n階常系數(shù)線性齊次微分方程與一階常系數(shù)線性齊次微分方程組求解類比法

周艷華

【摘要】 n階常系數(shù)線性齊次微分方程與一階常系數(shù)線性齊次微分方程組的求解有很多相似之處，本文給出當(dāng)特征根是單根時(shí)求解的類比法.

【關(guān)鍵詞】 特征方程;特征根;基本解組

一、基本定義及理論

定義1 ?n階常系數(shù)線性齊次微分方程

y （n） +a 1y （n-1） +…+a ?n-1 y′+a ny=0， （1）

其中a 1，a 2，…，a n為實(shí)常數(shù).特別地

P（λ）=λn+a 1λ n-1 +…+a ?n-1 λ+a n=0. （2）

我們稱（2）為方程（1）的特征方程，它的根為特征根.

定義2 ?一階常系數(shù)線性齊次微分方程組

dY dx =AY， （3）

其中A為n×n階實(shí)常數(shù)矩陣.特別地

det（A-λE）=? a ?11 -λ a ?12 ?… a ?1n a ?21 ?a ?22 -λ … a ?2n … … … …a ?n1 ?a ?n2 ?… a ?nn -λ? =0. （4）

我們也稱（4）為方程（3）的特征方程，它的根為特征根.

n階常系數(shù)線性齊次微分方程與一階常系數(shù)線性齊次微分方程組求解有很多相似之處，我們主要討論特征根為單根時(shí)的情況.

定理1 ?若特征方程（2）有n個(gè)互異的特征根λ 1，λ 2，…，λ n，則e λ 1x ，e λ 2x ，…，e λ nx 是方程（1）的一個(gè)基本解組.

定理2 ?方程組（3）的系數(shù)矩陣A有n個(gè)互異的特征根λ 1，λ 2，…，λ n，且v 1，v 2，…，v n是它們所對(duì)應(yīng)的特征向量，則e λ 1x v 1，e λ 2x v 2，…，e λ nx v n是方程組（3）的一個(gè)基本解組.

二、兩類方程解法比較

在特征根為單根的情況下，n階常系數(shù)線性齊次微分方程可直接寫出基本解組，進(jìn)而寫出通解.而一階常系數(shù)線性齊次微分方程組轉(zhuǎn)求其特征向量，進(jìn)而寫出基本解組，再寫出通解，如下圖：

高階線性齊次微分方程有n個(gè)互異的特征根????

基本解組e λ 1x ，e λ 2x ，…，e λ nx ?????

方程通解

y=c 1e λ 1x +c 2e λ 2x +…+c ne λ nx

這里c 1，c 2，…，c n為任意常數(shù).

一階線性齊次微分方程組有n個(gè)互異的特征根????

這n個(gè)互異的特征根所對(duì)應(yīng)特征向量分別為v 1，v 2，…，v n?

基本解組e λ 1x v 1，e λ 2x v 2，…，e λ nx v n????

方程組通解 Y=c 1e λ 1x v 1+c 2e λ 2x v 2+…+c ne λ nx v n，

這里c 1，c 2，…，c n為任意常數(shù).

三、應(yīng) 用

例1 ??求方程y″+6y′+8y=0的通解.

解 ?特征方程λ2+6λ+8=0，有特征根λ=-2或 λ= -4，

基本解組為e -2x ，e -4x ，方程通解為y=c 1e -2x +c 2e -4x ，這里c 1，c 2為任意常數(shù).

例2 ??求解方程組? dx dt =-z， dy dt =x+y+z， dz dt =-x-y+3z.

解 ?系數(shù)矩陣A =? 0 0 -11 1 1-1 -1 3? ，特征方程為

det（A -λE ）=? -λ 0 -11 1-λ 1-1 -1 3-λ? =0，

于是λ（λ-1）（λ-3）=0，從而特征根為λ 1=0，λ 2=1，λ 3=3.

設(shè)λ 1=0對(duì)應(yīng)的特征向量為 u =（u 1，u 2，u 3）T，由（λE-A） u =0，

即? 0 0 1-1 -1 -11 1 -3??? u 1u 2u 3? =? 000? ，得 u =（1，-1，0）T.同理λ 2=1對(duì)應(yīng)的特征向量為 v =（v 1，v 2，v 3）T，得 v =（1，-3，-1）T.λ 3=3對(duì)應(yīng)的特征向量為 w =（1，-1， -3 ）T.

方程組的通解為? x（t）y（t）z（t）? =c 1? 1-10? +c 2et? 1-3-1? +c 3e 3t ??1-1-3? ，這里c 1，c 2，c 3為任意常數(shù).

若為復(fù)單根，運(yùn)用歐拉公式e （a+bi）x =e ax cosbx+ie ax sinbx復(fù)值解實(shí)值化即可.

例2 ??求方程y″+2y′+3y=0的通解.

解 ?特征方程λ2+2λ+3=0，有特征根λ ?1，2 =-1± ?2 i ，取λ 1=-1+ 2 i，e （-1+ 2 i）x =e -x cos 2 x+ie -x sin 2 x，基 本解組為e -x cos 2 x，e -x sin 2 x，

方程通解為y=c 1e -x cos 2 x+ c 2e -x sin 2 x，這里c 1，c 2為任意常數(shù).

【參考文獻(xiàn)】

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[2]東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室.常微分方程：第二版[M].北京：高等教育出版社，1982.

[3]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程：第二版[M].北京：高等教育出版社，1983.