透析立體幾何中的探索性問題

■山東省肥城市第一高級中學(xué) 董欣月

立體幾何中的探索性問題立意新穎,形式多樣,求解探究過程既能夠考查同學(xué)們的空間想象力,又可以考查同學(xué)們的意志力和探究創(chuàng)新意識,逐步成為近幾年高考命題的熱點(diǎn)和今后命題的趨勢之一。其主要有兩類：一是推理型,即探究空間中的平行與垂直關(guān)系,可以利用空間線面關(guān)系的判定與性質(zhì)定理進(jìn)行推理探究;二是計(jì)算型,即對幾何體中的空間角與距離、幾何體的體積等計(jì)算型問題的有關(guān)探究,此類探究性問題可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程,根據(jù)方程解的存在性來解決。

透析1——“幾何法”探究以“平行”為背景的探索性問題

例1 (2017年吉林百校聯(lián)盟九月聯(lián)考)如圖1,在四棱錐E-ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=3AB。

(1)求證：平面ACE⊥平面CDE。

圖1

(2)在線段DE上是否存在一點(diǎn)F,使AF∥平面BCE?若存在,求的值;若不存在,說明理由。

解析：(1)因?yàn)镃D⊥平面ADE,AE?平面ADE,所以CD⊥AE。又因?yàn)锳E⊥DE,CD∩DE=D,所以AE⊥平面CDE。因?yàn)锳E?平面ACE,所以平面ACE⊥平面CDE。

透析：求解直線和平面平行的存在探索性問題,一定要靈活利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,注意其中的平行、垂直及長度之間的關(guān)系,取特殊點(diǎn)構(gòu)造輔助面完成線和面內(nèi)的直線平行,其中依據(jù)性質(zhì)定理作輔助線和輔助面是關(guān)鍵,本題取ED的三分之一點(diǎn)F構(gòu)造平行四邊形,凸顯空間問題平面化的特點(diǎn)。

透析2——“幾何法”探究以“垂直”為背景的探索性問題

例2 (2017屆廣東七校聯(lián)合體高三上學(xué)期聯(lián)考)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AD,DD1的中點(diǎn),AB=BC=2,過A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后,得到如圖2所示的幾何體ABCD-A1C1D1,且這個(gè)幾何體的體積為。

圖2

(1)求證：EF∥平面A1BC1。

(2)求A1A的長。

(3)在線段BC1上是否存在點(diǎn)P,使直線A1P與C1D垂直?如果存在,求線段A1P的長;如果不存在,請說明理由。

解析：(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,可知AB∥D1C1,AB=D1C1。由四邊形ABC1D1是平行四邊形,所以。因?yàn)镋,F分別是AD,DD1的中點(diǎn),所以AD1∥FE,則EF∥BC1。又EF?面A1BC1,BC1?面A1BC1,則EF∥平面A1BC1。

(2)因?yàn)閂ABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-

(3)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QP∥CB交BC1于點(diǎn)P,則A1P⊥C1D。因?yàn)锳1D1⊥平面CC1D1D,而C1D?平面CC1D1D,所以C1D⊥A1D1。又QP∥CB,CB∥A1D1,所以QP∥A1D1。

又因?yàn)锳1D1∩D1Q=D1,所以C1D⊥平面A1PQC1,且A1P?平面A1PQC1,所以A1P⊥C1D。由Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD,得,所以C1Q=1。又因?yàn)镻Q∥BC,所以。因?yàn)樗倪呅蜛1PQD1為直角梯形,且高D1Q=5,所以A1P=

透析：求解以特殊幾何體為背景的線線垂直關(guān)系的探索性問題,常依據(jù)幾何體的特殊性質(zhì),合理選擇構(gòu)造一條直線和另一條直線所在的平面垂直。本題選擇C1D和經(jīng)過點(diǎn)A1且與BC1相交于點(diǎn)P的平面,通過作D1Q⊥C1D交CC1于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QP∥CB交BC1于點(diǎn)P,構(gòu)造出的輔助面為直角梯形。

透析3——“向量法”求解以“角”為背景的探索性問題

例3 (2017年天津市濱海新區(qū)八校聯(lián)考)如圖3,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,PA=AB,AB∶AD∶CD=2∶2∶1。

圖3

(1)證明BD⊥PC;

(2)求二面角A-PC-D的余弦值;

(3)設(shè)點(diǎn)Q為線段PD上一點(diǎn),且直線AQ與平面PAC所成角的正弦值為,求的值。

解析：由題意知AB,AD,AP兩兩垂直,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB,AD,AP的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系,由題設(shè)知B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(1,2,0)。

圖4

設(shè)θ為直線AQ與平面PAC所成的角,而平面PAC的法向量為m=(2,-1,0),

透析：求解與“兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角”有關(guān)的存在性問題,常利用空間向量法解決,可以避開抽象、復(fù)雜的尋找角的過程,只要能夠準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式|cosθ|=|cos|可以把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題。事實(shí)說明,空間向量法是探究立體幾何中存在性問題的強(qiáng)有力的方法。