尋找身邊的拋物線

■河南省潢川高級(jí)中學(xué)高三(2 1)班 劉紫陽(yáng)

生活中充滿了數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)就在我們周?chē)?。在足球比賽時(shí),猛一腳射門(mén),足球沿著一條美麗的弧線,球進(jìn)了,那將是激動(dòng)人心的事。這其實(shí)就是拋物線。只要我們細(xì)心觀察生活,就會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中有很多與拋物線有聯(lián)系的事物,甚至導(dǎo)彈軌跡也與拋物線有一定的聯(lián)系,下面我們一起來(lái)賞析幾例。

一、隧道中的拋物線

某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成,尺寸如圖1所示,某卡車(chē)空車(chē)時(shí)能通過(guò)此隧道,現(xiàn)載一集裝箱,箱寬2m,車(chē)與箱共高4.5m,問(wèn)此車(chē)能否通過(guò)此隧道,說(shuō)明理由。

圖1

解析：建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(-3,-3),A(3,-3)。

設(shè)拋物線方程為x2=-2p y(p＞0),將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得9=-2p·(-3),故線方程為x2=-3y(-3≤y≤0)。

圖2

因?yàn)檐?chē)與箱共高4.5m,所以集裝箱上表面距拋物線形隧道拱頂0.5m。

設(shè)拋物線上點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,-0.5),D′的坐標(biāo)為(-x0,-0.5),則x20=1.5,解得x0=

二、噴泉中的拋物線

如圖3所示,水池中央有一噴泉,水管的長(zhǎng)|O′P|=1m,水從噴頭P噴出后呈拋物線的形狀,先向上至最高點(diǎn)后落下,若最高點(diǎn)距水面2m,點(diǎn)P距拋物線的對(duì)稱軸1m,則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)為多少?(精確到個(gè)位)。

圖3

解析：如圖4所示,建立平面直角坐標(biāo)系。

設(shè)拋物線的方程為x2=-2p y(p＞0)。

圖4

設(shè)B(x,-2),則x=2,|O′B|=1+2。

故水池的直徑為2(1+2)≈5(m),即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)為5m。

三、酒杯里的拋物線

圖5

解析：在酒杯軸截面內(nèi),玻璃球成了位于拋物線內(nèi)的一個(gè)圓,以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),以拋物線的對(duì)稱軸為y軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖5所示。

則拋物線方程可設(shè)為x2=2p y(p＞0),依題意得點(diǎn)(2 1 0,2 0)在拋物線上,故4 0=2p×2 0,p=1,拋物線的方程為x2=2y(0≤y≤2 0)。

若玻璃球觸及杯底,圓與x軸切于原點(diǎn),這時(shí)圓心坐標(biāo)為A(0,r),在拋物線上任取一點(diǎn)P(x,y),則|A P|2=x2+(y-r)2=y2+2(1-r)y+r2=[y+(1-r)]2+2r-1≥r2。

則1-r≥0,0＜r≤1。

故當(dāng)玻璃球的半徑r取值范圍為(0,1]時(shí),才能使玻璃球觸及杯底。

從以上幾例可以看出,求解生活中的拋物線問(wèn)題的關(guān)鍵,是合理建立直角坐標(biāo)系,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決,體現(xiàn)了解析幾何的“特殊功能”,也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的“神奇力量”。

(責(zé)任編輯 徐利杰)