探究數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（大慶市第二十八中學(xué) 黑龍江大慶 163453）

一、正向思維法

正向思維法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中最為常用也最為簡單的一種數(shù)學(xué)分析方法，學(xué)生只要根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)學(xué)公式和知識點(diǎn)進(jìn)行思考解題即可得到正確答案，雖然正向思維方法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中最為簡單、普遍的一種解題方法，但是它很實(shí)用，能夠在高考中為學(xué)生取得大部分的分值。[1]

在高考數(shù)學(xué)卷子中，題目的難度類型按易、中、難劃分為三個(gè)檔次，其中“易”的題目數(shù)量最多，占得分值也最大，“中”其次?！半y”最少，只有不到10%的分值分布?！耙住睓n次的題目是能夠通過常規(guī)的思想簡單的套用數(shù)學(xué)公式和知識點(diǎn)就能夠解出答案的，學(xué)生在解這些題目時(shí)不需要繞太大的彎子，只需要運(yùn)用常規(guī)的解題分析方法分析和正向思維就能夠得到題目的答案。

例：已知函數(shù)f（x）=x的平方-2ax+5在[負(fù)無窮，2]上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2屬于[1，a+1]，總有|f（x1）-f（x2）|小于等于4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為多少？[2]

解：f（x）=x2-2ax+5在（-∞，2]上是減函數(shù)，所以對稱軸x=a在區(qū)間的右側(cè)，

即 a≥2，從而 f（x）在[1，a]是減函數(shù)，在[a，a+1]上是函數(shù)，由于a≥2，故在區(qū)間[1，a+1]上，x=1離對稱軸最遠(yuǎn)，從而在[1，a+1]上，f（x）的最大值為f（1）=6-2a，最小值為f（a）=-a2+5 從而|f（1）-f（a）|≤4，即|a2-2a+1|≤4，|a-1|≤2，-2≤a-1≤2

-1≤a≤3 從而 2≤a≤3。從這題的解題思路我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生只要順著題意一步步來就能夠得到這題的正確答案。[3]

二、逆向思維法

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生思維的靈活轉(zhuǎn)換的要求比較高，學(xué)生在解數(shù)學(xué)題的過程中需要不斷靈活的轉(zhuǎn)換思維方式對數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分析。逆向思維方式屬于發(fā)散性思維，在碰到運(yùn)算量很大且正面解題難度較大的題目時(shí)，運(yùn)用逆向思維法往往能夠取得事半功倍的效果。

例：若a3+b3=2求證a+b≤2

解：假設(shè)a+b＞2，則a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）＞2（a2-ab+b2），而a3+b3=2，所以（a2-ab+b2）＜1，所以1+ab＞a2+b2≥2ab，從而ab＜1，所 以a2+b2＜1+ab2＜2，所 以（a+b）2=a2+2ab+b2＜2+2ab＜4，所以a+b＜2，這與假設(shè)矛盾，故a+b≤2。這題就是運(yùn)用逆向思維的思想來解題，當(dāng)直接證明a+b≤2比較困難時(shí)，可以逆向思維，假設(shè)一個(gè)結(jié)果成立，然后逆推，最后得出與題干條件不符的結(jié)果來進(jìn)行證明。[4]

三、類比和歸納法

類比歸納法是高中數(shù)學(xué)中常用且實(shí)用的一種解題思維方法，它是將兩個(gè)相似的事物從本質(zhì)上或從形式上進(jìn)行類比，尋找共同點(diǎn)，然后將事物根據(jù)共同點(diǎn)進(jìn)行分類和歸納。在解數(shù)學(xué)題的過程中，學(xué)生需要采用類比和歸納的方法來對題目進(jìn)行分析，尋找解題線索進(jìn)而得出答案。數(shù)學(xué)類比和歸納法需要學(xué)生掌握大量的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，需要學(xué)生通過平常的有意識的訓(xùn)練和總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，熟練的掌握這種數(shù)學(xué)思維方式。就高中階段來看，類比和歸納法是一種行之有效的數(shù)學(xué)解題分析方法，能夠有效的提高學(xué)生的解題效率，使學(xué)生在面對難題是不至于無從下手，類比和歸納法能夠給學(xué)生提供一種尋找解題線索的手段，能夠有效的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。類比和歸納法不僅僅對數(shù)學(xué)學(xué)科有效，在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)上也能起到很大的幫助，

例：12.已知函數(shù)f（x）＝m（x＋1x）的圖象與h（x）＝14（x＋ 1x）＋2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對稱.

（1）求m的值；

（2）若g（x）＝f（x）＋a4x在（0，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：（1）設(shè)P（x，y）是h（x）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于A（0，1）的對稱點(diǎn)為Q（x0，y0），則x0＝－x，y0＝2－y.

∴2－y ＝m（－x－1x），

∴y＝m（x＋1x）＋2，從而m＝14.

（2）g（x）＝14（x＋1x）＋a4x＝14（x＋a＋1x）.

設(shè)0＜x1＜x2≤2，

則g（x1）－g（x2）＝14（x1＋a＋1x1）－14（x2＋a＋1x2）

＝14（x1－x2）＋14（a＋1）?x2－x1x1x2

＝14（ x1－x2）?x1x2－（a＋1）x1x2＞0，

并且在x1，x2∈（0，2]上恒成立，

∴x1x2－（a＋1）＜0，∴1＋a＞x1x2，1＋a≥4，∴a≥3.

在求解本題第二步驟時(shí)就需要運(yùn)用類比和歸納法，通過g（x）＝f（x）＋a4x與y=kx+b的標(biāo)準(zhǔn)方程式進(jìn)行類比，可以將g（x）＝f（x）＋a4x變形為g（x）=m（x＋1x）＋a4x，將看起來陌生且復(fù)雜的等式簡化成簡單的函數(shù)式進(jìn)行求解。

結(jié)語

數(shù)學(xué)分析方法的教授是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要部分，對提高學(xué)生的成績和解題能力具有重要的作用。本文主要介紹了目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最為常用正向思維法、逆向思維法和類比歸納法等三種數(shù)學(xué)分析思想，以及數(shù)學(xué)分析思想的應(yīng)用情況。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅僅只是教授數(shù)學(xué)公式和知識點(diǎn)的定義和運(yùn)用，還需要在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中有意識的對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練，讓學(xué)生自己學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維分析方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己獨(dú)自的思考和分析問題，提高學(xué)生解數(shù)學(xué)題的能力。讓學(xué)生在日后考試過程中面對難題時(shí)能夠得更加心易手的解這些數(shù)學(xué)題。