

方法3構(gòu)造了y=k1（x）和y=k2（x）兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)x>1時(shí)，由于1+sgn（x-1）=0，所以k1（x）恒等于0，由于1+sgn（x-1）>0，|x-1|>0，k2（x）恒等于1；同理可得，當(dāng)x<1時(shí)，k1（x）恒等于1，k2（x）恒等于0，而當(dāng)x=1時(shí)，1+sgn（x-1）>0，|x-1|=0，仍能保證k1（x）恒等于1，k2（x）恒等于0.

類似地，利用相同的原理，根據(jù)不同定義域下的函數(shù)，可構(gòu)造出其所對應(yīng)的不同的所乘函數(shù)k（x），具體如下：

1.當(dāng)x≤a時(shí)，構(gòu)造k（x）=sgn[1+sgn（a-x）].

2.當(dāng)x

3.當(dāng)x≥b時(shí)，構(gòu)造k（x）=sgn[1+sgn（x-b）].

4.當(dāng)x>b時(shí)，構(gòu)造k（x）=sgn[1+sgn（x-b）]·sgn|x-b|.

5.當(dāng)a≤x≤b時(shí)，構(gòu)造k（x）=sgn[1+sgn（x-a）（b-x）].

6.當(dāng)a

7.當(dāng)a≤x

8.當(dāng)a

對于一個(gè)含有n（n∈N*）段的分段函數(shù)f（x），其每一段所對應(yīng)的解析式為fi（x）（1≤i≤n，i∈N*），根據(jù)上述方法，可以構(gòu)造出fi（x）所對應(yīng)的所乘函數(shù)ki（x），再令F（x）=[fi（x）·ki（x）]，則f（x）

與F（x）為相同函數(shù).因此，只需在幾何畫板“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對話框中輸入函數(shù)表達(dá)式后再點(diǎn)擊確定，即可得到函數(shù)f（x）的圖象.至此，在幾何畫板中繪制分段函數(shù)圖象這一問題才最終得以真正解決.

？誗編輯 趙飛飛