幾類三角函數(shù)有理式不定積分的求法

譚香

【摘要】 三角函數(shù)有理式不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，本文主要將幾種常見的三角函數(shù)有理式的不定積分進(jìn)行了分類，針對每種類型總結(jié)出了具體的計(jì)算方法.

【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù);不定積分;湊微分法;分部積分法

由u（x），v（x）及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為關(guān)于u（x），v（x）的有理式，并用R（u（x），v（x））表示.∫R（cosx，sinx）dx是三角函數(shù)有理式的不定積分，解決這類問題，比較常用的方法是通過萬能公式代換，將其轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分，但有時(shí)計(jì)算非常煩瑣.本文主要將幾種常見的三角函數(shù)有理式的不定積分進(jìn)行了分類，針對每種類型總結(jié)出了具體的計(jì)算方法.

一、不定積分∫fn（x）dx的計(jì)算方法（其中f（x）為三角函數(shù)，n∈ Z ，n≥2）

（一）f（x）=sinx或f（x）=cosx

一般來說，對于不定積分∫sinnxdx和∫cosnxdx，若n為奇數(shù)時(shí)，則可將奇數(shù)次冪因子拿出一個(gè)與dx湊微分，然后積分.若n為偶數(shù)時(shí)，則可先利用倍角公式降冪，然后再進(jìn)行計(jì)算，或者利用分部積分法降低f（x）的次數(shù)，求得遞推公式，然后利用遞推公式，求出∫fn（x）dx.

例1 ??求∫sin4xdx.

解 ?法一：∫sin4xdx=∫? 1-cos2x 2? 2dx

=∫ 1+cos22x-2cos2x 4 dx= x-sin2x 4 +∫ 1+cos4x 8 dx

= 3x 8 - sin2x 4 + sin4x 32 +c;

法二：∫sin4xdx=-∫sin3xdcosx

=-sin3xcosx+3∫sin2xcos2xdx

=-sin3xcosx+3∫sin2x（1-sin2x）dx

=-sin3xcosx+3∫sin2xdx-3∫sin4xdx

=-sin3xcosx+3? x 2 - sin2x 4? -3∫sin4xdx.

從而可得∫sin4xdx= -sin3xcosx 4 + 3 8 x- 3 16 sin2x+c.

例2 ??求∫cos3xdx.

解 ?∫cos3xdx=∫cos2xd（sinx）=∫（1-sin2x）d（sinx）

=sinx- sin3x 3 +c.

（二）f（x）=tanx或f（x）=cotx

對于不定積分∫tannxdx（或∫cotnxdx），可將二次冪因子tan2x（或cot2x）替換為sec2x-1（或csc2x-1），然后拆項(xiàng)，一部分湊微分，另一部分降低f（x）的次數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

例3 ??求∫tan4xdx.

解 ?∫tan4xdx=∫tan2x（sec2x-1）dx

=∫tan2xsec2xdx-∫tan2xdx

=∫tan2xd（tanx）-∫（sec2x-1）dx

= tan3x 3 -tanx+x+c.

例4 ??求∫cot5xdx.

解 ?∫cot5xdx=∫cot3x（csc2x-1）dx

=∫cot3xcsc2xdx-∫cot3xdx

=-∫cot3xd（cotx）-∫cotx（csc2x-1）dx

=- cot4x 4 +∫cotxd（cotx）+∫cotxdx

=- cot4x 4 + cot2x 2 +ln| sinx|+c.

（三）f（x）=secx或f（x）=cscx

對于不定積分∫secnxdx（或∫cscnxdx），若n為偶數(shù)時(shí)，可將二次冪因子sec2x（或csc2x）拿出一個(gè)與dx湊微分，然后積分.若n為奇數(shù)時(shí)，則可利用分部積分法降低f（x）的次數(shù)，求得遞推公式，然后利用遞推公式，求出∫fn（x）dx.

例5 ??求∫csc4xdx.

解 ?∫csc4xdx=-∫csc2xdcotx=-∫（1+cot2x）dcotx

=-cotx- cot3x 3 +c.

例6 ??求∫sec3xdx.

解 ?首先∫secxdx=ln|secx+tanx|+c;

∫sec3xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫secxtan2xdx

=secxtanx-∫secx（sec2x-1）dx

=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx-∫sec3xdx+ln|secx+tanx|.

從而可得∫sec3xdx= secxtanx+ln|secx+tanx| 2 +c.

二、不定積分∫sinmxcosnxdx的計(jì)算方法（m，n∈ Z +）

一般說來，對于不定積分∫sinmxcosnxdx，若m和n至少有一個(gè)為奇數(shù)時(shí)，則可將奇數(shù)次冪因子拿出一個(gè)與dx湊微分，然后積分.若m和n均為偶數(shù)時(shí)，則可先利用倍角公式降冪，然后再進(jìn)行計(jì)算.

例7 ??求∫sin2xcos5xdx.

解 ?∫sin2xcos5xdx=∫sin2xcos4xd（sinx）

=∫sin2x（1-sin2x）2d（sinx）

=∫sin2x（1-2sin2x+sin4x）d（sinx）

=∫（sin2x-2sin4x+sin6x）dx

= sin3x 3 - 2sin5x 5 + sin7x 7 +c.

例8 ??求∫sin2xcos2xdx.

解 ?∫sin2xcos2xdx=∫? 1-cos2x 2??? 1+cos2x 2? dx

=∫ 1-cos22x 4 dx=∫ sin22x 4 dx

=∫ 1-cos4x 8 dx= x 8 - sin4x 32 +c.

三、不定積分∫ sinmx cosnx dx的計(jì)算方法（m，n∈ Z +）

對于不定積分∫ sinmx cosnx dx，若m為奇數(shù)時(shí)，則可將分子拿出一個(gè)sinx與dx湊微分，然后進(jìn)行計(jì)算.若m為偶數(shù)時(shí)，則可將分子寫為cosx的函數(shù)，然后再根據(jù)本文第一部分∫fn（x）dx的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算.

例9 ??求∫ sin3x cos5x dx.

解 ?∫ sin3x cos5x dx=∫ （cos2x-1） cos5x d（cosx）

=∫（cos -3 x-cos -5 x）d（cosx）=- 1 2cos2x + 1 4cos4x +c.

例10 ??求∫ sin4x cos3x dx.

解 ?∫ sin4x cos3x dx=∫ （1-cos2x）2 cos3x dx

=∫ 1-2cos2x+cos4x cos3x dx=∫（sec3x-2secx+cosx）dx

= secxtanx+ln|secx+tanx| 2 -2ln|secx+tanx|+sinx+c

= secxtanx-3ln|secx+tanx| 2 +sinx+c.

同理，不定積分∫ cosmx sinnx dx，∫tanmxsecnxdx等也可用上述方法求解，請讀者自行練習(xí).

四、不定積分∫ 1 sinmxcosnx dx的計(jì)算方法（m，n∈ Z +）

對于不定積分∫ 1 sinmxcosnx dx，經(jīng)常將1利用公式sin2x+cos2x =1進(jìn)行替換，然后拆項(xiàng)降低分母的次數(shù)，從而簡化運(yùn)算.

例11 ??求∫ 1 sin3xcos2x dx.

解 ?∫ 1 sin3xcos2x dx=∫ sin2x+cos2x sin3xcos2x dx

=∫ 1 sinxcos2x dx+∫ 1 sin3x dx

=∫ sin2x+cos2x sinxcos2x dx+∫ 1 sin3x dx

=∫ sinx cos2x dx+∫cscxdx+∫csc3xdx

=∫ 1 -cos2x dcosx+∫cscxdx+∫csc3xdx

= 1 cosx +ln|cscx-cotx|+ -cscxcotx+ln|cscx-cotx| 2 +c

= 1 cosx + 3ln|cscx-cotx|-cscxcotx 2 +c.

五、不定積分∫ sinx asinx+bcosx dx的計(jì)算方法（ab≠0）

用萬能公式解這類問題雖然有效，但比較煩瑣，本文主要介紹以下兩種方法：

1.可以通過待定系數(shù)法來求解，先將被積函數(shù)分解為

sinx asinx+bcosx = A（asinx+bcosx）+B（asinx+bcosx）′ asinx+bcosx ，將A，B解出，從而原積分化為

∫Adx+∫ B asinx+bcosx d（asinx+bcosx），然后進(jìn)行計(jì)算.

2.可以利用三角函數(shù)關(guān)系式將分母寫為兩角和的正弦，并將分子也化為同一角的三角函數(shù)，然后拆項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算.

例12 ??求∫ sinx 2sinx+cosx dx.

解 ?先將被積函數(shù)分解為

sinx 2sinx+cosx = A（2sinx+cosx）+B（2sinx+cosx）′ 2sinx+cosx ，

整理得，sinx=（2A-B）sinx+（A+2B）cosx

比較恒等式，有 2A-B=1，A+2B=0， ?解得，A= 2 5 ，B=- 1 5 .

于是∫ sinx 2sinx+cosx dx

=∫? 2 5 （2sinx+cosx）- 1 5 （2sinx+cosx）′ 2sinx+cosx dx

=∫ 2 5 dx- 1 5 ∫ 1 2sinx+cosx d（2sinx+cosx）

= 2 5 x- 1 5 ln|2sinx+cosx|+c.

【參考文獻(xiàn)】

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